2026年高考数学一轮专题训练：三角函数 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：三角函数 [含答案]，共12页。
A．35B．15C．−15D．−35
2．（2025春•驻马店期中）若实数x，y满足cs2ysinx+3=12，则sin（x+y）＝（ ）
A．±12B．﹣1C．±1D．12
3．（2025春•甘肃月考）若O为坐标原点，A(35，45)，当OA绕O点逆时针旋转π2至OA′时，A′的坐标为（ ）
A．(45，35)B．(−45，35)C．(−35，45)D．(−45，−35)
4．（2025•天津模拟）“tanx＝tany”是“x＝y+2kπ（k∈Z）”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025•邢台模拟）已知函数f（x）＝cs（ωx+π3），ω＞0，下列说法正确的是（ ）
A．若函数周期为4，则ω=12
B．当ω＝2时，函数的对称轴为x=π3+kπ，k∈Z
C．若函数在(0，π3)单调，则ω有最大值2
D．若函数y＝sinx可以由f（x）先向右平移π9个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则ω=13
6．（2025春•金安区校级期中）已知函数f（x）＝cs2x，则（ ）
A．f（3）＜f（1）B．f′（e）＜f（e）
C．f（e）+f（ln3）＜0D．f(sin111)＞f(ln1.1)
7．（2025春•西昌市期中）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．在摩天轮转动一圈内，点P距离地面超过85m有多长时间（ ）
A．5分钟B．10分钟C．15分钟D．20分钟
8．（2025春•金溪县校级期中）如图，某摩天轮的半径为77m，最高点距离地面高度为160m，摩天轮的圆周上均匀地安装了60个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要30min，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点M处进舱，转动tmin后距离地面的高度为H（t）m，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，H（t）关于时间t的函数解析式为（ ）
A．H(t)=77sin(π15t−π2)+83
B．H(t)=77sin(π15t+π2)+83
C．H(t)=77cs(π15t−π2)+83
D．H(t)=77cs(π15t+π2)+83
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025•内江三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图，将曲线y＝f（x）向右平移π6个单位长度，再将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的32倍，得到函数g（x）的图象，则（ ）
A．直线x=7π8是函数g（x）图象的一条对称轴
B．直线x=π4是函数g（x）图象的一条对称轴
C．点(π8，0)是函数g（x）图象的一个对称中心
D．函数g（x）在区间[3π8，7π8]上单调递减
（多选）10．（2025春•临渭区校级期中）下列说法中正确的是（ ）
A．对于定义在实数R上的函数f（x）中满足f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是以2为周期的函数
B．函数f(x)=tan(x+π3)的单调递增区间为(−5π6+kπ，π6+kπ)，k∈Z
C．函数f(x)=x2sin(x+π2)为奇函数
D．方程x﹣tanx＝0的实数根个数有无穷多个
（多选）11．（2025春•湖南期中）已知函数f(x)=2sin(2x−π4)，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．若f（x）在区间（0，m）恰有两个零点，则m的取值范围为(5π8，9π8]
C．若f（x）≥﹣1，且0≤x≤2π，则0≤x≤3π4
D．若f（x）在区间（0，m）恰有两个极值点，则m的取值范围为(7π8，11π8]
（多选）12．（2025春•桂平市期中）将函数y=2sin(6x−π10)图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数f（x）的图象，则（ ）
A．f（x）的值域为[﹣2，2]
B．f（x）的图象关于点(π180，0)对称
C．f（x）的图象关于直线x=−π5对称
D．f（x）在(0，π2)上单调递减
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•河南期中）如图，某小区的平面图是半径为300米，圆心角∠AOB=3π4的扇形OAB，小路CD平行于AO，且点D在OB上，点C在AB上，若OD=1502米，则劣弧AC的长为 米．
14．（2025春•新都区期中）函数f（x）＝sin8x+cs8x的值域为 ．
15．（2025春•益阳期中）f(x)=cs(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的图象经过点(0，12)，且在区间(π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围为 ．
16．（2025春•红桥区校级期中）某地一天0～24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数y＝6sin（π12t−2π3）+20（t∈[0，24]），则这一天的最低气温是 ℃．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•临沂期中）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的23（纵坐标不变），再向右平移π18个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，当x∈[0，π2]时，求g（x）的值域以及g（x）取最大值时x的值．
18．（2025春•衢州期中）已知函数f（x）＝asinxcsx﹣bcs2x+1．
（1）如果a＝b＝2，求函数f（x）的最小正周期与增区间；
（2）如果a＝4，b＝2，当x＝x0时，函数f（x）取得最大值，求tanx0的值．
19．（2025春•顺庆区校级期中）已知函数f(x)=sin(2x+π3)，g(x)=−sin2x+acsx+1．
（1）求y＝f（x）的周期以及单调增区间；
（2）设函数g（x）的最小值为h（a），求h（a）的解析式．
20．（2024秋•泰州期末）若两个集合A和B之间存在一一对应关系f：A→B，则称A和B等势，记为A～B．例如：若集合A为整数集，集合B为偶数集，因为存在A和B之间的一一对应关系f：x→2x，所以A～B．
（1）判断集合A＝{x|0＜x＜1}和集合B＝{x|x＞1}是否等势，并说明理由；
（2）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，M＝{1，2，3，4}，N＝{﹣2，﹣1，1，2}．集合A中的元素个数记为T（A）．
①若存在集合M和N之间的一一对应关系f：x→2sin(π3x+φ)(0≤φ＜2π)，使得M～N，求φ；
②集合P满足T（P）＝4T（M∩N∩P），T（P）＝T（M∩P）+1，且T（P）≠2T（N∩P），求满足条件的集合P的个数．
高考数学一轮复习 三角函数
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•安徽期中）已知0＜β＜α＜π2，sin（α﹣β）=45，tanαtanβ＝2，则cs（α+β）＝（ ）
A．35B．15C．−15D．−35
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】先根据同角三角函数关系得出cs(α−β)=35，再结合切化弦计算两角和余弦值即可．
解：由题意，故0＜α−β＜π2，且sin(α−β)=45，
所以cs(α−β)=1−sin2(α−β)=35，csαcsβ+sinαsinβ=35，
又因为tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=2，所以csαcsβ=15，sinαsinβ=25，
则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=15−25=−15．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2．（2025春•驻马店期中）若实数x，y满足cs2ysinx+3=12，则sin（x+y）＝（ ）
A．±12B．﹣1C．±1D．12
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据正余弦函数的最值结合cs2ysinx+3=12可得sinx+3=2cs2y=1，从而可求出x，y，进而可得出答案．
解：由三角函数的值域可知cs2y≤1，sinx≥﹣1，所以sinx+3≥2，
实数x，y满足cs2ysinx+3=12，
所以cs2ysinx+3≤12，
当且仅当sinx+3=2cs2y=1时取等号，此时x=−π2+2k1π，k1∈Zy=k2π，k2∈Z，
所以x+y=−π2+kπ，k∈Z，
所以sin（x+y）＝±1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（2025春•甘肃月考）若O为坐标原点，A(35，45)，当OA绕O点逆时针旋转π2至OA′时，A′的坐标为（ ）
A．(45，35)B．(−45，35)C．(−35，45)D．(−45，−35)
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】B
【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式可得解．
解：设点A(35，45)在角α的终边上，则A′在角α+π2的终边上，
由三角函数的定义，可知sinα=45，csα=35，
则点A′(cs(α+π2)，sin(α+π2），即A′(−45，35)．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数的值，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2025•天津模拟）“tanx＝tany”是“x＝y+2kπ（k∈Z）”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】正切函数的图象；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】D
【分析】直接利用三角函数的值及充分性和必要性判断出结果．
解：当x=π2，y＝2π+π2时，tanx和tany都无意义，故不成立，反之当tanx＝tany时，x＝y+kπ（k∈Z），故“tanx＝tany”是“x＝y+2kπ（k∈Z）”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，充分性和必要性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5．（2025•邢台模拟）已知函数f（x）＝cs（ωx+π3），ω＞0，下列说法正确的是（ ）
A．若函数周期为4，则ω=12
B．当ω＝2时，函数的对称轴为x=π3+kπ，k∈Z
C．若函数在(0，π3)单调，则ω有最大值2
D．若函数y＝sinx可以由f（x）先向右平移π9个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则ω=13
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】直接利用函数的图象和性质以及函数的图象的平移变换和伸缩变换判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：由于f（x）的周期为4，
所以4=2πω，解得ω=π2，故A错误；
对于B：当ω＝2时，函数f（x）＝cs（2x+π3），
令2x+π3=kπ（k∈Z），整理得：x=kπ2−π6（k∈Z），故B错误；
对于C：由于函数在(0，π3)单调，可得ωx+π3∈(π3，π3ω+π3)，
可得(π3，π3ω+π3)⊆(2kπ，2kπ+π)或(π3，π3ω+π3)⊆(2kπ+π，2kπ+2π)，（k∈Z），
故(π3，π3ω+π3)⊆(0，π)（k＝0），整理得π3ω≤π−π3，
故ω≤2，故C正确；
对于D：函数y＝sinx可以由f（x）先向右平移π9个单位长度，得到函数y＝cs（ωx−π9ω）的图象，
再横坐标变为原来的3倍得到函数y=cs(13ωx−π9ω)的图象，得不到函数y＝sinx的图象，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6．（2025春•金安区校级期中）已知函数f（x）＝cs2x，则（ ）
A．f（3）＜f（1）B．f′（e）＜f（e）
C．f（e）+f（ln3）＜0D．f(sin111)＞f(ln1.1)
【考点】余弦函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据f（x）＝cs2x的单调性和对称性，利用构造函数的方法对各选项进行逐项分析．
解：对于选项A，令0≤2x≤π，解得0≤x≤π2，故f（x）＝cs2x在x∈[0，π2]上单调递减，
令2x＝π，解得x=π2，故f（x）＝cs2x的一条对称轴为x=π2，故f（3）＝f（π﹣3），
因为1＞π﹣3，1，π−3∈[0，π2]，所以f（1）＜f（π﹣3），即f（1）＜f（3），A错误；
对于选项B，f′（x）＝﹣2sin2x，故f′（e）＝﹣2sin2e，f（e）＝cs2e，因为3π4＜e＜π，所以3π2＜2e＜2π，
故f（e）＝cs2e＞0，而sin2e＜0，故f′（e）＝﹣2sin2e＞0，则f′(e)f(e)=−2sin2ecs2e=−2tan2e，其中e≈2.718，
π≈3.14，故2e∈(3π2，2π)，则f′（e）＞0，f（e）＞0，
由于y＝tanz在(3π2，2π)上单调递增，
故tan2e＜tan74π=−1，
故f′(e)f(e)=−2tan2e＞2，故f′（e）＞2f（e）＞f（e），B错误；
对于选项C，f（x）＝cs2x的一条对称轴为x=π2，故f（e）＝f（π﹣e），其中3π4＜e＜π，
故π−e∈(0，π4)，故f（e）＝f（π﹣e）＞0，
而1=lne＜ln3＜lne32=32，故ln3∈(π4，π2)，所以f（ln3）＜0，
因为f（x）＝cs2x关于(π4，0)中心对称，
故f(ln3)=−f(π2−ln3)，其中0＜π2−ln3＜π4，
则f(e)+f(ln3)=f(π−e)−f(π2−ln3)，其中e≈2.718，π2≈12×3.14=1.57，
下面证明ln3＜1.1，
令u(x)=ex−1−x−x22，x＞0，则u′（x）＝ex﹣1﹣x，
令q（x）＝u′（x），则q′（x）＝ex﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立，
故q（x）＝u′（x）在（0，+∞）上单调递增，又q（0）＝0，故q（x）＝u′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
故u（x）在（0，+∞）上单调递增，故u（x）＞u（0）＝0，故u(0.1)=e0.1−1−0.1−(0.1)22＞0，
所以e0.1＞1+0.1+(0.1)22=1.105，则e1.1＞1.105e＞1.105×2.718＝3.00339＞3，两边取对数得ln3＜1.1，
故π−e−(π2−ln3)=π2+ln3−e＜0，故π−e＜π2−ln3，又f（x）＝cs2x在x∈(0，π4)上单调递减，
故f(π−e)＞f(π2−ln3)，故f(e)+f(ln3)=f(π−e)−f(π2−ln3)＞0，C错误；
对于选项D，sin111∈(0，1)，ln1.1∈（0，lne）＝（0，1），令g(t)=ln11−t−sint，t∈（0，1），
则g′(t)=(1−t)(11−t)′−cst=11−t−cst，
当t∈（0，1）时，11−t＞1，cst∈（0，1），故g′(t)=11−t−cst＞0恒成立，
故g(t)=ln11−t−sint在t∈（0，1）上单调递增，故g（t）＞g（0）＝0，
所以g(111)＞0，故ln1.1＞sin111，由于f（x）＝cs2x在x∈[0，π2]上单调递减，
所以f(ln1.1)＜f(sin111)，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的单调性和对称性以及构造函数比较大小，属于中档题．
7．（2025春•西昌市期中）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．在摩天轮转动一圈内，点P距离地面超过85m有多长时间（ ）
A．5分钟B．10分钟C．15分钟D．20分钟
【考点】三角函数应用．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；逻辑思维．
【正确答案】B
【分析】由中心点到地面距离得b值，由摩天轮半径得A值，由周期求得ω，再由初始值求得φ得表达式，再解不等式y＞85后可得．
解：中心点O距地面60m，则b＝60，摩天轮的半径为50m，
即A＝50，T＝30，ω=2πT=π15，
最低点到地面距离为10m，
所以50sinφ+60＝10，sinφ＝﹣1，又φ∈[﹣π，π]，则φ=−π2，
所以表达式为y=50sin(π15t−π2)+60，
那么可得y=50sin(π15t−π2)+60＞85，sin（π15t−π2）＞12，
取一个周期内，有π6＜π15t−π2＜5π6，10＜t＜20，20﹣10＝10，
所以在摩天轮转动一圈内，点P有10分钟的时间距离地面超过85m．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的综合应用，属于中档题．
8．（2025春•金溪县校级期中）如图，某摩天轮的半径为77m，最高点距离地面高度为160m，摩天轮的圆周上均匀地安装了60个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要30min，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点M处进舱，转动tmin后距离地面的高度为H（t）m，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，H（t）关于时间t的函数解析式为（ ）
A．H(t)=77sin(π15t−π2)+83
B．H(t)=77sin(π15t+π2)+83
C．H(t)=77cs(π15t−π2)+83
D．H(t)=77cs(π15t+π2)+83
【考点】三角函数应用．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；逻辑思维．
【正确答案】A
【分析】设H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（ω＞0），根据题中信息求出A、B、ω、φ的值，即可得出函数H（t）的解析式．
解：设函数H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（ω＞0），根据题意可得A=77A+B=160，所以A=77B=83，
H（t）的最小正周期为T＝30，那么ω=2πT=π15，
由于从最低点M处进舱，那么可取φ=−π2，
因此函数解析式为H(t)=77sin(π15t−π2)+83．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的应用，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025•内江三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图，将曲线y＝f（x）向右平移π6个单位长度，再将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的32倍，得到函数g（x）的图象，则（ ）
A．直线x=7π8是函数g（x）图象的一条对称轴
B．直线x=π4是函数g（x）图象的一条对称轴
C．点(π8，0)是函数g（x）图象的一个对称中心
D．函数g（x）在区间[3π8，7π8]上单调递减
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】由最值求解A，结合对称性及五点作图求出ω，φ，进而可求f（x），然后结合函数图象的平移变换及伸缩变换求出g（x），再由正弦函数的性质检验各选项即可判断．
解：由图象可得，A＝2，
因为f（0）＝f（π6）＝f（2π3），
所以函数的相邻对称轴分别为x=π12，x=π6+2π32=5π12，
则T＝2（5π12−π12）=2π3，ω＝3，
由五点作图可得，3×π12+φ=π2，则φ=π4，f（x）＝2sin（3x+π4），
y＝f（x）向右平移π6个单位长度，再将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的32倍，得到函数g（x）＝2sin（2x−π4），
因为2×7π8−π4=3π2，此时g（x）取得最小值，即x=7π8为函数的对称轴，A正确；
因为2×π4−π4π4，此时g（x）不是最值点，即x=π4不是函数的对称轴，B错误；
因为g（π8）＝2sin（2×π8−π4）＝0，即(π8，0)是函数g（x）对称中心，C正确；
当3π8≤x≤7π8时，π2≤2x−π4≤3π2，此时g（x）单调递减，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了正弦函数图象的变换及正弦函数性质的应用，属于中档题．
（多选）10．（2025春•临渭区校级期中）下列说法中正确的是（ ）
A．对于定义在实数R上的函数f（x）中满足f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是以2为周期的函数
B．函数f(x)=tan(x+π3)的单调递增区间为(−5π6+kπ，π6+kπ)，k∈Z
C．函数f(x)=x2sin(x+π2)为奇函数
D．方程x﹣tanx＝0的实数根个数有无穷多个
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】ABD
【分析】根据周期的定义即可判断选项A；根据正切函数的单调性即可判断选项B；根据诱导公式化简函数，结合函数奇偶性的定义即可判断选项C；根据函数零点与方程根的关系及正切函数y＝tanx的单调性与周期性即可判断选项D．
解：对于A，由周期函数的定义，若对∀x∈R，都有f（x+2）＝f（x），
则函数f（x）是以2为周期的函数，故选项A正确；
对于B，令−π2+kπ＜x+π3＜π2+kπ，k∈Z，解得−5π6+kπ＜x＜π6+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)=tan(x+π3)的单调递增区间为(−5π6+kπ，π6+kπ)，k∈Z，故选项B正确；
对于C，f(x)=x2sin(x+π2)=x2csx，f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x）2cs（﹣x）＝x2csx＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，故选项C错误；
对于D，方程x﹣tanx＝0的实数根个数即为直线y＝x与函数y＝tanx图象的交点个数，如图，
直线y＝x与函数y＝tanx图象有无穷多个交点，即方程x﹣tanx＝0的实数根个数有无穷多个，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
（多选）11．（2025春•湖南期中）已知函数f(x)=2sin(2x−π4)，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．若f（x）在区间（0，m）恰有两个零点，则m的取值范围为(5π8，9π8]
C．若f（x）≥﹣1，且0≤x≤2π，则0≤x≤3π4
D．若f（x）在区间（0，m）恰有两个极值点，则m的取值范围为(7π8，11π8]
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】BD
【分析】根据三角函数的图象与性质，对各选项逐项分析．
解：对于A，f（x）最小正周期为π，故A错误；
对于B，x∈（0，m）时，2x−π4∈（−π4，2m−π4），
若f（x）在区间（0，m）恰有两个零点，则π＜2m−π4≤2π，解得m∈(5π8，9π8]，故B正确；
对于C，当x＝2π时，f（x）=2sin（−π4）＝﹣1，满足不等式f（x）≥﹣1，故C错误；
对于D，x∈（0，m）时，2x−π4∈（−π4，2m−π4），
若f（x）在区间（0，m）恰有两个极值点，则3π2＜2m−π4≤5π2，解得m∈(7π8，11π8]，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性、三角函数的图象和性质，属于中档题．
（多选）12．（2025春•桂平市期中）将函数y=2sin(6x−π10)图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数f（x）的图象，则（ ）
A．f（x）的值域为[﹣2，2]
B．f（x）的图象关于点(π180，0)对称
C．f（x）的图象关于直线x=−π5对称
D．f（x）在(0，π2)上单调递减
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】首先利用函数图象的伸缩变换求出函数f（x）的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
解：将函数y=2sin(6x−π10)图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数f（x）＝2sin（2x−π10）的图象，
对于A：由于x∈R，故函数f（x）的值域为[﹣2，2]，故A正确．
对于B：当x=π180时，f（π180）＝2sin（π90−9π90）≠0，故B错误；
对于C：当x=−π5时，f（−π5）＝﹣2，故C正确；
对于D：当x∈(0，π2)时，2x−π10∈(−π10，9π10)，故函数f（x）在该区间上不单调，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•河南期中）如图，某小区的平面图是半径为300米，圆心角∠AOB=3π4的扇形OAB，小路CD平行于AO，且点D在OB上，点C在AB上，若OD=1502米，则劣弧AC的长为 50π 米．
【考点】弧长公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】50π．
【分析】利用正弦定理求出劣弧AC的圆心角，利用弧长公式可得答案．
解：根据题意：半径为300米，圆心角∠AOB=3π4的扇形OAB，连接OC，设∠AOC＝α，因为CD∥AO，所以∠OCD＝α，
因为∠AOB=3π4，所以∠ODC=π4，
由正弦定理OCsinπ4=ODsinα，因为OD=1502，所以sinα=1502×22300=12，
因为α∈(0，3π4)，所以α=π6，所以劣弧AC的长为π6×300=50π．
故50π．
【点评】本题考查的知识点：正弦定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（2025春•新都区期中）函数f（x）＝sin8x+cs8x的值域为 [18，1] ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】[18，1]．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换以及二次函数的性质求出结果．
解：函数f（x）＝sin8x+cs8x＝（sin4x+cs4x）2﹣2sin4xcs4x＝（1﹣2sin2xcs2x）2﹣2sin4xcs4x，
令t＝sin2xcs2x=14sin22x，
由于0≤sin22x≤1，所以0≤t≤14，
所以g（t）＝（1﹣2t）2﹣2t2＝2t2﹣4t+1，
由于t∈[0，14]，函数在该区间上单调递减，故当t＝0时，函数的值为1，当t=14时，函数的值为18．
故函数的值域为[18，1]．
故[18，1]．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，函数的值域的求法，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2025春•益阳期中）f(x)=cs(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的图象经过点(0，12)，且在区间(π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围为 [4，5] ．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】[4，5]．
【分析】根据题意，先求出φ，代入f（x），再由x∈(π6，π3)，求出ωx+π3的整体范围，利用余弦函数的单调增区间列出不等式组，求得ω的取值范围．
解：因为f（x）的图象经过点(0，12)，所以f(0)=csφ=12，
又φ∈(0，π2)，所以φ=π3，f（x）＝cs（ωx+π3），
当x∈(π6，π3)时，ωx+π3∈(π6ω+π3，π3ω+π3)，
因为f（x）在区间(π6，π3)上单调递增，所以π6ω+π3≥−π+2kππ3ω+π3≤2kπ，k∈Z，
解得ω∈[﹣8+12k，﹣1+6k]，k∈Z，
又因为ω＞0，所以k＝1，ω∈[4，5]．
故[4，5]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
16．（2025春•红桥区校级期中）某地一天0～24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数y＝6sin（π12t−2π3）+20（t∈[0，24]），则这一天的最低气温是 14 ℃．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的求值．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】由t∈[0，24]利用正弦函数的定义域和值域求得函数y的最小值．
解：由t∈[0，24]，可得π12t−2π3∈[−2π3，4π3]，﹣1≤sin（π12t−2π3）≤1，
故当sin（π12t−2π3）＝﹣1时，函数y取得最小值为 14，
故14．
【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•临沂期中）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的23（纵坐标不变），再向右平移π18个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，当x∈[0，π2]时，求g（x）的值域以及g（x）取最大值时x的值．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】（1）f（x）＝sin（2x−π6）；
（2）g（x）的值域为[−32，1]，π2，x=5π18．
【分析】（1）由最值求出A，由周期求出ω，结合特殊点的函数值求出φ，进而可求f（x；
（2）结合三角函数图象的变换求出g（x），然后结合正弦函数的性质即可求解．
解：（1）根据函数图象可得，A＝1，T2=5π6−π3=π2，
∴T=π=2πω，ω＝2，
又∵f(π3)=1，
∴sin(2×π3+φ)=1，则2π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，
得φ=π6+2kπ，k∈Z，
又∵|φ|＜π2，则φ=−π6，
f（x）＝sin（2x−π6）；
（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的23（纵坐标不变），再向右平移π18个单位长度，
得到函数y＝g（x）＝sin（3x−π3）的图象，
当x∈[0，π2]时，−π3≤3x−π3≤7π6，
∴−32≤sin(3x−π3)≤1，即g（x）的值域为[−32，1]，
g（x）取最大值1时，3x−π3=π2，x=5π18．
【点评】本题主要考查了y＝Asin（ωx+φ）的解析式的求解，三角函数图象的变换，正弦函数的性质，属于中档题．
18．（2025春•衢州期中）已知函数f（x）＝asinxcsx﹣bcs2x+1．
（1）如果a＝b＝2，求函数f（x）的最小正周期与增区间；
（2）如果a＝4，b＝2，当x＝x0时，函数f（x）取得最大值，求tanx0的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】（1）π，[−π8+kπ，3π8+kπ]，k∈Z；
（2）1+52．
【分析】（1）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=2sin(2x−π4)，进而利用正弦函数的性质即可求解；
（2）当a＝4，b＝2时，利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=5sin(2x−φ)，其中tanφ＝2，利用正弦函数的性质以及二倍角公式即可求解．
解：（1）当a＝b＝2时，f（x）＝2sinxcsx﹣2cs2x+1
＝sin2x﹣cs2x
=2sin(2x−π4)，
故函数f（x）的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ−π2≤2x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，可得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的增区间为[−π8+kπ，3π8+kπ]，k∈Z；
（2）当a＝4，b＝2时，
可得f（x）＝4sinxcsx﹣（2cs2x﹣1）
＝2sin2x﹣cs2x
=5(sin2x⋅25−cs2x⋅15)
=5sin(2x−φ)，其中csφ=25，sinφ=15，tanφ＝2，
当2x0−φ=π2+2kπ，即2x0=φ+π2+2kπ时，f（x）取得最大值，
所以sin2x0=csφ=25，cs2x0=−sinφ=−15，
所以tanx0=sinx0csx0=2csx0sinx02csx0csx0=sin2x01+cs2x0=1+52．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
19．（2025春•顺庆区校级期中）已知函数f(x)=sin(2x+π3)，g(x)=−sin2x+acsx+1．
（1）求y＝f（x）的周期以及单调增区间；
（2）设函数g（x）的最小值为h（a），求h（a）的解析式．
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的单调性；三角函数的最值．
【专题】计算题；分类讨论；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】（1）π，[−5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z；
（2）h(a)=1−a，a≥2−a24，−2＜a＜21+a，a≤−2．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的性质即可求解；
（2）由题意令csx＝t，t∈[﹣1，1]，可得y=t2+at=(t+a2)2−a24，分类讨论，利用二次函数的性质即可求解．
解：（1）由f(x)=sin(2x+π3)，可得T=2π2=π，
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
可得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
可得f（x）的单调增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z；
（2）g（x）＝﹣sin2x+acsx+1＝﹣（1﹣cs2x）+acsx+1＝cs2x+acsx，
令csx＝t，t∈[﹣1，1]，
则y=t2+at=(t+a2)2−a24，
当−a2≤−1时，即a≥2时，g（x）min＝h（a）＝1﹣a，
当−1＜−a2＜1时，即﹣2＜a＜2时，g(x)min=h(a)=−a24，
当−a2＞1时，即a≤﹣2时，g（x）min＝h（a）＝1+a，
综上所述，h(a)=1−a，a≥2−a24，−2＜a＜21+a，a≤−2．
【点评】本题考查了正弦函数的性质以及二次函数的性质的应用，考查了函数思想和分类讨论思想，属于中档题．
20．（2024秋•泰州期末）若两个集合A和B之间存在一一对应关系f：A→B，则称A和B等势，记为A～B．例如：若集合A为整数集，集合B为偶数集，因为存在A和B之间的一一对应关系f：x→2x，所以A～B．
（1）判断集合A＝{x|0＜x＜1}和集合B＝{x|x＞1}是否等势，并说明理由；
（2）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，M＝{1，2，3，4}，N＝{﹣2，﹣1，1，2}．集合A中的元素个数记为T（A）．
①若存在集合M和N之间的一一对应关系f：x→2sin(π3x+φ)(0≤φ＜2π)，使得M～N，求φ；
②集合P满足T（P）＝4T（M∩N∩P），T（P）＝T（M∩P）+1，且T（P）≠2T（N∩P），求满足条件的集合P的个数．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；逻辑思维．
【正确答案】（1）A和B等势，理由见解答．
（2）①φ=π6或φ=7π6；
②4个．
【分析】（1）举例说明即可；
（2）①由题意可得{f（1），f（2），f（3），f（4）}＝{﹣2，﹣1，1，2}，分类讨论即可；
②根据题意易得1≤T（P）≤5，再分1∈P，2∈P；1∉P，2∉P；1∈P，2∉P；1∉P，2∈P四种情况讨论即可．
解：（1）因为集合A，B之间存在一一对应关系f：x→1x，
所以A和B等势；
（2）①因为M～N，
所以{f（1），f（2），f（3），f（4）}＝{﹣2，﹣1，1，2}，
所以{2sin(π3+φ)，2sin(2π3+φ)，2sin（π+φ），2sin(4π3+φ)}={−2，−1，1，2}={﹣2，﹣1，1，2}，
即{2sin(π3+φ)，2sin(2π3+φ)，﹣2sinφ，﹣2sin（3+φ）}＝{﹣2，﹣1，1，2}，
当2sin(π3+φ)=2时，因为0≤φ＜2π，所以φ=π6，
此时{2sin(π3+φ)，2sin(2π3+φ)，﹣2siφ，﹣2sin（3+φ）}＝{﹣2，﹣1，1，2}，满足；当2sin(π3+φ)=−2时，因为0≤φ＜2π，所以ω=7π6，
此时{2sin(π3+φ)，2sin(2π3+φ)，﹣2sinφ，﹣2sin（3+φ）}＝{﹣2，﹣1，1，2}，满足；
当﹣2sinφ＝2时，因为0≤φ＜2π，所以φ=3π2，
此时2sin(2π3+φ)=−2sin(π3+φ)=1，不满足；
当﹣2sinφ＝﹣2时，因为0≤φ＜2π，所以φ=π2，
此时2sin(2π3+φ)=−2sin(π3+φ)=−1，不满足；
综上所述，φ=π6或φ=7π6；
②因为集合M＝{1，2，3，4}，
由T（P）＝T（M∩P）+1，得1≤T（P）≤5，
又M∩N＝{1，2}，
若1∈P，2∈P，则T（P）＝4T（M∩N∩P）＝8，与1≤T（P）≤5矛盾，舍去；
若1∉P，2∉P，则T（P）＝4T（M∩N∩P）＝0，与1≤T（P）≤5矛盾，舍去；
若1∈P，2∉P，则T（P）＝4T（M∩N∩P）＝4，
由T（P）＝T（M∩P）+1，得T（M∩P）＝3，
故3∈P，4∈P，
由于T（P）≠2T（N∩P），得2T（N∩P）≠2，故﹣1∉P，﹣2∉P，
所以P＝{0，1，3，4}或P＝{1，3，4，5}；
若1∉P，2∈P，
同理可得P＝{0，2，3，4}或P＝{2，3，4，5}．
综上所述，满足条件的集合P有4个．
【点评】本题考查三角函数综合应用，属于中档题．