2026省佳木斯一中高一下学期开学考试数学含解析

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一、单选题
1．已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．命题p：，为假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．B．C．2D．3
7．函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，，则，，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数（且）过定点，若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为4B．的最大值为8
C．的最小值为D．的最小值为8
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递减
D．将函数的图象向右平移个单位可得的图象
11．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上为减函数D．方程仅有6个实数解
三、填空题
12．设为锐角，若，则的值为____________
13．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________.
14．如图，现有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形.先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.则符合要求的矩形的面积为___________，五边形的面积为___________.
四、解答题
15．（1）计算：；
（2）已知，求的值.
16．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求单调递减区间；
(3)当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值.
17．已知函数．
(1)若，求的定义域；
(2)若在上单调递增，求的取值范围；
(3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
18．“天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求
(1)的解析式；
(2)甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？
(3)游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？
19．已知函数具有以下性质：①定义域均为，且在上单调递增；②其中一个是奇函数，另外一个是偶函数：③.
(1)求函数与的解析式；
(2)关于的方程在有解，求实数的取值范围.
(3)试探究：是否存在正实数使得函数在区间上的值域为，若存在，求的取值范围，并证明此时；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【详解】因为，
所以或，
所以，
故选：B
2．A
【详解】若，因为函数在上单调递增，所以当时，有；
又因为，所以，同理，即，充分性成立；
当时，例如取，此时，
满足，但不满足，必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．B
【详解】解：若命题p：，为真命题，则，解得，
所以当命题p：，为假命题时，．
故选：B．
4．D
【详解】由二倍角公式可知，，，
从而，
又因为，所以，，
从而.
故选：D.
5．B
【详解】由在单调递增，应满足，当时，为增函数，则，
当时，为增函数，则，且，
综上所述，解得，
故选：B．
6．A
【详解】因为偶函数和奇函数满足,
所以，又，
所以.
故选：A
7．D
【详解】函数，
令，为奇函数，
为偶函数，所以函数为奇函数，排除选项AB，
，，，
所以，排除选项C，
故选：D.
8．A
【详解】注意到，则，从而；
，因，，则，
注意到，
又，从而；
，因，
，则，
从而；
综上可得：.
故选：A
9．AC
【详解】因为函数（且）过定点，所以，，.
又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以A正确；
由，得，当且仅当时等号成立，所以B不正确；
由基本不等式，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以C正确；
由，得，所以，
当且仅当时等号成立，所以D不正确.
故选：AC.
10．AD
【详解】由图像可知函数的最小值为，A正确；
由图象可知，，即，
所以，又，
可得，即，
又因为，所以，所以，
当时，，满足正弦函数的对称轴，B错误；
当时，则，函数不单调，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位可得的图象，D正确；
故选：AD.
11．ABD
【详解】对于A，为偶函数，故，
令，得，
为奇函数，故，
令，得，其中，
所以，故A正确；
对于B，因为为奇函数，则，得，
又为偶函数，则，得，
所以，则，
即，则，
即，所以8为函数的一个周期．故，
所以，
从而为奇函数，故B正确；
对于C，在区间上是增函数，在区间上是减函数，且的图象关于点对称，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，又周期为8，
故在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，作出与的大致图象，如图所示，
其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，
故方程仅有6个实数解，故D正确．
故选：ABD．
12．
【详解】试题分析：为锐角，
13．
【详解】因为不等式的解集为，
所以和是方程的解，且，
所以，所以，
所以等价于，等价于，
解得或，所以不等式的解集为.
14． 2 /
【详解】
设，则，
当，即时，.
此时.
在此前提下，过点作垂足为S，
设.
在中，有，则，
.
令，则，
此时，则，
所以当即时，的最大值为.
所以符合要求的五边形面积为.
故答案为：2；
15．（1）2；（2）4
【详解】（1）
.
（2）
.
16．(1)
(2)，
(3)当时，取得最大值
【详解】（1）因为
，
∴最小正周期为.
（2）令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，.
（3）因为，
令，
，则，
因为，
的单调递增区间是，单调递减区间是
所以当时，即时，
取到最大值，
所以.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若，则，令，得，
故的定义域为．
（2）令，则.
因为函数是上的增函数，在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的判断方法可得：
函数在上单调递增,且在上恒成立，
所以，解得.
故的取值范围为.
（3）因为对任意，存在，使得不等式成立，
所以.
令，，因为，
所以，.
又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以当时，函数有最小值，故当时，.
所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立，
故对于任意恒成立.
又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
故，即的取值范围为．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，
设函数解析式为，
摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以，
由题意可得，，
所以，解得，
当时，，即，可取，
所以，
（2）由（1）知，
当时，，
（3）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，
经过后，乙距离地面的高度，
点相对于始终落后，
甲距离地面的高度为，
令，，
即，，
由，可得：，
经验证符合，
所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等.
19．(1)
(2)
(3)存在，，证明见解析
【详解】（1）因为偶函数关于轴对称，且在轴两侧的单调性不同，所以是奇函数，是偶函数.
所以.
因为，所以.
所以.
（2）由题设，又，令，
结合（2）知单调递增，故，又，
所以在上有解，又在上单调递增，故，
所以，可得.
（3）存在，理由如下：
假设存在正实数使得函数在区间上的值域为，
则由题可知函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为.
所以.
所以是方程的两个正根，即与的图象有两个交点.
令，
当且仅当时，等号成立.
因为单调递增，所以时，.
令，则，
即，解得.
当，即时，单调递减，
当，即时，单调递增.
所以的取值范围是.
此时，，即.
因为，所以，即.
所以，因为不相等，
，
所以，
所以或.