广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题（含解析）

这是一份广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 函数的大致图象为， 设，则， 已知均为正整数，且，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. 2C. D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】根据排列数和组合数的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由排列数和组合数的公式得：.
2. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数，可得，则，且，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
3. 设是的导函数，已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【详解】由，求导得，
则，解得.
4. 甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标B，C，D的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（ ）
A. 360种B. 720种C. 1440种D. 2160种
【答案】B
【解析】
【分析】先将B，C，D这三个地标捆绑，再将此整体和其他4个地标全排列.
【详解】先将B，C，D这三个地标捆绑，再将此整体和其他4个地标进行全排列，共有种.
5. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.
【详解】设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.故选A.
本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量分布列的方差为，则分布列的方差为.
6. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得为奇函数，再由，得出函数的单调性，求得函数的最大值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B；
当时，，则，
令，可得；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，排除C；
当时，，排除A，
所以选项D符合题意.
7. 设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，则下列说法不正确的是（ ）
A.
B.
C. 若A，B是相互独立事件，则
D. 若A，B是互斥事件，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，以及相互独立事件判定方法，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，由，故A正确；
对于B，当是相互独立事件时，，故B错误；
对于C，因为是相互独立事件，所以，
则，故C正确；
对于D，因为是互斥事件，所以，则，故D正确.
8. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先构造函数，再求出导函数根据正负得出单调性即可计算比较大小.
【详解】令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
得，故，
所以，即.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知均为正整数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，利用排列数和组合数的计算公式，逐项分析、求解，即可得到答案.
【详解】对于A，由组合数性质，可得，故A正确；
对于B，由排列数的计算公式，可得，，
无法确定与+1是否相等，故B错误；
对于C，由排列数的计算公式，可得，
再由，
所以，所以C正确；
对于D，由，故D正确.
10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有8项
B. 展开式的二项式系数之和为256
C. 展开式中没有常数项
D. 展开式的第5项的二项式系数最大
【答案】BCD
【解析】
【分析】应用展开式项数判断A，应用二项式系数和公式计算判断B，应用通项公式计算判断C，应用二项式系数性质判断D.
【详解】由题可知展开式共有9项，故A错误；
展开式的二项式系数之和为，故B正确；
展开式的通项为，
令0，得不是整数，所以展开式中没有常数项，故C正确；
当时，二项式系数最大，所以展开式的第5项的二项式系数最大，故D正确.
11. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数B.
C. D. 在上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义与判定方法，可判定A正确；利用三角函数的诱导公式，进行化简运算，可判断B、C都错误；求得，结合导数的符号，可判定D正确.
【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，故A正确；
对于B，由，故B错误；
对于C，由，故C错误；
对于D，由，
当时，，则单调递增.故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】应用导数的四则运算法则求解问题.
【详解】
由题得，
则.
13. 若，则______.
【答案】240
【解析】
【分析】根据题意，得到含的项中，当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正，分别令和，求得和，进而得到答案.
【详解】由多项式的展开式中，
对于含的项中，当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正，
所以，
对于，
令，得；
令，得，
所以.
14. 某Livehuse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有______种不同的颜色搭配方案.
【答案】260
【解析】
【分析】根据第3个灯区与第1个灯区同色与不同色两种情况讨论求解即可.
【详解】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选，
若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选；
若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选，
所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记等差数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得和，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，得到数列是等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，因为
可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
【小问2详解】
解：由（1）知：，可得，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，所以.
16. 已知函数.
（1）判断的单调性；
（2）若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）递减区间为，递增区间为.
（2）
【解析】
【分析】（1）求得的定义域为，且f'(x)=2x3−1x2，结合导数的符号，即可求解的单调区间；
（2）根据题意，转化为和的图象只有一个公共点，结合（1）中的单调性和最值，作出函数的大致图象，结合图象，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，其定义域为，
且f'(x)=2x−2x2=2x3−1x2，
则当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
解：因为方程只有1个实数解，即函数和的图象只有一个公共点，
由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
又，作出的大致图象，如图所示，
结合图象，可得，所以实数的取值范围为.
17. 某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体展开学习调研，要求每个模型至少有一人负责，且每人只能选择一个.
（1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
（2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一个模型，共有多少种不同的安排方案？
【答案】（1）840 （2）240
【解析】
【分析】（1）先从7位同学中选出4人，再将选出的4人分配到4个，结合分步计数原理，即可求解；
（2）将甲、乙、丙3位同学视为一个整体，再5个元素需分为“2，1，1，1”四组，可通过先分组后排列的方法，即可求解.
【小问1详解】
解：先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个，要求每个至少1人，则有种分配方法，
由分步计数原理得，共有种不同的调研安排方案.
【小问2详解】
解：将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种模型，每种模型至少1个元素，
则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法，
所以甲、乙、丙3位同学调研同一模型，共有种不同的安排方案.
18. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求的取值范围；
（3）若，证明：当时，．
【答案】（1）极大值为，极小值为
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入后求导，利用导数分析函数单调性，从而确定极大值和极小值点，代入函数求出相应极值；
（2）结合已知条件化简不等式为，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，分类讨论，进而求出的取值范围；
（3）结合（2）及把证明结论转化为，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而求出极小值点，由极小值得出，从而证明结论．
【小问1详解】
当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，极小值为．
【小问2详解】
由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，
，符合题意；
当，即时，当时，，
不满足对恒成立，不符合题意，
综上，的取值范围为．
【小问3详解】
若，则由（2）得当时，，
要证，可证，
令，
则
，
令，得，则，
设，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，
，则，
，则，即，
，得证，
当时，．
19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：
若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分；
若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分．
（1）求甲获得3分的概率；
（2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为．
①求的表达式，并比较和的大小关系；
②求在上的最大值及取得最大值时的值．
【答案】（1）；
（2）随机变量的分布列为：
；
（3）①；②当时，取得最大值.
【解析】
【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解；
（2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算；
（3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小；
②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．
所以甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，
所以甲获得3分的概率为；
【小问2详解】
由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、，
若，即甲、乙获胜的概率都是，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以；
【小问3详解】
①由题意，，，
所以
，
则，
所以；
②由①可得，，
令，，
因为，可得恒成立，所以单调递增，
又当时，取得最大值，即，
所以，
即当时，取得最大值.