2026年高考数学一轮专题训练：三角函数2 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：三角函数2 [含答案]，共12页。
A．2B．3C．6D．8
2．（2025春•广西期末）利用斜二测画法画出△OAC的直观图如图阴影部分所示，其中O′A′＝2，S△O′C′A′=2，则OC＝（ ）
A．4B．22C．2D．2
3．（2025春•泉州校级期末）若sinθ=12，且θ为第二象限角，则csθ等于（ ）
A．−32B．32C．−12D．12
4．（2025春•黄山校级期末）若tanα＝2，则cs2αsin2α+3sin2α=（ ）
A．14B．18C．114D．116
5．（2025春•寿光市校级期末）若tanα＝3，则sin2α﹣2cs2α＝（ ）
A．−25B．25C．−65D．65
6．（2024秋•阳泉期末）已知tanα=12，tan（α+β）=13，则tanβ＝（ ）
A．16B．−17C．17D．56
7．（2025春•建平县校级期中）在平面直角坐标系xOy中，角α与β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若csα=−37，则csβ＝（ ）
A．37B．−37C．2107D．−2107
8．（2025•九龙坡区校级一模）已知0＜α＜β＜π2，cs(2β−2α)=725，1tanα−1tanβ=2，则csαcsβ＝（ ）
A．710B．35C．12D．25
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•嘉峪关校级月考）若a＝cs15°﹣sin15°，b=12，c＝sin105°cs15°﹣cs75°sin15°，则（ ）
A．c＜aB．b＜aC．b＜cD．a＜c
（多选）10．（2025春•建平县校级期中）下列诱导公式正确的是（ ）
A．sin（3π+α）＝sinαB．sin(7π+α2)=−csα2
C．cs(5π2−2α)=sin2αD．cs（9π﹣3α）＝cs3α
（多选）11．（2025春•湖北期末）下列四个选项，化简正确的是（ ）
A．cs（﹣15°）=6−24
B．cs 15°cs 105°+sin 15°sin 105°＝cs（15°﹣105°）＝0
C．cs（α﹣35°）cs（25°+α）+sin（α﹣35°）sin（25°+α）＝cs[（α﹣35°）﹣（25°+α）]＝cs（﹣60°）＝cs 60°=12．
D．sin 14°cs 16°+sin 76°cs 74°=12．
（多选）12．（2025春•浙江期中）已知函数f(x)=2sin(3x−π6)，下列说法正确的是（ ）
A．f(x−2π3)=f(x)
B．函数f（x）的图象关于点(π18，0)中心对称
C．将f（x）的图象向左平移π6个单位长度，可得到g（x）＝2sin3x的图象
D．函数f（x）在区间(0，π3)上单调递增
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•青白江区校级期末）已知角α，β满足cs(α−β)=16，cs(α+β)=13，则tanαtanβ＝ ．
14．（2025春•徐汇区期末）若sinα=12，且α∈[0，π]，则α所有可能的值为 ．
15．（2025•九龙坡区校级一模）函数f(x)=sin(2x+φ)，(|φ|＜π2)的图象向左平移π6个单位后得到偶函数的图象，则函数f（x）在[0，π2]上最大值为 ．
16．（2025春•越秀区期末）若sin(α+π6)=14，则sin(2α−π6)= ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•江西期中）已知函数f(x)=2sinωx(32csωx−12sinωx)+12(ω＞0)．
（1）若f（x）的最小正周期为π2，
（ⅰ）求ω的值；
（ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
（2）若f（x）在（π，2π）上没有最小值，求ω的取值范围．
18．（2025春•余江区校级期末）已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0＜φ＜π2)，且|f(π6)|=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移π12个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y＝g（x）的图象．当x∈（0，π）时，求不等式g(2x)≤g(x+π4)的解集．
19．（2025春•邓州市校级月考）已知函数y＝tan（12x−π6）．
（1）作出此函数在一个周期开区间上的简图；
（2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；
（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标．
20．（2025春•上海校级月考）新定义：函数f（x）＝sin（xk）称为y＝sinx的“k次三角幂函数”，同理可以定义出y＝csx，y＝ctx，y＝tanx的“k次三角幂函数”的定义．（其中k∈Z）
（1）是否存在整数k，使得y＝ctx的“k次三角幂函数”与函数|y|＝x有交点？
（2）上述四个三角函数中，有哪些“k次三角幂函数”的奇偶性与k有关，哪些无关？
（3）求：y＝sinx的“k次三角幂函数”具有周期性的充要条件．
高考数学一轮复习 三角函数
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•青白江区校级期末）已知扇形的弧长为4π3，圆心角为40°，则该扇形的半径为（ ）
A．2B．3C．6D．8
【考点】弧长公式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】C
【分析】由题意将圆心角化为弧度，结合扇形的弧长公式求得扇形的半径．
解：圆心角为40°，化成弧度得40π180=2π9，
结合扇形的弧长为4π3，可得2π9•r=4π3，解得r＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查弧度制、扇形的弧长公式等知识，属于基础题．
2．（2025春•广西期末）利用斜二测画法画出△OAC的直观图如图阴影部分所示，其中O′A′＝2，S△O′C′A′=2，则OC＝（ ）
A．4B．22C．2D．2
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出O′C′，再利用斜二测画法求解．
解：因为O′A′＝2，S△O′C′A′=2，
依题意，S△O′C′A′=12O′A′⋅O′C′sin45°=22O′C′=2，解得O′C′＝2，
所以OC＝2O′C′＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了斜二测画直观图，属于基础题．
3．（2025春•泉州校级期末）若sinθ=12，且θ为第二象限角，则csθ等于（ ）
A．−32B．32C．−12D．12
【考点】同角正弦、余弦的平方和为1．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】A
【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合余弦在第二象限的符号算出csθ的值．
解：根据sinθ=12，可得cs2θ＝1﹣sin2θ=34，
因为θ为第二象限角，可得csθ＜0，所以csθ=−cs2θ=−32．
故选：A．
【点评】本题主要考查象限角的概念、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．
4．（2025春•黄山校级期末）若tanα＝2，则cs2αsin2α+3sin2α=（ ）
A．14B．18C．114D．116
【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据正弦二倍角公式化简可得齐次方程后，弦切互化代入计算即可求解．
解：若tanα＝2，
则cs2αsin2α+3sin2α=cs2α2sinαcsα+3sin2α=12tanα+3tan2α=12×2+3×4=116．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
5．（2025春•寿光市校级期末）若tanα＝3，则sin2α﹣2cs2α＝（ ）
A．−25B．25C．−65D．65
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】B
【分析】由已知结合倍角公式及同角三角函数的基本关系式化弦为切得答案．
解：∵tanα＝3，
∴sin2α﹣2cs2α=2sinαcsα−2cs2αsin2α+cs2α=2tanα−2tan2α+1=2×3−232+1=25．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
6．（2024秋•阳泉期末）已知tanα=12，tan（α+β）=13，则tanβ＝（ ）
A．16B．−17C．17D．56
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】B
【分析】由于β＝（α+β）﹣α，根据已知利用两角差的正切函数公式即可计算求解．
解：∵tanα=12，tan（α+β）=13，
∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=13−121+12×13=−17．
故选：B．
【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．（2025春•建平县校级期中）在平面直角坐标系xOy中，角α与β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若csα=−37，则csβ＝（ ）
A．37B．−37C．2107D．−2107
【考点】两角和与差的三角函数；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】A
【分析】根据任意角的概念及诱导公式，即可得解．
解：因为角α与β均以Ox为始边，且它们的终边关于y轴对称，
所以csβ=−csα=37．
故选：A．
【点评】本题考查任意角的概念及诱导公式，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（2025•九龙坡区校级一模）已知0＜α＜β＜π2，cs(2β−2α)=725，1tanα−1tanβ=2，则csαcsβ＝（ ）
A．710B．35C．12D．25
【考点】两角和与差的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】由cs(2β−2α)=725结合二倍角公式可得sin(β−α)=35，进而求得cs(β−α)=45，结合两角差的正弦化简1tanα−1tanβ=2即可求解sinαsinβ=310，最后利用两角差的余弦公式即可求解．
解：因为0＜α＜β＜π2，所以0＜β−α＜π2，
由二倍角公式得cs(2β−2α)=1−2sin2(β−α)=725，解得sin(β−α)=35，cs（β﹣α）=45；
所以csβcsα+sinβsinα=45，
由于1tanα−1tanβ=2，
所以1tanα−1tanβ=csαsinα−csβsinβ=sinβcsα−csβsinαsinαsinβ=sin(β−α)sinαsinβ=2，
所以sinαsinβ=sin(β−α)2=310，
所以csβcsα=45−sinβsinα=45−310=12．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•嘉峪关校级月考）若a＝cs15°﹣sin15°，b=12，c＝sin105°cs15°﹣cs75°sin15°，则（ ）
A．c＜aB．b＜aC．b＜cD．a＜c
【考点】求两角和与差的三角函数值；正弦函数的单调性．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】BCD
【分析】由辅助角公式化简可得a=22，结合诱导公式与两角差的正弦公式可得c=32，再比较a，b，c的大小即可．
解：a=cs15°−sin15°=2(22cs15°−22sin15°)=2cs(45°+15°)=22，
c=sin105°cs15°−cs75°sin15°=sin75°cs15°−cs75°sin15°=sin(75°−15°)=32，
而b=12，
所以b＜a＜c．
故选：BCD．
【点评】本题考查三角函数化简求值，熟练掌握两角和差公式，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
（多选）10．（2025春•建平县校级期中）下列诱导公式正确的是（ ）
A．sin（3π+α）＝sinαB．sin(7π+α2)=−csα2
C．cs(5π2−2α)=sin2αD．cs（9π﹣3α）＝cs3α
【考点】运用诱导公式化简求值；二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】BC
【分析】利用三角函数的诱导公式即可得解．
解：对于A，sin（3π+α）＝sin（π+α）＝﹣sinα，故A项错误；
对于B，sin(7π+α2)=sin(α2−π2)=−sin(π2−α2)=−csα2，故B正确；
对于C，cs(5π2−2α)=cs(π2−2α)=sin2α，故C正确；
对于D，cs（9π﹣3α）＝cs（π﹣3α）＝﹣cs3α，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
（多选）11．（2025春•湖北期末）下列四个选项，化简正确的是（ ）
A．cs（﹣15°）=6−24
B．cs 15°cs 105°+sin 15°sin 105°＝cs（15°﹣105°）＝0
C．cs（α﹣35°）cs（25°+α）+sin（α﹣35°）sin（25°+α）＝cs[（α﹣35°）﹣（25°+α）]＝cs（﹣60°）＝cs 60°=12．
D．sin 14°cs 16°+sin 76°cs 74°=12．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【正确答案】BCD
【分析】利用两角和与差的三角函数判断A的正误；通过两角和与差的三角函数判断B、C、D的正误；
解：对于A：方法一 原式＝cs（30°﹣45°）＝cs 30°cs 45°+sin 30°sin 45°=32×22+12×22=6+24，A错误，
方法二 原式＝cs 15°＝cs（45°﹣30°）＝cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24．
对于B原式＝cs（15°﹣105°）＝cs（﹣90°）＝cs 90°＝0，B正确
对于C原式＝cs[（α﹣35°）﹣（25°+α）]＝cs（﹣60°）＝cs 60°=12．
对于D原式＝cs 76°cs 16°+sin 76°sin 16°＝cs（76°﹣16°）＝cs 60°=12．
故选：BCD．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，是基本知识的考查．
（多选）12．（2025春•浙江期中）已知函数f(x)=2sin(3x−π6)，下列说法正确的是（ ）
A．f(x−2π3)=f(x)
B．函数f（x）的图象关于点(π18，0)中心对称
C．将f（x）的图象向左平移π6个单位长度，可得到g（x）＝2sin3x的图象
D．函数f（x）在区间(0，π3)上单调递增
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】AB
【分析】根据已知条件，结合三角函数的性质，逐项判断，即可求解．
解：函数f(x)=2sin(3x−π6)，
则f（x）的周期T=2π3，
所以f(x−2π3)=f(x)，所以A正确；
令f(x)=2sin(3x−π6)=0，
故3x−π6=kπ，k∈Z，解得x=kπ3+π18，k∈Z，
得对称中心为(kπ3+π18，0)(k∈Z)，故B正确；
将f（x）的图象向左平移π6个单位长度，得到f(x+π6)=2sin(3x+π3)的，故C错误；
由f（x）的对称轴为x=2π9+kπ3，k∈Z，x=2π9∈(0，π3)，f（x）在(0，π3)上不单调，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•青白江区校级期末）已知角α，β满足cs(α−β)=16，cs(α+β)=13，则tanαtanβ＝ −13 ．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；分析法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】−13．
【分析】利用两角和与差的余弦公式求解即可．
解：由cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=16，
cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=13，
则csαcsβ=14，sinαsinβ=−112，
则tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=−11214=−13．
故−13．
【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于基础题．
14．（2025春•徐汇区期末）若sinα=12，且α∈[0，π]，则α所有可能的值为 π6或5π6 ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】π6或5π6．
【分析】根据正弦函数的性质，结合特殊角的三角函数值进行求解，可得答案．
解：根据sinα=12＞0，且α∈[0，π]，可得α为锐角或钝角，
若α为锐角，结合sinα=12，可得α=π6；
若α为钝角，结合sinα=12，可得α＝π−π6=5π6．
故π6或5π6．
【点评】本题主要考查正弦函数的性质、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
15．（2025•九龙坡区校级一模）函数f(x)=sin(2x+φ)，(|φ|＜π2)的图象向左平移π6个单位后得到偶函数的图象，则函数f（x）在[0，π2]上最大值为 1 ．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】1．
【分析】根据三角函数图象平移变换可知y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+φ+π3)，再根据正弦型三角函数的奇偶性可知，φ=π6，即f(x)=sin(2x+π6).利用正弦型三角函数的图象与性质，求解即可．
解：函数f(x)=sin(2x+φ)，(|φ|＜π2)的图象向左平移π6个单位后得到偶函数的图象，
所以平移得到的图象对应的解析式为y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+φ+π3)，
因为y=sin(2x+φ+π3)为偶函数，
所以φ+π3=kπ+π2，其中k∈Z．即φ=π6+kπ，k∈Z，
因为|φ|＜π2，所以φ=π6．
当x∈[0，π2]时，π6≤2x+π6≤7π6，
所以−12≤sin(2x+π6)≤1．
即f（x）的最大值为1．
故1．
【点评】本题考查正弦型三角函数的图像与性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（2025春•越秀区期末）若sin(α+π6)=14，则sin(2α−π6)= −78 ．
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】−78．
【分析】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式将sin(2α−π6)化简成含有sin(α+π6)的表达式，即可求得结果．
解：由题意sin(α+π6)=14，
可得sin(2α−π6)=sin[2(α+π6)−π2]
=−cs[2(α+π6)]
=−[1−2sin2(α+π6)]
=−(1−2×116)
=−78．
故−78．
【点评】本题考查了诱导公式以及二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•江西期中）已知函数f(x)=2sinωx(32csωx−12sinωx)+12(ω＞0)．
（1）若f（x）的最小正周期为π2，
（ⅰ）求ω的值；
（ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
（2）若f（x）在（π，2π）上没有最小值，求ω的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】（1）（ⅰ）2；（ⅱ）[kπ2−π6，kπ2+π12](k∈Z)．
（2）(0，13]∪[23，56]．
【分析】（1）（ⅰ）根据二倍角公式与辅助角公式化简f（x），然后根据三角函数的周期公式求得ω的值；
（ⅱ）根据正弦函数的单调性进行求解，可得f（x）的单调递增区间；
（2）求得2ωx+π6∈(2ωπ+π6，4ωπ+π6)，然后根据正弦函数的性质列出不等式，化简得k−13≤ω≤k2+13，结合k≤43且k∈Z求出ω的取值范围．
解：（1）（ⅰ）由题意得f（x）=3sinωxcsωx﹣sin2ωx+12
=32sin2ωx+12(1−2sin2ωx)=32sin2ωx+12cs2ωx=sin(2ωx+π6)，
根据f（x）的最小正周期T=2π2ω=π2，解得ω＝2；
（ⅱ）由（ⅰ）得f(x)=sin(4x+π6)，
令2kπ−π2≤4x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ2−π6≤x≤kπ2+π12，k∈Z．
所以f（x）的单调递增区间为[kπ2−π6，kπ2+π12](k∈Z)．
（2）当x∈（π，2π）时，2ωx+π6∈(2ωπ+π6，4ωπ+π6)，
若f（x）在（π，2π）上没有最小值，则−π2+2kπ∉（2ωπ+π6，4ωπ+π6），k∈Z，
所以−π2+2kπ≤2ωπ+π6，且3π2+2kπ≥4ωπ+π6，解得k−13≤ω≤k2+13，k∈Z，
根据k−13≤ω≤k2+13，可得k≤43，
结合ω＞0，k∈Z，取k＝0得0＜ω≤13，取k＝1得23≤ω≤56，故ω的取值范围为(0，13]∪[23，56]．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式与二倍角公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
18．（2025春•余江区校级期末）已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0＜φ＜π2)，且|f(π6)|=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移π12个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y＝g（x）的图象．当x∈（0，π）时，求不等式g(2x)≤g(x+π4)的解集．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）f(x)=sin(2x+π6)；
（2）(0，11π12]．
【分析】（1）根据特殊值计算结合角的范围求解；
（2）先根据平移伸缩得出g（x）＝sinx，再结合二倍角余弦公式化简应用单调性解三角不等式即可．
解：（1）函数f(x)=sin(2x+φ)(0＜φ＜π2)，且|f(π6)|=1，所以2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，可得φ=π6+kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin(2x+π6)．
（2）将f(x)=sin(2x+π6)的图象向右平移π12个单位长度得y=sin[2(x−π12)+π6]=sin2x的图象，
再将y＝sin2x图象上每个点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sinx的图象，所以g（x）＝sinx，所以原不等式化为sin2x≤sin(x+π4)．
令t=x+π4，x∈（0，π），则t∈(π4，5π4)，不等式化为sin2(t−π4)≤sint，
所以﹣cs2t≤sint，所以2sin2t﹣sint﹣1≤0，
所以−12≤sint≤1，
结合函数y＝sint在(π4，5π4)上的图象得π4＜t≤7π6，
所以π4＜x+π4≤7π6，即不等式的解集为(0，11π12]．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的解析式的求法，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2025春•邓州市校级月考）已知函数y＝tan（12x−π6）．
（1）作出此函数在一个周期开区间上的简图；
（2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；
（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标．
【考点】正切函数的图象；五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．
【专题】三角函数的图象与性质．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用五点作图法即可作出此函数在一个周期开区间上的简图；
（2）根据正切函数的性质即可求出此函数的定义域、周期和单调区间；
（3）根据渐近线方程和所有对称中心的性质进行求解即可．
解：（1）作出此函数在一个周期开区间上的简图；
则对应的图象如图：
（2）由12x−π6≠kπ+π2，得x≠2kπ+4π3，
即函数的定义域为{x|x≠2kπ+4π3，k∈Z}，
函数的周期T=π12=2π．
由kπ−π2＜12x−π6＜kπ+π2，k∈Z，
得2kπ−2π3＜x＜2kπ+4π3，k∈Z，
即函数的单调递增区间为（2kπ−2π3，2kπ+4π3），k∈Z；
（3）由12x−π6=kπ+π2，得x＝2kπ+4π3，
即函数图象的渐近线方程为x＝2kπ+4π3，k∈Z，
由12x−π6=kπ2得x＝kπ+π3，k∈Z
即所有对称中心的坐标为（kπ+π3，0）．
【点评】本题主要考查正切函数的图象和性质，要求熟练掌握正切函数的定义域，单调性，周期以及对称性的性质．
20．（2025春•上海校级月考）新定义：函数f（x）＝sin（xk）称为y＝sinx的“k次三角幂函数”，同理可以定义出y＝csx，y＝ctx，y＝tanx的“k次三角幂函数”的定义．（其中k∈Z）
（1）是否存在整数k，使得y＝ctx的“k次三角幂函数”与函数|y|＝x有交点？
（2）上述四个三角函数中，有哪些“k次三角幂函数”的奇偶性与k有关，哪些无关？
（3）求：y＝sinx的“k次三角幂函数”具有周期性的充要条件．
【考点】三角函数的周期性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）存在；（2）y＝ctx，y＝tanx，y＝sinx的“k次三角幂函数”的奇偶性与k的奇偶性相同，y＝csx的“k次三角幂函数”始终为偶函数，与k无关；（3）k＝1．
【分析】（1）利用k∈Z，举例说明两函数交点问题
（2）利用函数的奇偶性定义，结合分类讨论，得到各个函数的奇偶性
（3）利用三角函数的周期性证明充分必要条件
解：（1）函数f（x）＝sin（xk）称为y＝sinx的“k次三角幂函数”，同理可以定义出y＝csx，y＝ctx，y＝tanx的“k次三角幂函数”的定义．（其中k∈Z），
存在，当k＝1时，y＝ctx的“一次三角幂函数”是函数y＝ctx，函数y＝ctx与函数|y|＝x有交点；
如图：
（2）
对于y＝cs（xk），函数的定义域为R．
因为cs（﹣t）＝cst，对于函数y＝cs（xk），f（﹣x）＝cs（（﹣x）k），无论k是奇数还是偶数，都满足cs[（﹣x）k]＝csxk，即f（﹣x）＝f（x）；所以y＝cs（xk）的奇偶性与k无关，为偶函数．
对于y＝sin（xk），函数的定义域为R，f（﹣x）＝sin[（﹣x）k]，
当k为偶数时，（﹣x）k＝xk，则f（﹣x）＝sin（xk）＝f（x），函数为偶函数；
当k为奇数时，（﹣x）k＝﹣xk，则f（﹣x）＝sin（﹣xk）＝﹣sin（xk）＝﹣f（x），故函数为奇函数；
所以y＝sin（xk）的奇偶性与k有关．
对于y＝tan（xk），函数的定义域为{x|xk≠π2+nπ，n∈Z}，
当k为偶数时，（﹣x）k＝xk，则f（﹣x）＝tan（﹣x）k＝tanxk＝f（x），函数为偶函数；
当k为奇数时，（﹣x）k＝﹣xk，则f（﹣x）＝tan（（﹣x）k）＝﹣tan（xk）＝﹣f（x），函数为奇函数；
所以y＝tan（xk）的奇偶性与k有关．
对于y＝ct（xk），函数的定义域为{x|xk≠nπ，n∈Z}，
当k为偶数时，（﹣x）k＝xk，则f（﹣x）＝ct（（﹣x）k）＝ct（xk）＝f（x），函数为偶函数；
当k为奇数时，（﹣x）k＝﹣xk，则f（﹣x）＝﹣ct（xk）＝﹣f（x），函数为奇函数；
所以y＝ctxk的奇偶性与k有关．
因此，y＝ctx，y＝tanx，y＝sinx的“k次三角幂函数”的奇偶性与k的奇偶性相同，y＝csx的“k次三角幂函数”始终为偶函数，与k无关；
（3）y＝sinx的“k次三角幂函数”具有周期性的充要条件是k＝1，充分性：若k＝1，y＝sinx，其周期T＝2π，是周期函数．
必要性：假设y＝sin（xk）是周期函数，设周期为T≠0，则sin（（x+T）k）＝sin（xk），
对定义域内的x恒成立．
令x＝0，则sin（Tk）＝sin（0）＝0，所以T＝nπ，n∈Z，n≠0．
令x＝1，则sin（1+Tk）＝sin1，由sin（（x+T）k）＝sin（xk），
根据正弦函数的性质sinA＝sinB时，A﹣B＝2mπ或A＝（2m+1）π﹣B，m∈Z．
若k＝1，当x变化时，（x+T）k﹣xk＝kxk﹣1T+...+Tk（根据二项式定理）不是常数．
对于正弦函数y＝sin（xk），要使sin（x+T）k＝sinxk恒成立，
只有当k＝1时，故（x+T）1﹣x1＝x+T﹣x＝T（常数），满足正弦函数的周期性．
所以y＝sinx的“k次三角幂函数”具有周期性的充要条件是：k＝1．
【点评】本题考查的知识点：函数基本性质（值域、单调性、奇偶性、周期性），主要考查学生的运算能力，属于中档题．12x−π6
−π2
−π3
0
π3
π2
x
−2π3
−π3
π3
π
4π3
y
﹣∞
−3
0
3
+∞