2026年高考数学一轮专题训练：幂函数、指数函数、对数函数1 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：幂函数、指数函数、对数函数1 [含答案]，共15页。
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．a＜b＜c
2．（2025春•顺庆区校级期中）已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），g(x)=lg3(x2−8x+5b)的值域为[2，+∞），则a﹣b＝（ ）
A．0B．1C．3D．5
3．（2025春•衢州期中）已知函数f（x）＝ln（kx2+2kx+2）的定义域为R，则实数k的取值范围（ ）
A．k≤0或k≥2B．0≤k＜2C．0≤k≤2D．0＜k≤2
4．（2025春•浙江期中）已知A＝{x|y＝lg2（x+1）}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣2，2]B．（﹣1，2]C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，2）
5．（2025春•湖南期中）已知集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．[0，1）B．（0，3）C．（1，6]D．（1，3）
6．（2025春•温州期中）若直线y＝t（0＜t＜1）与幂函数y＝x3，y=x，y=1x的图象依次交于不同的三点A，B，C，则下列说法正确的是（ ）
A．|AB|=1t−3tB．|BC|=3t−t2
C．|AC|=1t−t2D．以上说法都不正确
7．（2025春•金溪县校级期中）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝ln（x﹣2）}，则A∩∁RB＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{2，3}D．（2，3）
8．（2025春•金溪县校级期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合y=c1ec2x类型的模型，假设某种细胞的初始数量为c1，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过x个单位时间后，细胞总数y（万个）会呈指数增长．设z＝lny，变换后得到线性回归方程ẑ=0.206x+â，已知该回归方程的样本中心为（4，1.42），则c1＝（ ）
A．e0.596B．0.596C．e0.206D．0.206
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•益阳期中）已知实数a，b满足lg13(a−2)+lg3(b−2)＞0，则（ ）
A．(12)a＞(12)bB．13a−1＜13b−1
C．（a﹣b）（a+b﹣4）＜0D．2a﹣2b＜3﹣a﹣3﹣b
（多选）10．（2025•安徽模拟）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线y＝3x上两个不同的点，则（ ）
A．y1+y22＞3x1+x22
B．y1+y22＜3x1+x22
C．lg3y1+2y23＞x1+2x23
D．lg3y1+3y24＞x1+3x24
（多选）11．（2025•四川校级三模）若4a＝3b＝24，则（ ）
A．2＜a＜52B．2＜b＜3C．32a+1b=1D．1a+1b＜23
（多选）12．（2025•锦江区校级模拟）如图，由函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（ ）
A．Γ有对称轴
B．Γ的弦长的最大值为22
C．对Γ内任意一点P，均存在过P且平分Γ围成区域的面积的直线
D．Γ的面积大于1710(e−2)
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•湖南期中）函数y＝lga（3x﹣5）+1（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为 ．
14．（2025•宝安区模拟）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转π4后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 ．（写出对应编号）
①f（x）=3x；
②f（x）＝x2；
③f（x）＝ln（x+1）（x≥0）；
④f(x)=(12)x．
15．（2024秋•合肥期末）若幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm2−m−1，且在x∈（0，+∞）上是增函数，则实数m＝ ．
16．（2025•四川校级三模）记函数f(x)=2−x+3x+1的定义域为A，g（x）＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，则实数a的取值范围为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋•铜陵期末）已知集合A={x|y=lg23−xx+1}，B={x|x2−2x+1−a2≤0，a＞0}．
（1）若0∈B，3∉B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
18．（2025春•宜春月考）已知函数f(x)=lg(x+1)+116−x2的定义域为集合A，集合B＝{x|2x2﹣ax≤0}．
（1）若a＝﹣4，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．
19．（2025春•重庆月考）已知函数f（x）＝xa，g（x）＝lgax，（a＞0，且a≠1）．
（1）p（x）＝f（x）g（x），讨论p（x）的单调性；
（2）a＞1，h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）恰有一个零点，求aa的值．
20．（2025春•广东月考）已知函数f(x)=4−x4+x．
（1）用定义法证明f（x）在（﹣4，+∞）上的单调性；
（2）若函数g（x）＝lgaf（x），且g（x）在区间[﹣1，2]上的最小值为﹣1，求a．
高考数学一轮复习 幂函数、指数函数、对数函数
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•顺庆区校级期中）已知a＝lg23，b＝eln2，c＝2﹣0.1则（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．a＜b＜c
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】B
【分析】根据指数、对数的运算及对数函数和指数函数的性质，对各式进行分析．
解：因为lg22＜lg23＜lg24，所以1＜a＜2，
又b＝eln2＝2，c＝2﹣0.1＜20＝1，所以c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于基础题．
2．（2025春•顺庆区校级期中）已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），g(x)=lg3(x2−8x+5b)的值域为[2，+∞），则a﹣b＝（ ）
A．0B．1C．3D．5
【考点】求对数型复合函数的值域；由值域求解函数或参数；指数函数的值域．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】结合指数函数及对数函数的性质可求a，b，进而可求．
解：当x≥2时，f（x）＝2x+1≥5，
由题意可得a＝5，
因为g(x)=lg3(x2−8x+5b)的值域为[2，+∞），
所以y＝x2﹣8x+5b＝（x﹣4）2+5b﹣16的值域为[9，+∞），
所以5b﹣16＝9，即b＝5，
则a﹣b＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数值域的求解，属于基础题．
3．（2025春•衢州期中）已知函数f（x）＝ln（kx2+2kx+2）的定义域为R，则实数k的取值范围（ ）
A．k≤0或k≥2B．0≤k＜2C．0≤k≤2D．0＜k≤2
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】B
【分析】根据已知条件，结合二次函数的判别式法，即可求解．
解：当k＝0时，符合题意，
当k≠0时，由题意可知，Δ=(2k)2−8k＜0k＞0，解得0＜k＜2，
综上所述，实数k的取值范围为0≤k＜2．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数函数的应用，属于基础题．
4．（2025春•浙江期中）已知A＝{x|y＝lg2（x+1）}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣2，2]B．（﹣1，2]C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，2）
【考点】对数函数的定义域；求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【正确答案】B
【分析】结合交集的定义，即可求解．
解：A＝{x|y＝lg2（x+1）}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，
则A∩B＝（﹣1，2]．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．
5．（2025春•湖南期中）已知集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．[0，1）B．（0，3）C．（1，6]D．（1，3）
【考点】指数函数的值域；求集合的交集．
【专题】集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据指数函数的值域可求出集合B，从而得到A∩B．
解：由已知，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}＝{y|1＜y＜8}，A＝{x|0≤x≤6}，
所以A∩B＝（1，6]．
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数的值域以及求集合的交集，属于基础题．
6．（2025春•温州期中）若直线y＝t（0＜t＜1）与幂函数y＝x3，y=x，y=1x的图象依次交于不同的三点A，B，C，则下列说法正确的是（ ）
A．|AB|=1t−3tB．|BC|=3t−t2
C．|AC|=1t−t2D．以上说法都不正确
【考点】幂函数的图象．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据题意，求出A、B、C三点的坐标，由此分析选项，综合可得答案．
解：根据题意，函数y＝x3，若y＝t，则x=3t，即A（3t，t），
y=x，若y＝t，则x＝t2，则B（t2，t），
y=1x，若y＝t，则x=1t，即C（1t，t），
又由0＜t＜1，则t2＜3t＜1t，则|AB|=3t−t2，|BC|=1t−t2，|AC|=1t−3t，A、B、C都错误．
故选：D．
【点评】本题考查幂函数的图象，注意幂函数图象的性质，属于基础题．
7．（2025春•金溪县校级期中）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝ln（x﹣2）}，则A∩∁RB＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{2，3}D．（2，3）
【考点】求对数函数的定义域；集合的交并补混合运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【正确答案】B
【分析】求出集合B，利用补集和交集的定义可求得集合A∩（∁RB）．
解：因为B＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，
所以∁RB＝{x|x≤2}，
集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，
因此A∩（∁RB）＝{﹣1，0，1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集、补集的运算，属于基础题．
8．（2025春•金溪县校级期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合y=c1ec2x类型的模型，假设某种细胞的初始数量为c1，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过x个单位时间后，细胞总数y（万个）会呈指数增长．设z＝lny，变换后得到线性回归方程ẑ=0.206x+â，已知该回归方程的样本中心为（4，1.42），则c1＝（ ）
A．e0.596B．0.596C．e0.206D．0.206
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】由题意得1.42=0.206×4+â，求出â，从而可求得线性回归方程，给y=c1ec2x两边取对数化简，对照回归方程可求得答案．
解：由题意把点（4，1.42）代入回归方程：ẑ=0.206x+â，
则1.42=0.206×4+â，解得â=0.596，
因此ẑ=0.206x+0.596，
对函数y=c1ec2x两边取对数，得lny＝c2x+lnc1，
又ẑ=lny，所以lnc1＝0.596，即c1=e0.596．
故选：A．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•益阳期中）已知实数a，b满足lg13(a−2)+lg3(b−2)＞0，则（ ）
A．(12)a＞(12)bB．13a−1＜13b−1
C．（a﹣b）（a+b﹣4）＜0D．2a﹣2b＜3﹣a﹣3﹣b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】由题干条件，可得b＞a＞2，再结合对数函数的单调性、不等式的性质、指数函数的单调性，对各选项进行逐项分析．
解：因为lg13(a−2)+lg3(b−2)＞0，
所以lg3（b﹣2）﹣lg3（a﹣2）＞0，即lg3b−2a−2＞0，
所以b−2a−2＞1，且b＞2，a＞2，所以b＞a＞2．
A选项，因为y=(12)x在（2，+∞）单调递减，所以(12)b＜(12)a，A正确；
B选项，由前述分析，知3b﹣1＞3a﹣1＞0，所以13b−1＜13a−1，B错误；
C选项，因为b＞a＞2，所以a﹣b＜0，b+a﹣4＞0，所以（a﹣b）（b+a﹣4）＜0，C正确；
D选项，令g(x)=2x−(13)x，则g（x）在（2，+∞）单调递增，
所以2b﹣3﹣b＞2a﹣3﹣a，即2a﹣2b＜3﹣a﹣3﹣b，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于中档题．
（多选）10．（2025•安徽模拟）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线y＝3x上两个不同的点，则（ ）
A．y1+y22＞3x1+x22
B．y1+y22＜3x1+x22
C．lg3y1+2y23＞x1+2x23
D．lg3y1+3y24＞x1+3x24
【考点】指数函数的图象．
【专题】转化思想；数形结合法；构造法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】设点M（x1+x22，3x1+3x22），N（x1+x22，3x1+x22），点M恒在点N的上方，判断选项A正确，B错误；
构造PM→=2MQ→，得M（x1+2x23，1⋅3x1+2⋅3x23），N（x1+2x23，3x1+2x23），由点M恒在点N的上方，判断选项C正确；
构造PM→=3MQ→，得M（x1+3x24，1⋅3x1+3⋅3x24），N（x1+3x24，3x1+3x24），由点M恒在点N的上方，判断选项D正确．
解：对于A、B，设点M（x1+x22，3x1+3x22），N（x1+x22，3x1+x22），
则点M恒在点N的上方，所以3x1+3x22＞3x1+x22，选项A正确，B错误；
对于C，构造PM→=2MQ→，则M（x1+2x23，1⋅3x1+2⋅3x23），N（x1+2x23，3x1+2x23）．
点M恒在点N的上方，即y1+2y23＞3x1+2x23，取对数得选项C正确；
对于D，构造PM→=3MQ→，则M（x1+3x24，1⋅3x1+3⋅3x24），N（x1+3x24，3x1+3x24），
点M恒在点N的上方，即y1+3y24＞3x1+3x24，取对数得选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
（多选）11．（2025•四川校级三模）若4a＝3b＝24，则（ ）
A．2＜a＜52B．2＜b＜3C．32a+1b=1D．1a+1b＜23
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】ABC
【分析】由对数运算和对数函数的单调性进行比较大小即可．
解：因为4a＝3b＝24，所以a=lg424∈(lg442，lg4452)，b=lg324∈(lg332，lg333)，
所以2＜a＜52，2＜b＜3，A，B均正确．
32a+1b=32lg244+lg243=lg2424=1，1a+1b=lg2412，
因为123＞242，所以1a+1b=lg2412＞lg242423=23，C正确，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，是中档题．
（多选）12．（2025•锦江区校级模拟）如图，由函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（ ）
A．Γ有对称轴
B．Γ的弦长的最大值为22
C．对Γ内任意一点P，均存在过P且平分Γ围成区域的面积的直线
D．Γ的面积大于1710(e−2)
【考点】反函数；利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】根据反函数的定义及求法可判断A；根据函数图象的交点方程的根的关系，分析h（x）＝ex﹣x﹣e+1的零点情况，得到两交点A、B间的距离情况，可判断B；根据反函数的性质可判断C；考虑其中一曲线到直线y＝x的距离最大值，求出该点处的切线与y＝x平行时的点的坐标，再求S△P0AB，可判断D．
解：对于A项，由题意，由y＝ex﹣e+1⇒ex＝y+e﹣1，∴x＝ln（y+e﹣1），
∴y＝ex﹣e+1的反函数为y＝ln（x+e﹣1），两者关于y＝x对称，故A正确；
对于B项，由A选项分析，两函数的交点为它们与y＝x的交点，
故联立y＝ex﹣e+1与y＝x，y=ex−e+1y=x⇒ex−x=e−1，
令h（x）＝ex﹣x﹣e+1，h'（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，h（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，h（x）＜0；h（x）在 （﹣∞，0）上单调递减，
因为h（﹣2）＞0，h(−1)=1e+2−e＜0，h(1)=0，
所以h（x）在（﹣2，﹣1）内有一个零点x0（﹣2＜x0＜﹣1），另一个零点为1，
所以A（1，1），B（x0，y0），且|AB|=2(1−x0)＞22，故B错误；
对于C项，如图，
设A（1，1），B（x0，y0）的中点为C(x0+12，y0+12)，
设y＝ex﹣e+1上存在一点D（x1，y1），点D关于点C的对称点为E（x0﹣x1+1，y0﹣y1+1），
因为函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）互为反函数，所以E（x0﹣x1+1，y0﹣y1+1）在y＝ln（x+e﹣1）上，
所以在封闭图形Γ上，D，E关于中点C对称，
即在封闭图形Γ中，总存在与任意一点P关于中点C对称的点P'，使得直线PP'平分封闭图形，
对T内任意一点P，均存在过P且平分Ⅰ围成区域的面积的直线，C正确；
对于D项，如图，
先考虑曲线y＝ex﹣e+1上P到y＝x 距离的最大值，只需找出过P与曲线相切且与AB平行的点P0即可，
令f（x）＝ex﹣e+1，令f'（x）＝ex＝1，得x＝0，此时P（0，2﹣e），P0到y＝x的距离d=e−22，
SΓ＞2S△P0AB=2×12|AB|d＝2•12（e﹣2）•|xA﹣xB|
＝（e﹣2）（1﹣x0）＞2（e﹣2）＞1710（e﹣2），（﹣2＜x0＜﹣1），故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查反函数、利用导数求曲线上某点处的切线方程以及点到直线距离公式，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•湖南期中）函数y＝lga（3x﹣5）+1（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为 （2，1） ．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】（2，1）．
【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解．
解：结合对数函数的性质，令3x﹣5＝1，则x＝2，
此时f（2）＝1，即恒过定点（2，1）．
故选：（2，1）．
【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，属于基础题．
14．（2025•宝安区模拟）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转π4后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 ①③④ ．（写出对应编号）
①f（x）=3x；
②f（x）＝x2；
③f（x）＝ln（x+1）（x≥0）；
④f(x)=(12)x．
【考点】指数函数的图象；对数函数的图象．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【正确答案】①③④
【分析】结合对数函数和指数函数图象变换的性质判断即可．
解：对于①，f(x)=3x的图象与直线y＝x+b（b∈R）都只有一个交点，故①正确；
对于②，f（x）＝x2的图象与y＝x有两个交点（0，0），（1，1），故②错误；
对于③，f（x）＝ln（x+1），f′(x)=1x+1，f′（0）＝1，所以f（x）＝ln（x+1）的图象在点（0，0）处的切线方程为y＝x，
f（x）＝ln（x+1）（x≥0）的图象与直线y＝x+b（b∈R）最多只有一个交点，故③正确；
对于④，f(x)=(12)x的图象与直线y＝x+b（b∈R）都只有一个交点，故④正确．
故①③④．
【点评】本题考查对数函数和指数函数图象的性质及图象变换，属于基础题．
15．（2024秋•合肥期末）若幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm2−m−1，且在x∈（0，+∞）上是增函数，则实数m＝ 2 ．
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】2．
【分析】根据幂函数的定义与性质，列式求解即可．
解：幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm2−m−1，且在x∈（0，+∞）上是增函数，
所以m2−3m+3=1m2−m−1＞0，解得m＝2．
故2．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题．
16．（2025•四川校级三模）记函数f(x)=2−x+3x+1的定义域为A，g（x）＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，则实数a的取值范围为 (−∞，−2]∪[12，1) ．
【考点】求对数函数的定义域；集合的包含关系的应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】(−∞，−2]∪[12，1)．
【分析】由2−x+3x+1≥0x+1≠0，得A＝{x|x＜﹣1或x≥1}，根据其数大于零，求出函数g（x）的定义域，再由B⊆A列出不等式，结合a＜1求出a的范围即可．
解：由2−x+3x+1≥0x+1≠0，解得x＜﹣1或x≥1，即A＝{x|x＜﹣1或x≥1}，
∵a＜1，∴a+1＞2a，
由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，得2a＜x＜a+1，即B＝（2a，a+1），
∵B⊆A，∴a+1≤﹣1或2a≥1，
解得a≤﹣2或a≥12，又a＜1，
∴a≤﹣2或12≤a＜1，
即实数a的取值范围是(−∞，−2]∪[12，1)．
故(−∞，−2]∪[12，1)．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查集合间关系的应用，是中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋•铜陵期末）已知集合A={x|y=lg23−xx+1}，B={x|x2−2x+1−a2≤0，a＞0}．
（1）若0∈B，3∉B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【考点】求对数函数的定义域；集合交集关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【正确答案】（1）a∈[1，2）；
（2）a∈（0，2）．
【分析】（1）根据0∈B，3∉B得到不等式，求出答案；
（2）解不等式，得到A，B，根据交集结果得到B⊆A，从而得到不等式，求出答案．
解：（1）由题可得：a＞002−2×0+1−a2≤032−2×3+1−a2＞0，
解得a∈[1，2）；
（2）由题意得3−xx+1＞0，解得﹣1＜x＜3，
x2﹣2x+1﹣a2≤0，a＞0，解得1﹣a≤x≤1+a，
故A＝（﹣1，3），B＝[1﹣a，1+a]，
又A∩B＝B，则B⊆A，
则a＞01−a＞−11+a＜3，解得a∈（0，2）．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
18．（2025春•宜春月考）已知函数f(x)=lg(x+1)+116−x2的定义域为集合A，集合B＝{x|2x2﹣ax≤0}．
（1）若a＝﹣4，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【考点】对数函数的定义域；求集合的交集；必要不充分条件的应用．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】（1）A∩B＝（﹣1，0]；
（2）（﹣2，8）．
【分析】（1）由x+1＞016−x2＞0，求得集合A，进而可求解；
（2）由B是A的真子集．，分类讨论构造不等式求解即可；
解：（1）函数f(x)=lg(x+1)+116−x2，
则x+1＞016−x2＞0，解得﹣1＜x＜4，所以A＝（﹣1，4）；
若a＝﹣4，则B＝{x|2x2+4x≤0}＝[﹣2，0]，所以A∩B＝（﹣1，0]．
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B是A的真子集．
因为B＝{x|2x2﹣ax≤0}＝{x|（2x﹣a）x≤0}，
当a＞0时，B=[0，a2]，又B是A的真子集，
所以a2＜4，又a＞0，所以0＜a＜8．
当a＜0时，B=[a2，0]，又B是A的真子集，
所以a2＞−1，又a＜0，所以﹣2＜a＜0；
当a＝0时，B＝{0}，此时B是A的真子集，符合题意；
综上，a的取值范围是（﹣2，8）．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
19．（2025春•重庆月考）已知函数f（x）＝xa，g（x）＝lgax，（a＞0，且a≠1）．
（1）p（x）＝f（x）g（x），讨论p（x）的单调性；
（2）a＞1，h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）恰有一个零点，求aa的值．
【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．
【正确答案】（1）答案见解析；
（2）e1e．
【分析】（1）求函数p（x）＝f（x）g（x）的导数，利用导数讨论p（x）的单调性即可；
（2）求h（x）＝f（x）﹣g（x）的导数，利用导数判断函数的单调性，求出h（x）恰有一个零点时aa的值即可．
解：（1）由p（x）＝xalgax，x＞0，得p′（x）＝axa﹣1lgax+xa−1lna=xa﹣1（algax+1lna），
当0＜a＜1时，x∈（0，a−1alna），p'（x）＞0，p（x）单调递增；
x∈（a−1alna，+∞），p'（x）＜0，p（x）单调递减；
当a＞1时，x∈（0，a−1alna），p'（x）＜0，p（x）单调递减；
x∈（a−1alna，+∞），p'（x）＞0，p（x）单调递增；
（2）h（x）＝xa﹣lgax，则h′（x）＝axa﹣1−1xlna，
由函数y＝axa﹣1−1xlna，得y′＝a（a﹣1）xa﹣2+1x2lna≥0，则axa﹣1−1xlna=0有唯一解x=(1alna)1a，
则x∈（0，(1alna)1a），h'（x）＜0，h（x）单调递减；
x∈((1alna)1a，+∞)，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
注意到x∈（0，1），h（x）＞0，注意到(alna)2a＞(1alna)1a，
且h（(alna)2a）=(alna)2−2ln(alna)alna=a3lna−2ln(alna)alna＞0，
则h（x）恰有一个零点时，h((1alna)1a)=1alna−ln(1alna)alna=0，
即ln(1alna)=1，alna=1e，aa=e1e．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性与零点问题，是难题．
20．（2025春•广东月考）已知函数f(x)=4−x4+x．
（1）用定义法证明f（x）在（﹣4，+∞）上的单调性；
（2）若函数g（x）＝lgaf（x），且g（x）在区间[﹣1，2]上的最小值为﹣1，求a．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；定义法求解函数的单调性．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）35或3．
【分析】（1）任取x1，x2∈（﹣4，+∞）且x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）、f（x2）的大小即可判断函数的单调性；
（2）由已知，对a的取值进行分类讨论，结合复合函数的单调性，判断函数的最小值，得到关于a的方程，解出即可．
解：（1）f（x）在（﹣4，+∞）上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈（﹣4，+∞）且x1＜x2，所以4+x1＞0，4+x2＞0，x2﹣x1＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=4−x14+x1−4−x24+x2=(4−x1)(4+x2)−(4−x2)(4+x1)(4+x1)(4+x2)=8(x2−x1)(4+x1)(4+x2)，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（﹣4，+∞）上单调递减．
（2）当0＜a＜1时，y＝lgax在（0，+∞）上单调递减，
由（1）知f（x）在[﹣1，2]上单调递减，所以函数g（x）＝lgaf（x）在[﹣1，2]上单调递增，
所以x＝﹣1时，函数g（x）取得最小值，即g（﹣1）＝lgaf（﹣1）＝lga4−(−1)4+(−1)=lga53=1，解得a=35；
当a＞1时，y＝lgax在（0，+∞）上单调递增，
由（1）知f（x）在[﹣1，2]上单调递减，所以函数g（x）＝lgaf（x）在[﹣1，2]上单调递减，
所以x＝2时，函数g（x）取得最小值，即g(2)=lgaf(2)=lga4−24+2=lga13=−1，解得a＝3；
综上，g（x）在区间[﹣1，2]上的最小值为﹣1，则a的取值为35或3．
【点评】本题考查了函数的单调性应用问题，是基础题．