2026年高考数学一轮专题训练：排列与组合1 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：排列与组合1 [含答案]，共15页。

A．6B．18C．27D．36
2．（2025春•聊城期中）某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ）
A．630种B．360种C．240种D．180种
3．（2025春•宝安区校级期中）现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变，不同的方法共有（ ）
A．30种B．56种C．12种D．42种
4．（2025春•安康期中）某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ）
A．15种B．28种C．31种D．63种
5．（2025春•邢台期中）在清明小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班，每天需要2个人值班，同一人不连续值班，则不同的安排方法种数为（ ）
A．60B．90C．120D．180
6．（2025春•海淀区校级期中）从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．60种B．50种C．40种D．30种
7．（2025春•杭锦后旗校级期中）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（ ）
A．6B．12C．18D．24
8．（2025春•淮安期中）某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72B．96C．108D．156
二．多选题（共4小题）
9．（2025春•湖北期中）2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ）
A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法
B．两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法
C．两部动画片相邻放映，共有48种排法
D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法
10．（2025春•南乐县期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点P从点A处出发，每次向上或向右移动1个单位长度，直至到达点B时停止移动，则下列结论正确的是（ ）
A．移动的方法共有252种
B．仅有4次连续向上移动的方法有30种
C．经过点M的移动方法有70种
D．若对任意k∈{1，2，3}，从第k(k+1)2次到第(k+1)(k+2)2−1次的移动方向相同，则移动的方法有2种
11．（2025春•济宁期中）下列说法正确的是（ ）
A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是49
B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是A94
C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是C94
D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是A72×C32
12．（2025春•苏州期中）到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ）
A．所有不同的排法种数为120种
B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种
C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种
D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•桂平市期中）从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为 ，能被3整除的四位数的个数为 ．
14．（2025春•连云港期中）某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为 ．
15．（2025•泰安校级模拟）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有 ．
16．（2025春•洛阳期中）目前我省高中数学试卷中多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分．已知在某次高中数学考试中，洛洛同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，他的多选题的总得分（相同总分只记录一次）共有n种情况，则7n除以64的余数是 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•宝安区校级期中）将6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子．（过程要用文字简要说明，结果用数字作答）
（1）求共有多少种不同放法；
（2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；
（3）当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法；
（4）若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？
18．（2025春•天津期中）袋子中有10个大小相同的小球，其中4个红球，6个白球．取一个红球得2分，取一个白球得1分，现在从袋子中随机取出5个球，要求必须同时取出红球和白球．
（Ⅰ）请问有多少种取法能够使得总分数不超过7分？（请用数字作答）
（Ⅱ）当总分数恰好为7分时，先取出球，然后将这些球随机排列成一行，求红球互不相邻的不同排列方式有多少种？（请用数字作答）
19．（2025春•渝中区期中）解决下列问题，结果用数字表示．
（1）有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式；
（2）有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式；
（3）有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式．
20．（2025春•淮安期中）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
（1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？
（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
排列与组合
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•景德镇期中）青铜神树是四川省广汉市三星堆遗址出土的文物，共有八棵，其中一号神树有三层枝叶，每层有三根树枝，树枝上分别有两条果枝，一条上翘、一条下垂，每层上翘的果枝上都站立着一只鸟，鸟共九只（即太阳神鸟）．现从中任选三只神鸟，则三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数为（ ）
A．6B．18C．27D．36
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理知识可解．
解：从中任选三只神鸟，每只神鸟有3种选法，三只神鸟来自不同层枝叶的选法有3×3×3＝27种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
2．（2025春•聊城期中）某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ）
A．630种B．360种C．240种D．180种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【正确答案】B
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解即可．
解：当物理学科有2人参会，
则不同的参会方案有C62（C41+C42+C43）＝210种；
当物理学科有3人参会，
则不同的参会方案有C63（C31+C32）＝120种；
当物理学科有4人参会，
则不同的参会方案有C64C21=30种，
即不同的参会方案共有210+120+30＝360种．
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
3．（2025春•宝安区校级期中）现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变，不同的方法共有（ ）
A．30种B．56种C．12种D．42种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【正确答案】D
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解即可．
解：现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变，
先将原来5名同学站成一排，有6个空位可以插入甲同学，
所以甲同学有6种不同的排法．
当甲同学插入后，此时包括原来5名同学和甲同学一共有6个人，这6个人形成了7个空位，
所以乙同学有7种不同的排法．
故完成将甲、乙2名同学加入排列这件事，分两步：第一步甲同学有6种排法，第二步乙同学有7种排法，
然后根据分步乘法计数原理可得：不同的方法共有6×7＝42（种）．
故选：D．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
4．（2025春•安康期中）某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ）
A．15种B．28种C．31种D．63种
【考点】简单组合问题；分类加法计数原理．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据题意分甲和乙两名同学都去或甲和乙两名同学都不去两种情况讨论即可．
解：某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，
若甲和乙两名同学都去，有C40+C41+C42+C43+C44=16种情况；
若甲和乙两名同学都不去，有C41+C42+C43+C44=15种情况，
则该宿舍同学的去法共有16+15＝31种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
5．（2025春•邢台期中）在清明小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班，每天需要2个人值班，同一人不连续值班，则不同的安排方法种数为（ ）
A．60B．90C．120D．180
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】B
【分析】利用分步乘法计数原理可解．
解：根据题意，第一天的安排方法有C52=10种，
第二天有C32=3种排法；
第三天有C32=3种排法，
则不同的安排方法种数有10×3×3＝90种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
6．（2025春•海淀区校级期中）从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．60种B．50种C．40种D．30种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，分2种情况讨论：
①选出的3人为1男2女，有C41C32=12种选法；
②选出的3人为2男1女，有C42C31=18种选法；
所以一共有18+12＝30种选法．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
7．（2025春•杭锦后旗校级期中）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（ ）
A．6B．12C．18D．24
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】B
【分析】利用分步乘法原理和分组分配方法求解．
解：将6本不同的书平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，
第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，1人一本，有A22种分配方法，
第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有C42C22A22×A22种分配方法，
所以共有A22×C42C22A22×A22=12种分配方法．
故选：B．
【点评】本题考查分步乘法原理和分组分配方法相关知识，属于中档题．
8．（2025春•淮安期中）某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72B．96C．108D．156
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】A
【分析】先排甲，再将剩下四人全排列即可．
解：甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，则甲有3种排法，
再将剩下四人全排列，共有A44=24种排法，
则共有3×24＝72种排法．
故选：A．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025春•湖北期中）2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ）
A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法
B．两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法
C．两部动画片相邻放映，共有48种排法
D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【正确答案】ABC
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合不相邻问题插空法、相邻问题捆绑法，定序问题倍缩法求解即可．
解：对于A，《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，
共有C41A44=96种排法，
即A正确；
对于B，两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），
一定共有12A55=60种排法，
即B正确；
对于C，两部动画片相邻放映，
共有A22A44=48种排法，
即C正确；
对于D，3部喜剧电影不相邻，
共有A22A33=12种排法，
即D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了不相邻问题、相邻问题，定序问题，属中档题．
10．（2025春•南乐县期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点P从点A处出发，每次向上或向右移动1个单位长度，直至到达点B时停止移动，则下列结论正确的是（ ）
A．移动的方法共有252种
B．仅有4次连续向上移动的方法有30种
C．经过点M的移动方法有70种
D．若对任意k∈{1，2，3}，从第k(k+1)2次到第(k+1)(k+2)2−1次的移动方向相同，则移动的方法有2种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】ABD
【分析】结合分步乘法原理利用组合数求解判断AC，结合分类加法原理利用组合数求解判断B，逐个分析即可判断有“先连续向右，再连续向上，最后连续向右”和“先连续向上，再连续向右，最后连续向上”2种方法判断D．
解：根据题意．每个小正方形的边长都是1个单位长度，点P从点A处出发，每次向上或向右移动1个单位长度，直至到达点B时停止移动，
对A，由题可知，无论怎样走，一定移动10次，其中5次向上移动，5次向右移动，
故移动的方法共有C105C55=252种，故A正确；
对B，仅有4次连续向上移动的方法有2(C51+C41+C31+C21+1)=30种，故B正确；
对C，若经过点M，则前3次向右移动2次向上1次，后7次向右3次向上4次，
所以移动的方法有C32C73=105种，故C错误；
对D，由题可知，当k＝1时，第1，2次的移动方向相同，当k＝2时，第3，4，5次的移动方向相同，
当k＝3时，第6，7，8，9次的移动方向相同，因为向右5次，向上5次，
所以第1∼5次的移动方向相同，则移动的方法有2种，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
11．（2025春•济宁期中）下列说法正确的是（ ）
A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是49
B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是A94
C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是C94
D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是A72×C32
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【正确答案】BC
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解即可．
解：对于A，1～9这9个自然数组成的四位数的个数是94，
即A错误；
对于B，用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是A94，
即B正确；
对于C，用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是C94，
即C正确；
对于D，用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是A72A32，
即D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题．
12．（2025春•苏州期中）到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ）
A．所有不同的排法种数为120种
B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种
C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种
D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】ABD
【分析】对于A，利用排列公式可解；
对于B，利用捆绑法可解；
对于C，利用特殊元素优先法可解；
对于D，利用插空法可解．
解：某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，
对于A，所有不同的排法有A55=120种，故A正确；
对于B，如果甲同学和乙同学必须相邻，则将甲乙捆绑，再与剩下3人排列，共有A22A44=48种，故B正确；
对于C，如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则先排甲，有3个位置可排，再排剩下的4人，有A44=24种排法，
则共有4×24＝96种排法，故C错误；
对于D，如果甲和丙不能相邻，则先排剩下三人，有A33=6种排法，再将甲和丙插入4个空，有A42=12种方法，
则所有不同的排法种数为72种，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•桂平市期中）从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为 72 ，能被3整除的四位数的个数为 120 ．
【考点】部分元素相邻的排列问题；部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【正确答案】72；120．
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法及分步乘法计数原理求解即可．
解：从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，
则2与3相邻的四位数的个数为C42A22A33=72；
能被3整除的四位数的个数为C21C21A44+A44=120．
故72；120．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．
14．（2025春•连云港期中）某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为 1560 ．
【考点】人员及物品分配问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【正确答案】1560．
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解即可．
解：将6个志愿服务小组分成4组，
有C62C42C21A22A22+C63=65种方法，
再将这4组分配到4个大门，
则不同的分配方法种数为65A44=1560．
故1560．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
15．（2025•泰安校级模拟）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有 288 ．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】288．
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合相邻与不相邻问题，列式计算即得．
解：第一步：先将3名母亲作全排列，共有A33种排法；
第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有A33种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有A21种排法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，
然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有2A21种排法．
所以不同的排法种数有：A33A33A21⋅2A21=288（种）．
故288．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
16．（2025春•洛阳期中）目前我省高中数学试卷中多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分．已知在某次高中数学考试中，洛洛同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，他的多选题的总得分（相同总分只记录一次）共有n种情况，则7n除以64的余数是 17 ．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；二项式定理；运算求解．
【正确答案】17．
【分析】由分类加法计数原理，结合二项式定理的应用求解即可．
解：这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，第三小题可能得0分，2分或3分，
当第三题得0分时，有可能总得分为：0，4，6，8，10，12，
当第三题得2分时，有可能总得分为：2，6，8，10，12，14，
当第三题得3分时，有可能总得分为：3，7，9，11，13，15，
所以这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为：0，2，3，4，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，
即n＝14，
则714＝（8﹣1）14=C140⋅814−C141•813+...+C1412⋅82−C1413⋅8+C1414，
又−C1413⋅8+C1414=−111，
则﹣111＝（﹣2）×64+17，
即714除以64的余数是17．
故17．
【点评】本题考查了分类加法计数原理，重点考查了二项式定理的应用，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•宝安区校级期中）将6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子．（过程要用文字简要说明，结果用数字作答）
（1）求共有多少种不同放法；
（2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；
（3）当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法；
（4）若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【正确答案】（1）729；
（2）60；
（3）540；
（4）10．
【分析】（1）利用分步计数原理可解；
（2）根据题意，则每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，利用排列组合知识可解；
（3）利用分类加法计数原理可解；
（4）利用隔板法可解．
解：（1）根据分步计数原理共有36＝729种不同放法；
（2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有C61C52=60种不同放法；
（3）当每个盒子至少有1个小球时，共有三类：
第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有C64C212A33=90种；
第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有C61C52A33=360种；
第三类，每盒2个球，有C62C42A33A33=90种，所以共有540不同放法；
（4）将2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球，然后在剩余的6个相同的小球中间5个空插入2个挡板，共有C52=10种不同放法．
【点评】本题考查排列组合相关知识．属于中档题．
18．（2025春•天津期中）袋子中有10个大小相同的小球，其中4个红球，6个白球．取一个红球得2分，取一个白球得1分，现在从袋子中随机取出5个球，要求必须同时取出红球和白球．
（Ⅰ）请问有多少种取法能够使得总分数不超过7分？（请用数字作答）
（Ⅱ）当总分数恰好为7分时，先取出球，然后将这些球随机排列成一行，求红球互不相邻的不同排列方式有多少种？（请用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【正确答案】（Ⅰ）180；
（Ⅱ）6．
【分析】（Ⅰ）设取出x个红球，y个白球，其中1≤x≤4，1≤y≤6，x∈N，y∈N，则2x+y≤7且x+y＝5，则x＝1，y＝4或x＝2，y＝3，然后求解即可；
（Ⅱ）当总分数恰好为7分时，则取出2个红球，3个白球，然后结合插空法求解即可．
解：（Ⅰ）设取出x个红球，y个白球，其中1≤x≤4，1≤y≤6，x∈N，y∈N，
则2x+y≤7且x+y＝5，
则x＝1，y＝4或x＝2，y＝3，
则有C41C64+C42C63=180种取法能够使得总分数不超过7分；
（Ⅱ）当总分数恰好为7分时，
则取出2个红球，3个白球，
则红球互不相邻的不同排列方式有C42=6种．
【点评】本题考查了简单排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及插空法，属中档题．
19．（2025春•渝中区期中）解决下列问题，结果用数字表示．
（1）有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式；
（2）有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式；
（3）有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【正确答案】（1）90．
（2）28．
（3）7．
【分析】（1）由不同元素分组问题，结合分类加法计数原理求解即可．
（2）结合分类加法计数原理求解即可．
（3）结合分类加法计数原理求解即可．
解：（1）有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，
则不同的存放方式C61⋅C51⋅C44A22+C61⋅C52⋅C33+C62⋅C42⋅C22A33=90种．
（2）①6个小球入一个盒子有：3种情况；
②6个小球入两个盒子有：C51C32=15种情况；
③6个小球入三个盒子有：C52种情况；
所以不同的存放方式有3+15+10＝28种．
（3）①6个小球入一个盒子有1种情况；
②6个小球入两个盒子有6＝1+5＝2+4＝3+3，共3种情况；
③6个小球入三个盒子有6＝1+1+4＝1+2+3＝2+2+2，共3种情况；
所以一共有1+3+3＝7种存放方式．
【点评】本题考查了不同元素分组问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．
20．（2025春•淮安期中）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
（1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？
（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【正确答案】（1）24；
（2）16；
（3）144．
【分析】（1）根据题意直接全排列即可；
（2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案；
（3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可．
解：（1）已知4名同学每人在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》这4部优秀的影片中选1部观看，
因为这4名同学选择观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有A44=4×3×2×1=24种；
（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，
所以其余2人观看影片的不同方法有4×4＝16种；
（3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法有C42C41A32=6×4×6=144种．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．