2025-2026学年重庆市西南大学附中高一（下）月考数学试卷（4月份）

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1.已知，若，则k=（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，且，则=（ ）
A. B. C. D.
4.在平行四边形ABCD中，E为AB中点，F为BC上一点，且，则=（ ）
A. B. C. D.
5.已知f（x）=ax3+bx+2是定义在R上的函数，且满足f（2）=5；则f（-2）的值为（ ）
A. -5B. -3C. -1D. 1
6.在△ABC中，AB=4，BC=5，，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，则BD=（ ）
A. B. C. D.
7.如图，设，线段DE与BC交于点F，且，则的最小值为（ ）
A. 8
B. 9
C.
D.
8.已知函数f（x）=x+lnx,若x0是方程的解，则不等式成立的最小整数m为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（ ）
A. 函数f（x）=xα（α＞0）一定过第一象限
B. 函数f（x）=ax-1+1（a＞0且a≠1）的图象过点（1，2）且不与直线y=1相交
C. 函数的定义域为
D. ∀a＞1，∃x0＞0，当x＞x0时，恒有ax＞ax＞lgax
10.已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 函数y=f（x）的最小正周期为2π
B. 函数最大值为2
C. 将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数
D. 函数y=f（x）的图象关于直线对称
11.平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P1（csα，sinα），P2（csβ，sinβ），，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是两个不共线的向量，向量共线，则k的值为 .
13.重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地.如图，一架无人机在Q点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为15°，地面上A点的俯角是45°，若无人机离地面的高度为210m,∠BAC=60°，则“云端之眼”的高度BC为 m.
14.已知平面向量，定义线性变换，且满足，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，，点D在BC边上，且.
（1）求和；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为.
（1）求ω的值和f（x）在区间[0，π]上的单调递减区间；
（2）当时，关于x的方程f（x）+a=0有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
已知是定义域为R的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）用定义证明f（x）在R上是增函数：
（3）若对任意x∈[1，2]，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
18.(本小题17分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,向量，，且.
（1）求角A；
（2）若，△ABC的周长为，求△ABC的面积；
（3）若a=2，过B点在△ABC所在平面内作BD⊥BC，且，求线段AD+BD的最大值.
19.(本小题17分)
人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度.非零向量之间的相似度的一种定义为.
（1）菱形ABCD中，，动点P在直线CD上.
（ⅰ）当AP⊥AD时，求；
（ⅱ）求的取值范围.
（2）在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数λ，μ，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数λ，μ，总有.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】315
14.【答案】
15.【答案】，
16.【答案】 （-2，-1]
17.【答案】a=1 证明：设x1＜x2，
，
又由x1＜x2，则，，
则f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在R上是增函数 （-∞，1]
18.【答案】
19.【答案】（ⅰ）；（ⅱ） ∵=，
，．
∴．
设，，A=λμ＞0，B=λ2+μ2≥2A．
则，．
问题转化为证明，即Y（BX+2AY）＜X（2AX+BY）．
只需证Y2＜X2．
∵不共线，∴，
∴，即X2＞Y2成立．
∴成立