2026年高考数学一轮专题训练：函数应用 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：函数应用 [含答案]，共14页。
A．(0，14)∪(14，12)B．(0，14)∪(12，1)
C．(14，12)D．(12，1)
2．（2025春•浙江期中）已知函数f(x)=lg2x，x≥1−x2+2x−1，x＜1，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）
C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
3．（2025春•临沂期中）设函数f（x）＝a（x+1）2﹣1，g（x）＝2csx+2ax，当x∈（﹣1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点，则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
4．（2025春•高邮市期中）函数y＝3x﹣2的零点是（ ）
A．﹣2B．（0，﹣2）C．23D．(23，0)
5．（2025春•广陵区校级期中）下列区间中包含函数y＝x3+3x﹣5的零点的是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（3，4）
6．（2025春•临川区校级期中）定义有序实数对（a，b）的“跟随函数”为f（x）＝asinx+bcsx（x∈R）．记有序数对（0，1）的“跟随函数”为f（x），若函数g(x)=f(x)+3|sinx|，x∈[0，2π]，若直线y＝k与g（x）有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围（ ）
A．(2，2)B．[1，2）C．[22，2)D．[22，2]
7．（2025春•广陵区校级期中）已知函数f(x)=|lg2x|，0＜x≤2(12)x−3−1，x＞2，g(x)=f（x）﹣k，下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的值域为（﹣1，+∞）
B．若g（x）有2个零点，则k＝0或k＝1
C．若g（x）的3个零点分别为：x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1x2x3的取值范围为（2，3）
D．若g（x）有1个零点，则k＜0或k＞1
8．（2025•湖北模拟）已知a＞1，函数f(x)=14x3，x≤2lgax，x＞2的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．(1，2]C．(1，2)D．[2，+∞)
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•顺庆区校级期中）已知函数f（x+2）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+1）＝f（1﹣x），当x∈[0，2]时，f(x)=2x−x2，则下列说法正确的是（ ）
A．f（2024）＝0
B．函数f（x）的周期是4
C．方程f（|x|）＝2x在R上有2个不同实数解
D．定义在R上的函数g（x）满足g（x+2）+g（2﹣x）＝0，若函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象有n个交点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则i=1n (xi+yi)的值可能是2025．（注：i=1n (xi+yi)=(x1+y1)+(x2+y2)+⋯+(xn+yn)）
（多选）10．（2025•广西模拟）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用．研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值S(x)=xaxa+(1−x)a，x∈[0，1]，a＞0．其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数（a越大，灵敏度越高），则（ ）
A．S（x）过定点(12，12)
B．S（x）在污染物浓度区间[0，1]上单调递增
C．S（x）关于x=12对称
D．取定x的值(0＜x＜12)，灵敏度越高，监测值越大
（多选）11．（2025春•益阳期中）已知f(x)=1−2x1+2x，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）
B．若x1+x2＜0，则f（x1）+f（x2）＞0
C．若g(x)=|f(x)+12|−m有两个零点，则0＜m≤12
D．若g（x）的定义域为R，且g（x）+g（﹣x）＝2，且y＝f（x）+1与y＝g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xm，ym），则m必为奇数
（多选）12．（2025春•安徽校级期中）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（ ）（注：1ml＝1cm3；利润可为负数）
A．利润随着瓶子半径的增大而增大
B．半径为6cm时，利润最大
C．半径为2cm时，利润最小
D．半径为3cm时，制造商不获利
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•龙岩期中）已知a＞0且a≠1，若函数f(x)=xa+lnxlna有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
14．（2025春•萍乡期中）若函数f（x）＝2csωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]上恰有5个零点，则ω的取值范围为 ．
15．（2025春•山东期中）函数y＝x2ex+m（x+2lnx）有两个零点，则m的取值范围是 ．
16．（2025春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝sin4x﹣cs4x（0≤x≤2π），则关于x的方程：f（f（x））+（f（x）﹣1）2＝0的实根个数为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•山东期中）已知函数f（x）＝x﹣lnx+a有两个不同零点x1，x2（x1＜x2）．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：x1+x2＞2；
（3）证明：2+2aee−1＜x2−x1＜−ae−a−2e−1．
18．（2025春•泗阳县期中）某校为拓展学生社会实践活动，拟建造一个四边形的实践基地，如图，在四边形ABCD区域中，将△ABD区域设立成烧烤区，△BCD区域设立成花卉观赏区，边AB，BC，CD，DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中AB＝200米，AD＝400米，C=π3．烧烤区是一个占地面积为40000平方米的实践性区域．
（1）需要修建多长的隔离防护栏？
（2）若要使花卉观赏区的面积最大，应如何设计观赏步道？
19．（2025春•天津期中）设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣6x+3的图象的对称中心为(12，−14)．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的零点个数．
20．（2025春•萍乡期中）已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)图象的一条对称轴和与其相邻的一个对称中心之间的距离为π4，且f（x）的图象过点(0，12)．
（1）若y＝f（x+m）是奇函数，求|m|的最小值；
（2）令g（x）＝5f（x）﹣1，记g（x）在区间[−7π6，11π6]上的零点从小到大依次为x1，x2，…，xn，求x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn的值．
高考数学一轮复习 函数应用
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025•江苏模拟）若函数f（x）＝ax﹣21﹣x+1（a＞0）存在两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0，14)∪(14，12)B．(0，14)∪(12，1)
C．(14，12)D．(12，1)
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【正确答案】A
【分析】首先利用导数的几何意义求出g（x）＝ax与h（x）＝21﹣x﹣1相切时的a的值，根据a的值分段讨论，利用指数函数的增长速度判断交点个数．
解：函数f（x）＝ax﹣21﹣x+1，（a＞0）存在两个不同的零点，
令f（x）＝0⇒ax﹣21﹣x+1＝0⇒ax＝21﹣x﹣1，
即g（x）＝ax与h（x）＝21﹣x﹣1有两个不同的交点，
又g'（x）＝axlna，h'（x）＝﹣21﹣xln2，
令g'（0）＝h'（0），即lna＝﹣2ln2⇒a=14，
此时g（x）＝ax与h（x）＝21﹣x﹣1相切于点（0，1），
又g（0）＝h（0）＝1，所以（0，1）既是g（x）＝ax与h（x）＝21﹣x﹣1交点又是切点，
当0＜a＜14时，
当x＞0时，g（x）＝ax从y＝1递减到y＝0，
函数h（x）＝21﹣x﹣1从y＝1递减到y＝﹣1，
由于g（x）＝ax递减较快，在x＞0处与h（x）＝21﹣x﹣1相交一次，
当x＜0时，当x→﹣∞，ax→+∞，21﹣x﹣1→+∞，
但g（x）＝ax的增长速度比h（x）＝21﹣x﹣1快，因此两者会在x＜0处相交一次，
所以在x＞0和x＜0各有一个交点，加上固定零点x＝0，总共有两个不同的零点，
当14＜a＜12时，
当x＞0时，g（x）＝ax的递减速度比h（x）＝21﹣x﹣1慢，
因此g（x）＝ax始终位于h（x）＝21﹣x﹣1上方，所以无交点，
当x＜0时，x→﹣∞，ax→+∞，21﹣x﹣1→+∞，
但g（x）＝ax的增长速度比h（x）＝21﹣x﹣1慢，因此两者会在x＜0处相交一次，
所以在x＜0处有一个交点，加上固定零点x＝0，总共有两个不同的零点．
当a=12时，令2﹣x＝2•2﹣x﹣1⇒x＝0，即仅在x＝0相交，
当a＞12时，当x＞0时，g（x）＝ax的递减速度比h（x）＝21﹣x﹣1慢，
因此g（x）＝ax始终位于h（x）＝21﹣x﹣1上方，所以无交点，
当x＜0时，ax的增长速度进一步降低，无法与h（x）＝21﹣x﹣1交，
所以仅有一个零点，不满足题目要求，
数a的取值范围为(0，14)∪(14，12)．
故选：A．
【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题．
2．（2025春•浙江期中）已知函数f(x)=lg2x，x≥1−x2+2x−1，x＜1，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）
C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
【考点】分段函数的应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据二次函数、对数函数的单调性，推导出f(x)=lg2x，x≥1−x2+2x−1，x＜1在R上为单调递增函数，从而将不等式f（2﹣a2）＞f（a）转化为2﹣a2＞a，解之即可得到本题的答案．
解：因为y＝lg2x在[1，+∞）上是增函数，
y＝﹣x2+2x﹣1在（﹣∞，1）上也是增函数，且lg21＝﹣12+2×1﹣1＝0，
所以f(x)=lg2x，x≥1−x2+2x−1，x＜1在R上为单调递增函数，
不等式f（2﹣a2）＞f（a）可化为2﹣a2＞a，解得﹣2＜a＜1．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数与对数函数的单调性、分段函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
3．（2025春•临沂期中）设函数f（x）＝a（x+1）2﹣1，g（x）＝2csx+2ax，当x∈（﹣1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点，则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【考点】函数与方程的综合运用；导数与切线的斜率．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据题意，设h（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（﹣1，1），求出h（x）的解析式，可得h（x）为偶函数，由函数与方程的关系可得h（x）在（﹣1，1）上恰有一个零点，由此可得h（x）的零点只能为0，进而分析可得答案．
解：根据题意，设h（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（﹣1，1），
则h（x）＝a（x+1）2﹣1﹣2csx﹣2ax＝ax2﹣2csx+a﹣1，x∈（﹣1，1），
其定义域为（﹣1，1），关于原点对称，
有h（﹣x）＝ax2﹣2csx+a﹣1＝h（x），则h（x）为偶函数，
当x∈（﹣1，1）时，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点，则h（x）在（﹣1，1）上恰有一个零点，
又由h（x）为偶函数，h（x）的零点只能为0，必有h（0）＝0，即a﹣3＝0，解可得a＝3．
故选：D．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数奇偶性的性质和应用，属于基础题．
4．（2025春•高邮市期中）函数y＝3x﹣2的零点是（ ）
A．﹣2B．（0，﹣2）C．23D．(23，0)
【考点】求函数的零点．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】C
【分析】直接求解即可．
解：令3x﹣2＝0，可得x=23．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的零点，属于基础题．
5．（2025春•广陵区校级期中）下列区间中包含函数y＝x3+3x﹣5的零点的是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（3，4）
【考点】求解函数零点所在区间．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】C
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论．
解：设f（x）＝x3+3x﹣5，则该函数的定义域为R，
因为函数y＝x3、y＝3x﹣5在R上均为单调递增函数，
所以函数f（x）在R上为单调递增函数，
因为f（0）＝﹣5＜0，f（1）＝1+3﹣5＝﹣1＜0，
f（2）＝8+6﹣5＝9＞0，则f（1）•f（2）＜0，
由零点存在定理可知，函数y＝x3+3x﹣5的零点在区间（1，2）内．
故选：C．
【点评】本题考查了零点存在定理，属于基础题．
6．（2025春•临川区校级期中）定义有序实数对（a，b）的“跟随函数”为f（x）＝asinx+bcsx（x∈R）．记有序数对（0，1）的“跟随函数”为f（x），若函数g(x)=f(x)+3|sinx|，x∈[0，2π]，若直线y＝k与g（x）有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围（ ）
A．(2，2)B．[1，2）C．[22，2)D．[22，2]
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】对应思想；数形结合法；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解；新定义类．
【正确答案】B
【分析】根据自变量的不同范围解出函数的解析式，利用辅助角公式对函数进行化简，结合函数的图象和x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求得实数k的取值范围．
解：由题意f（x）＝csx，则g(x)=csx+3|sinx|，
当x∈[0，π]时，g(x)=csx+3sinx=2(12csx+32sinx)=2sin(x+π6)；
当x∈（π，2π]时，g(x)=csx−3sinx=2(12csx−32sinx)=−2sin(x−π6)，
作出函数y＝g（x），x∈[0，2π]的图象，如图所示：
函数y＝f（x）在[0，π3]和[π，5π3]上单调递增，在(π3，π)和(5π3，2π]上单调递减，
所以f（x）max＝2，f（0）＝f（2π）＝1，
由图象可知，1≤k＜2时，函数g(x)=f(x)+3|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，
所以k的范围是[1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象及性质，属于中档题．
7．（2025春•广陵区校级期中）已知函数f(x)=|lg2x|，0＜x≤2(12)x−3−1，x＞2，g(x)=f（x）﹣k，下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的值域为（﹣1，+∞）
B．若g（x）有2个零点，则k＝0或k＝1
C．若g（x）的3个零点分别为：x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1x2x3的取值范围为（2，3）
D．若g（x）有1个零点，则k＜0或k＞1
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】作出函数f（x）的图象，即可得到f（x）的值域，判断A选项；
将g（x）＝f（x）﹣k的零点问题转化为f（x）的图象与函数y＝k的图象的交点的问题，数形结合即可判断B，C，D选项．
解：作出函数f(x)=|lg2x|，0＜x≤2(12)x−3−1，x＞2的图象，如图所示：
对于A，当0＜x≤2时，f（x）∈[0，+∞），
当x＞2时，f（x）∈（﹣1，1），
所以f（x）的值域为（﹣1，+∞），故A正确；
令g（x）＝f（x）﹣k＝0，
则f（x）＝k，
对于B，若g（x）有2个零点，
则f（x）的图象与y＝k有两个交点，
则k＝0或k＝1，故B正确；
对于C，若g（x）的3个零点，
则f（x）的图象与y＝k有三个交点，则0＜k＜1，
因为x1＜x2＜x3，
所以0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜3，
且1−lg2x1=lg2x2=(12)x3−3−1=k，
则x1x2＝1，x1x2x3＝x3＝3﹣lg2（k+1）∈（2，3），故C正确；
对于D，若g（x）有1个零点，
则f（x）的图象与y＝k有一个交点，
则﹣1＜k＜0或k＞1，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
8．（2025•湖北模拟）已知a＞1，函数f(x)=14x3，x≤2lgax，x＞2的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．(1，2]C．(1，2)D．[2，+∞)
【考点】分段函数的应用；由值域求解函数或参数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可．
解：当x≤2时，函数f（x）=14x3，单调递增，
所以f(x)=14x3≤2，
要使得函数f（x）的值域为R，
则当x＞2时，lga2≤2＝lgaa2，
所以a＞1a2≥2，
解得a≥2，
所以实数a的取值范围是[2，+∞)．
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数、对数函数的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•顺庆区校级期中）已知函数f（x+2）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+1）＝f（1﹣x），当x∈[0，2]时，f(x)=2x−x2，则下列说法正确的是（ ）
A．f（2024）＝0
B．函数f（x）的周期是4
C．方程f（|x|）＝2x在R上有2个不同实数解
D．定义在R上的函数g（x）满足g（x+2）+g（2﹣x）＝0，若函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象有n个交点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则i=1n (xi+yi)的值可能是2025．（注：i=1n (xi+yi)=(x1+y1)+(x2+y2)+⋯+(xn+yn)）
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】ABC
【分析】由已知条件确定f（x）的周期，从而判断B；
由函数的周期为4，可得f（2024）＝f（0）＝0，从而判断A；
作出图象，结合图象判断C；
由题意可得f（x）与g（x）的图象交点也关于点（2，0）对称，由对称性判断D．
解：因为f（x+2）是奇函数，
则f（x）的图象关于点（2，0）对称，
即f（2+x）＝﹣f（2﹣x），
又f（1+x）＝f（1﹣x），
所以f（x+2）＝f（1+（1+x））＝f（﹣x）＝﹣f（2﹣x），
即f（x）＝﹣f（2+x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以f（x）是周期函数，周期为4，故B正确；
所以f（2024）＝f（0）＝0，故A正确；
因为y＝f（|x|）为偶函数，图象关于y轴对称，
当x∈[0，2]时，f(x)=2x−x2，
由f（x+2）＝﹣f（x），
得f（x）＝﹣f（x﹣2），
所以当x∈[2，4]时，x﹣2∈[0，2]，
所以f(x)=−f(x−2)=−2(x−2)−(x−2)2=−−x2+6x−8，
作出函数f（x）在[﹣4，4]上的图象，如图所示：
由此可得y＝f（|x|）与直线y﹣2x有2个不同交点，
所以方程f（|x|）＝2x在R上有2个不同实数解，故C正确；
因为g（x+2）+g（2﹣x）＝0，
所以g（x+2）＝﹣g（2﹣x），
所以g（x）的图象关于点（2，0）对称，
又f（x）的图象也关于点（2，0）对称，
因此f（x）与g（x）的图象交点也关于点（2，0）对称，
又f（2）＝g（2）＝0，
即（2，0）是它们图象的一个交点，
所以它们只有奇数个交点，
则i=1n (xi+yi)的值是4的倍数加2，不可能是2025，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
（多选）10．（2025•广西模拟）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用．研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值S(x)=xaxa+(1−x)a，x∈[0，1]，a＞0．其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数（a越大，灵敏度越高），则（ ）
A．S（x）过定点(12，12)
B．S（x）在污染物浓度区间[0，1]上单调递增
C．S（x）关于x=12对称
D．取定x的值(0＜x＜12)，灵敏度越高，监测值越大
【考点】根据实际问题选择函数类型；奇偶性与单调性的综合．
【专题】分类讨论；函数思想；转化思想；综合法；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【正确答案】ABD
【分析】对于A，令x=12，可求得定点，即可判断A；
对于B，对S（x）求导，判断导函数在x∈[0，1]时的正负，即可判断B；
对于C，由B即可判断；
对于D，以a为自变量构造新函数，求导，判断单调性即可．
解：对于A，在S（x）中，令x=12，
则S(12)=(12)a2×(12)a=12，
所以S（x）过定点(12，12)，故A正确；
对于B，因为S′(x)=a[x(1−x)]a−1[xa+(1−x)a]2，
当x∈[0，1]，S′（x）≥0，
则S（x）为单调递增，故B正确；
对于C，由B选项知S（x）为单调递增，
故不存在对称轴，故C错误；
对于D，以a为自变量，
设S（x）为T（a），
则T′(a)=[x(1−x)]a[xa+(1−x)a]2lnx1−x，
因为a＞0，故[x(1−x)]a[xa+(1−x)a]2＞0，
所以T'（a）的正负取决于lnx1−x，
当0＜x1−x＜1，即0＜x＜12时，T′（a）＜0，随着a的增大，S（x）减小；
当x1−x＞1，即12＜x＜1时，T′（a）＞0，随着a的增大，S（x）增大，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了导数的综合运用及分类讨论思想，属于中档题．
（多选）11．（2025春•益阳期中）已知f(x)=1−2x1+2x，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）
B．若x1+x2＜0，则f（x1）+f（x2）＞0
C．若g(x)=|f(x)+12|−m有两个零点，则0＜m≤12
D．若g（x）的定义域为R，且g（x）+g（﹣x）＝2，且y＝f（x）+1与y＝g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xm，ym），则m必为奇数
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】BD
【分析】判断出函数的单调性可判断A；
判断出函数为奇函数，再结合函数的单调性，可判断B；
转化为直线y＝m与y=|f(x)+12|的图象有两个交点，作出图象，结合图象可判断C；
由题意可得两函数都关于（0，1）对称，结合对称性可判断D．
解：因为f(x)=1−2x1+2x=2−(1+2x)1+2x=21+2x−1，所以函数定义域为R，
对任意实数m，n，若m＞n，2m＞2n，
且f(m)−f(n)=21+2m−21+2n=2(2n−2m)(1+2m)(1+2n)＜0，
即f（m）＜f（n），
所以f（x）在R上单调递减，
因为对任意实数x，f（x）+f（﹣x）=1−2x1+2x+1−2−x1+2−x=1−2x1+2x+1−12x1+12x=1−2x1+2x+2x−12x+1=0，
所以f（x）是定义在R上奇函数，
对于A，因为f（x）在R上单调递减，
所以当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），故A错误；
对于B，若x1+x2＜0，可得x1＜﹣x2，
利用函数单调性和奇函数性质可得：f（x1）＞f（﹣x2），
即f（x1）＞﹣f（x2），f（x1）+f（x2）＞0，故B正确；
对于C，因为g(x)=|f(x)+12|−m有两个零点，
即|f(x)+12|=m有两个相异根，
因为f(x)+12=21+2x−12，
在同一坐标系中画出y＝m和y=|f(x)+12|的大致图象，如图所示：
观察图象，要使y＝m和y=|f(x)+12|图象存在两个不同交点，则0＜m＜12，故C错误；
对于D，因为g（x）+g（﹣x）＝2，
所以g（x）图象关于（0，1）对称．
又由B中知f（x）为奇函数，
所以y＝f（x）+1图象关于（0，1）对称，
又点（0，1）同在两个函数图象上，
若f（x）+1＝g（x）在（0，+∞）上存在k个根，k∈N，
由对称性可知f（x）+1＝g（x）在（﹣∞，0）上也存在k个根，
则f（x）+1与g（x）共存在2k+1个交点，k∈N，
即y＝f（x）+1与y＝g（x）图象的交点个数是奇数，
所以m一定为奇数，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想及转化思想，考查了函数的对称性，属于中档题．
（多选）12．（2025春•安徽校级期中）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（ ）（注：1ml＝1cm3；利润可为负数）
A．利润随着瓶子半径的增大而增大
B．半径为6cm时，利润最大
C．半径为2cm时，利润最小
D．半径为3cm时，制造商不获利
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】BCD
【分析】根据已知条件写出利润关于瓶子半径r的函数式f（r），由于f（r）是r的三次函数，所以可利用导数来分析和处理并回答问题．
解：由已知，每个瓶子的利润f(r)=0.2×4π3r3−0.8πr2=4π5(13r3−r2)，r∈（0，6]，
∵f′(r)=4π5(r2−2r)=4π5r(r−2)，
∴当r∈（0，2）时，f′（r）＜0，函数f（r）单调递减，∴A错误；
又当r∈（2，6）时，f′（r）＞0，函数f（r）单调递增，
∵f（0）＝0，
∴当r＝6时，函数f（r）取得最大值，∴B正确；
当r＝2时，函数f（r）取得最小值，∴C正确；
又∵f(3)=4π5(13×33−32)=0，∴D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数模型的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•龙岩期中）已知a＞0且a≠1，若函数f(x)=xa+lnxlna有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 (0，1e)∪(1e，1) ．
【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数；函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】(0，1e)∪(1e，1)．
【分析】令f（x）＝0，同构可得lnxaxa=ln1a1a，构建g(x)=lnxx，x＞0，令t＝xa，分析可知y＝g（t）与y=g(1a)有2个不同的交点，利用导数分析g（x）的单调性和最值，结合g（x）的图象分析求解即可．
解：因为f(x)=xa+lnxlna，
所以f（x）的定义域为（0，+∞），
令f(x)=xa+lnxlna=0，
即lnx＝﹣lna•xa，lnxxa=−lna，
所以alnxxa=−alna，可得lnxaxa=ln1a1a，
构建g(x)=lnxx，x＞0，可得g(xa)=g(1a)，
令t＝xa，
因为a＞0且a≠1，
则t＝xa在（0，+∞）内单调递增，
可知y＝g（t）与y=g(1a)有2个不同的交点，
对于函数g(x)=lnxx，x＞0，
令g（x）＞0，则lnx＞0，解得x＞1；
令g（x）＜0，则lnx＜0，解得0＜x＜1；
又因为g′(x)=1−lnxx，x＞0，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜e；令g′（x）＜0，解得x＞e；
可知g（x）在（0，e）内单调递增，在（e，+∞）内单调递减，
则g(x)≤g(e)=1e，
且当x趋近于+∞时，g（x）趋近于0，
可得g（x）的图象，如图所示：
由图象可知：g(1a)∈(0，1e)，
则1a＞1且1a≠e，可得0＜a＜1且a≠1e，
所以实数a的取值范围是(0，1e)∪(1e，1)．
故(0，1e)∪(1e，1)．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，难点是同构出lnxaxa=ln1a1a，属于难题．
14．（2025春•萍乡期中）若函数f（x）＝2csωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]上恰有5个零点，则ω的取值范围为 [136，176） ．
【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数；余弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】[136，176）．
【分析】根据题意，f（x）的零点满足csωx=12，当x∈[0，2π]时，该方程有5个实数根，结合余弦函数的图象建立关于ω的不等式，解之即可得到本题的答案．
解：函数f（x）＝2csωx﹣1的零点满足csωx=12，当x∈[0，2π]时，ωx∈[0，2ωπ]．
结合余弦函数的性质，可知：
若f（x）在区间[0，2π]上恰有5个零点，则这5个零点满足ωx=π3、5π3、7π3、11π3、13π3．
所以13π3≤2ωπ＜17π3，解得136≤ω＜176，即ω的取值范围为[136，176）．
故[136，176）．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象、函数的零点与方程的根、不等式的解法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15．（2025春•山东期中）函数y＝x2ex+m（x+2lnx）有两个零点，则m的取值范围是 （﹣∞，﹣e） ．
【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（﹣∞，﹣e）．
【分析】整理可得y＝ex+2lnx+m（x+2lnx），换元令t＝x+2lnx，x＞0，原题意等价于y＝et与y＝﹣mt有2个交点，根据导数的几何意义结合图象分析求解．
解：由题意可知：y＝x2ex+m（x+2lnx）的定义域为（0，+∞），
且y＝x2ex+m（x+2lnx）＝ex+2lnx+m（x+2lnx），
令t＝x+2lnx，x＞0，
易知t＝x+2lnx在（0，+∞）内单调递增，
原题意等价于y＝et+mt在定义域为（0，+∞）有2个零点，
令y＝et+mt＝0，可得et＝﹣mt，
可知y＝ex与y＝﹣mt（过原点的直线）有2个交点，
对于y＝et，则y'＝et，
设切点坐标为(t0，et0)，
则切线斜率k=et0，
可得切线方程为y−et0=et0(t−t0)，
代入点（0，0），
得−et0=−t0et0，
解得t0＝1，即切线斜率k＝e，
结合图象可知：若y＝et与y＝﹣mt有2个交点，则﹣m＞e，即m＜﹣e，
所 m 的取值范围是（﹣∞，﹣e）．
故（﹣∞，﹣e）．
【点评】本题考查了转化思想、数形结合思想，考查了导数的几何意义，属于中档题．
16．（2025春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝sin4x﹣cs4x（0≤x≤2π），则关于x的方程：f（f（x））+（f（x）﹣1）2＝0的实根个数为 8 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】8．
【分析】先化简f（x），再设f（x）＝t，将问题转化为f（t）和y＝﹣（t﹣1）2的交点问题，数形结合得到其交点的范围，再次数形结合即可得解．
解：因为f（x）＝sin4x﹣cs4x＝（sin2x+cs2x）（sin2x﹣cs2x）＝sin2x﹣cs2x＝﹣cs2x（0≤x≤2π），
令f（x）＝t，t∈[﹣1，1]，
则f（f（x））+（f（x）﹣1）2＝0换元整理为f（t）＝﹣（t﹣1）2，
作出图像f（t）和y＝﹣（t﹣1）2在t∈[﹣1，1]上的大致图象，
由图可知两函数在定义域内有两交点，
即方程f（t）＝﹣（t﹣1）2在定义域内有2个实根分别为t1＝0，t2＝x0∈（0，1），
再作出y＝f（x）的图像，
由图象可知，y＝f（x）（0≤x≤2π）与y＝0有4个交点，与y＝x0（0＜x0＜1）也有4个交点，
所以关于x的方程：f（f（x））+（f（x）﹣1）2＝0共有8个实根．
故8．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•山东期中）已知函数f（x）＝x﹣lnx+a有两个不同零点x1，x2（x1＜x2）．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：x1+x2＞2；
（3）证明：2+2aee−1＜x2−x1＜−ae−a−2e−1．
【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求解函数的最值．
【专题】函数思想；转化思想；分析法；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）（﹣∞，﹣1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析；
【分析】（1）利用导数求得函数的最小值为a+1，由a+1＜0求解即可；
（2）令F（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），利用导数可得当0＜x＜1时，F（x）单调递减．从而得f（x1）＞f（2﹣x1），即有f（x2）＞f（2﹣x1），再根据函数f（x）的单调性即可得证；
（3）由x1﹣lnx1+a＝0，x1+x2＞2，可知要证2+2aee−1＜x2−x1成立，只需lnx1≤1ex1，令h(x)=lnx−1ex，利用导数证明即可；由导数的几何意义可证x2−x1＜−ae−a−2e−1，从而得证．
解：（1）因为f′(x)=1−1x=x−1x，
由f′（x）＝0，得x＝1，
所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
又f（1）＝1+a，
又当x趋于0时，f（x）趋于+∞，当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，
因为f（x）有两个不同的零点，所以1+a＜0，
所以a＜﹣1，且0＜x1＜1＜x2，
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣1）；
（2）证明：令F（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），
则F′(x)=f′(x)+f′(2−x)=x−1x+1−x2−x=−2(x−1)2x(2−x)，
当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减．
所以F（x1）＝f（x1）﹣f（2﹣x1）＞F（1）＝0，
所以f（x1）＞f（2﹣x1），
因为f（x1）＝f（x2），
所以f（x2）＞f（2﹣x1），
因为f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以x2＞2﹣x1，所以x1+x2＞2；
（3）证明：因为x1﹣lnx1+a＝0，x1+x2＞2，
所以x2﹣x1＞（2﹣x1）﹣x1＝2﹣2x1，
要证2+2aee−1＜x2−x1成立，只需2−2x1≥2+2aee−1，
只需x1≤−aee−1，只需x1≤(x1−lnx1)ee−1，只需lnx1≤1ex1，
令h(x)=lnx−1ex，则h′(x)=1x−1e=e−xex，
当0＜x＜1时，h（x）＞0，h（x）单调递增，
h(x1)=lnx1−1ex1＜h(1)=−1e＜0，
所以lnx1≤1ex1成立，
所以2+2aee−1＜x2−x1成立；
函数f（x）在x=1e处的切线为y−(1e+1+a)=(1−e)(x−1e)，
即y＝（1﹣e）x+2+a，
函数f（x）在x＝e处的切线为y−(e−1+a)=(1−1e)(x−e)，
即y=(1−1e)x+a，
分别令y＝0，得x3=2+ae−1，x4=−aee−1，
易知f(x)≥(1−e)x+2+a，f(x)≥(1−1e)x+a，
所以x2−x1＜x4−x3=−ae−a−2e−1，
综上所述，2+2aee−1＜x2−x1＜−ae−a−2e−1．
【点评】本题考查了函数的零点、导数的综合运用及转化思想，属于难题．
18．（2025春•泗阳县期中）某校为拓展学生社会实践活动，拟建造一个四边形的实践基地，如图，在四边形ABCD区域中，将△ABD区域设立成烧烤区，△BCD区域设立成花卉观赏区，边AB，BC，CD，DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中AB＝200米，AD＝400米，C=π3．烧烤区是一个占地面积为40000平方米的实践性区域．
（1）需要修建多长的隔离防护栏？
（2）若要使花卉观赏区的面积最大，应如何设计观赏步道？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；数形结合法；解三角形；运算求解．
【正确答案】（1）2005米；
（2）BC＝CD＝2005米．
【分析】（1）由三角形面积公式可得sinA＝1，再由勾股定理求出BD的值即可；
（2）设BC＝m，CD＝n，由三角形的面积公式及余弦定理可得当m＝n＝2005时，三角形BCD面积最大，此时三角形BCD为等边三角形，求出四边形的周长即可．
解：（1）因为AB＝200，AD＝400，S△ABD＝40000，
所以12AB•AD•sinA＝40000，
解得sinA＝1，
又因为A∈（0，π），
所以A=π2，
所以BD=AB2+BD2=2005，
所以需要修建2005米的隔离防护栏；
（2）在△BCD中，BD＝2005，C=π3．
设BC＝m，CD＝n，
由余弦定理可得BD2＝m2+n2﹣2mncsπ3=m2+n2﹣mn，
即200000＝m2+n2﹣mn≥mn，
当且仅当m＝n＝2005时，等号成立，
又因为S△ABD=12mnsinπ3=34mn≤34×200000＝500003，
当且仅当m＝n＝2005时，等号成立，
此时△BCD为等边三角形，
所以BC＝CD＝2005．
所以为使花卉观赏区的面积最大，观赏步道BC＝CD＝2005米．
【点评】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
19．（2025春•天津期中）设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣6x+3的图象的对称中心为(12，−14)．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的零点个数．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；综合法；定义法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【正确答案】（Ⅰ）a=1b=−32；
（Ⅱ）3个．
【分析】（Ⅰ）由题意可得f(12)=−14f″(12)=0，代入求解即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x3−32x2−6x+3，利用导数求出函数的极大值及极小值，即可得答案．
解：（Ⅰ）因为f（x）＝ax3+bx2﹣6x+3，
所以f'（x）＝3ax2+2bx﹣6，
所以f″（x）＝6ax+2b，
又因为f（x）的图象的对称中心为(12，−14)，
所以f″(12)=3a+2b=0f(12)=a8+b4=−14，解得a=1b=−32；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x3−32x2−6x+3，
所以f'（x）＝3x2﹣3x﹣6＝3（x+1）（x﹣2），
令f'（x）＝0，得x＝﹣1或x＝2，
所以当x＜﹣1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣1＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
因为f(−1)=132＞0，f（2）＝﹣7＜0，
当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，
所以f（x）有3个零点．
【点评】本题考查了三次函数的对称中心、函数的零点及导数的应用，属于中档题．
20．（2025春•萍乡期中）已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)图象的一条对称轴和与其相邻的一个对称中心之间的距离为π4，且f（x）的图象过点(0，12)．
（1）若y＝f（x+m）是奇函数，求|m|的最小值；
（2）令g（x）＝5f（x）﹣1，记g（x）在区间[−7π6，11π6]上的零点从小到大依次为x1，x2，…，xn，求x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn的值．
【考点】函数的零点与方程根的关系；余弦函数的图象；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）π12；
（2）10π3．
【分析】（1）由题意可求得f（x）＝cs（2x+π3），进而得π3+2m＝kπ+π2，k∈Z，m=kπ2+π12，k∈Z，即可得答案；
（2）由题意可得f（x）=15，作出函数的图象，结合图象确定解的个数，再根据函数的对称性求解即可．
解：（1）因为函数图象的一条对称轴和与其相邻的一个对称中心之间的距离为π4，
所以T4=π4，
所以T=2πω=π，
解得ω＝2，
所以f（x）＝cs（2x+φ），
又因为f（x）的图象过点(0，12)．
所以csφ=12，
又因为0＜φ＜π2，
所以φ=π3，
所以f（x）＝cs（2x+π3），
所以f（x+m）＝cs（2x+π3+2m），
又因为y＝f（x+m）是奇函数，
所以π3+2m＝kπ+π2，k∈Z，
解得m=kπ2+π12，k∈Z，
所以|m|的最小值为π12；
（2）令g（x）＝5f（x）﹣1＝0，
则有f（x）=15，
作出函数y＝f（x）在[−7π6，11π6]上的图象，如图所示：
由此可得方程f（x）=15在[−7π6，11π6]上有6个解，
且x1，x2关于x=−2π3对称，所以x1+x2=−4π3；
x2，x3关于x=−π6对称，所以x2+x3=−π3；
x3，x4关于x=π3对称，所以x3+x4=2π3；
x4，x5关于x=5π6对称，所以x4+x5=5π3；
x5，x6关于x=4π3对称，所以x5+x6=8π3；
所以x1+2x2+2x3+…+2x5+x6=10π3．
【点评】本题考查了余弦函数的图象及性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．