广东省茂名市七校2024-2025学年高一下学期2月月考试题数学试卷+解析

这是一份广东省茂名市七校2024-2025学年高一下学期2月月考试题数学试卷+解析，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次不等式的解法求得，利用具体函数的定义求得，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
又，得到，所以，得到，
故选：A.
2. 命题：“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题知：
“”的否定是“”.
故选：B.
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间.
【详解】因为函数和函数在上都单调递增，
所以函数为增函数，
又，，，，
由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用正切的差角公式，求得，再利用正切的倍角公式，即可求解.
【详解】因为，解得，
所以，
故选：B.
5. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ）
A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】
【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解．
【详解】由题意可知，
所以，
所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到，
再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，
即的图象，
故选：A
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解.
【详解】由可得，
由，
故，故，由于，故，
故选；B
7. 设，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找中间值，得到，，，即可求得结果.
【详解】因为，故；
因为，故；因为，故；
故
故选：D
8. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果.
【详解】若函数上单调递增，
由，
得，
所以，又，
取，得，
若函数在上单调递减，
由，
得，
所以，
又，
取，得，
所以的取值范围是，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 是的必要不充分条件
B. 若，则的最小值为
C. 若，则
D. 若幂函数的图象经过点，则函数的图象恒过定点
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A利用充要条件的推导关系判断；选项B利用的和差公式和均值不等式判断；选项C注意正负和取；选项D考查了幂函数求参数，以及对数函数的定点问题；
【详解】选项A：能推出，反之可以推出或，所以是的必要不充分条件，故A正确；
选项B：由可得，，所以，当且仅当时,等号成立，故B正确；
选项C：当或或时，不成立，故C错误；
选项D：经过点，代入，则，恒过定点，所以恒过定点，故D正确；
故选：ABD.
10. 已知，则（ ）
A. 的最小正周期是B. 的图象关于对称
C. 的值域为D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D.
【详解】对于A，根据诱导公式可知：，
所以也是的周期，故A错；
对于B，根据诱导公式可知：
，
所以的图象关于对称，故B对；
当时，，
又在在上都单调递增，所以在上单调递增，
故C对；
如图
由，所以偶函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，的最小正周期是，
所以时，，
所以，又的最小正周期是，
所以是一个周期，所以的值域为
故D对；
故选：BCD
11. 定义在上的函数，且，则（ ）
A. 是偶函数
B. 的图象关于点对称
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法，根据奇偶性的定义判断A；举出反例判断B；求解判断C，D.
【详解】令，得，
令，得，
又，所以，所以是偶函数，故A对；
令，
令，得，
，
所以的图象不关于点对称，故B错，C对；
令，得，
令，
令，
同理可得，
所以，故D对；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】由分段函数解析式，由内向外求解即可；
【详解】，
所以，
故答案为：
13. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围________
【答案】
【解析】
【分析】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立；
当时，要想不等式对一切实数都成立，则满足：
且，解得
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：
14. 已知实数满足，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件得到，再由三角函数换元求解即可；
【详解】由，
可得：，
设，
可得：，
所以，
因为，
所以，
所以取值范围是；
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点．
（1）求和的值；
（2）求的值．
【答案】（1）2，
（2）1
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义和正弦二倍角公式即可求解；
（2）由诱导公式及同角商的关系即可求解；
【小问1详解】
因为角的终边经过点．由三角函数定义知
，．
∴．∴．
【小问2详解】
由诱导公式得
16. 已知函数．
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若在上具有单调性，求实数的取值范围；
（3）当时，对任意恒成立，求实数取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据的解集得到方程的两根，然后利用韦达定理计算；
（2）根据二次函数的单调性列不等式，解不等式即可；
（3）将恒成立转化为恒成立，然后利用单调性的定义判断单调性求最值即可.
【小问1详解】
∵的解集为．
∴是方程的两根．
∴，．
【小问2详解】
的对称轴方程为．
∵在上具有单调性．
∴，
∴或．
∴实数的取值范围为．
【小问3详解】
，
∴a>x+1x, x∈12, 3，
设，任取，且x1>x2, gx1−gx2=x1+1x1−x2−1x2=x1−x2+．
当时，，∴，
当时，，∴．
∴在上单调递减，在上单调递增，
且．所以当时，，
所以，即取值范围为．
17. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，求的最小值；
（3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）增区间为，减区间为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据的单调性，结合函数图象即可求解；
（2）根据对数的运算可得，即可利用基本不等式求解；
（3）利用换元法，将问题转化为，有两个正的实数根，即可由一元二次方程根的分布求解.
【小问1详解】
，
由于上单调递增，
所以的增区间为，减区间为；
【小问2详解】
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
，即，
∴，∴，∴，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为．
【小问3详解】
有四个不等实根，即有四个不等实根，
设，得，
只需方程有两个不等正实根，
，解得，
∴的取值范围为．
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值；
（3）若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式及正弦的和角公式得到，把看成一整体，利用的性质，得，即可求解；
（2）根据条件，利用平方关系求出，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解；
（3）利用（1）结果得到在区间上的单调性，进而得出图象，再数形结合，即可求解.
【小问1详解】
因为，
由，得到，
所以的单调递增区间为，．
【小问2详解】
由（1）知，则，
又，所以，
又，所以，
则，
又，．
【小问3详解】
当时，由（1）知在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且，
则在区间上的图象如图所示，
又直线与的图象有三个交点．则，
不妨设三个交点为，且，则，
又易知，所以，
所以的取值范围为．
19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…）
（1）解方程；
（2）求不等式的解集；
（3）对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）解指数方程即可；
（2）说明函数的奇偶性和单调性，再解不等式；
（3）分别求出的,最值，构造不等式即可求解．
【小问1详解】
即，，
设e2x=tt>0得，
∴解得或（舍去），
∴，∴．
【小问2详解】
∵，∴为偶函数，
任取，，
∵，∴，，
∴cshx1−cshx2=12ex1−ex2⋅1−1ex1+x2>0，
∴cshx1>cshx2即在上单调递增，
又是偶函数，∴在上单调递减，
即，
∴即，解得，
∴不等式的集体为．
【小问3详解】
，
只需，
设，
由的单调性可知在上单调递减，
∴，
（当时取等号），
∴即．∴的取值范围为．