2026年中考数学第一轮复习专题练习：1.2整式与因式分解 [含解析]

这是一份2026年中考数学第一轮复习专题练习：1.2整式与因式分解 [含解析]，共85页。试卷主要包含了2 整式与因式分解，1】，1】，其中．，1】观察下列等式等内容，欢迎下载使用。
1.2 整式与因式分解
知识梳理
例题讲解
【题型一】列代数式及求值
【例1.1】（2025•长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A．6mB．m+10C．60mD．10m
【例1.2】（2025•仙居县二模）如果代数式x2﹣2x+5的值为3，那么代数式2x﹣x2的值等于（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
【例1.3】（2025•萧山区一模）已知2x+1＝﹣2，则代数式2x2+x﹣1的值为（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
【题型二】整式的有关概念
【例2.1】（2023•衢州二模）单项式﹣3a的系数是（ ）
A．1B．3C．﹣3D．﹣3a
【例2.2】（2023•诸暨市模拟）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ）
A．7a2b和3ab2 B．和﹣2x2y C．x2yz和x2y D．3x2和3y2
【例2.3】（2025•雅安）已知2xm+2y3和﹣3xy2n﹣1是同类项，则nm＝ ．
【题型三】整式的运算
【例3.1】（2025•湖州一模）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．3a2﹣2a＝a C．3a+2b＝5ab D．3ab﹣ba＝2ab
【例3.2】（2025•温州一模）a2•（﹣a3）的计算结果是（ ）
A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a5
【例3.3】（2025•庆元县一模）下列运算正确的是（ ）
A．m2+m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2•m3＝m5
【例3.4】（2025•诸暨市三模）下列式子中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（3ab2）3＝9a3b6 C．（a2b）3÷（﹣ab）2＝a4b D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【例3.5】（2025•浙江模拟）计算2a2•（﹣3a3）的结果是（ ）
A．﹣6a5B．6a5C．﹣2a6D．2a6
【例3.6】（2024•德阳）若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 ．
【例3.7】（2025•玉环市二模）下列运算正确的是（ ）
A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b B．x（x﹣2）＝x2﹣2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1
【例3.8】（2025•哈尔滨）定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（3n）⊗（2n）的运算结果是 ．
【题型四】整式的化简求值
【例4.1】（2025•金东区二模）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣6），其中．
【例4.2】（2025•乐山）先化简，再求值：（x+3）2+3x（x﹣2），其中x＝．
【例4.3】（2025•湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．
【题型五】因式分解
【例5.1】（2025•浙江模拟）下列因式分解中，正确的是（ ）
A．ab﹣4a+1＝a（b﹣4）+1 B．﹣a2+b2＝（﹣a+b）（﹣a﹣b）
C．a2﹣2ab+4b2＝（a﹣2b）2 D．﹣ab2+2ab﹣a＝﹣a（b﹣1）2
【例5.2】（2025•舟山三模）因式分解：x2﹣2025x＝ ．
【例5.3】（2025•衢州一模）因式分解：＝（ ）
A． B． C． D．
【例5.4】（2025•鹿城区二模）分解因式：a2+10a+25＝ ．
【例5.5】（2025•杭州模拟）因式分解：ax2﹣4axy+4ay2＝ ．
【题型六】数式的规律探究
【例6.1】（2025•浙江模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【例6.2】（2025•重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32B．28C．24D．20
真题在线
1．（2023•丽水）计算a2+2a2的正确结果是（ ）
A．2a2B．2a4C．3a2D．3a4
2．（2023•湖州）计算a3•a的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a4D．a5
3．（2025•温州模拟）计算（2x8）÷（4x2）的结果是（ ）
A．2x4B．2x6C．D．
4．（2024•浙江）下列式子运算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x6C．（x3）2＝x9D．x6÷x2＝x4
5．（2025•普陀区三模）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝9a2b4 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a2﹣a2＝3 D．a6÷a3＝a2
6．（2025•普陀区三模）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单，若他们所点的餐总共为15份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐（ ）
A．15﹣xB．15﹣yC．15﹣x﹣yD．15﹣x+y
7．（2025•金华模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a3•a2＝a6 C．（﹣3a）3＝﹣9a3D．a3•（﹣a）2＝a5
8．（2025•宁波模拟）已知b≥0，3a﹣b＝4，2a﹣b+c＝0，下面结论正确的是（ ）
A．a﹣c＝﹣4B．b﹣2c＝8C．D．
9．（2025•永嘉县三模）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝9b×9b，则a与b的关系正确的是（ ）
A．3a＝2bB．a+1＝4bC．a+1＝b2D．a+1＝b4
10．（2025•萧山区模拟）在学习过程中，甲同学认为：如果a2＝b2，那么a2+b2＝2ab；乙同学认为：如果a2+b2＝2ab，那么a2＝b2．请对两位同学的说法进行判断（ ）
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
11．（2024•浙江）因式分解：a2﹣7a＝ ．
12．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝ ．
13．（2025•烟台）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝ ．
14．（2025•浙江模拟）已知m+n＝5，m﹣n＝﹣1，则m2+n2＝ ．
15．（2025•浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
【应用体验】
已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 ．
16．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
17．（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．
18．（2025•衢州模拟）先化简，再求值：（m+2n）2﹣4n（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝．
19．（2025•浙江模拟）小明的一道习题解答过程如下：
（1）小明解答正确吗？若不正确，他是从第 步开始出错的，请你给出完整的正确计算过程．
（2）当m＝1，n＝﹣3时，求此代数式的值．
20．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
21．（2024•浙江模拟）对于实数a，b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0．
（1）求3⊕5的值；
（2）若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕（2﹣x）的值为n，请你判断m﹣n的值是否与x的取值有关？并给出证明．

专项练习
1．（2022•鄞州区模拟）下列说法正确的是（ ）
A．3πxy的系数是3 B．3πxy的次数是3 C．﹣xy2的系数是﹣ D．﹣xy2的次数是2
2．（2024•内江）下列单项式中，ab3的同类项是（ ）
A．3ab3B．2a2b3C．﹣a2b2D．a3b
3．（2025秋•吴兴区模拟）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（ ）
A．x2﹣y2B．（x﹣y）2C．x2﹣yD．x﹣y2
4．（2025•湖南）计算a3•a4的结果是（ ）
A．2a7B．a7C．2a4D．a12
5．（2025•西湖区模拟）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B． C．a6÷a3＝a2 D．a2•a3＝a5
6．（2025•衢州一模）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣3a）2＝﹣9a2 C．（﹣a）6÷a3＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
7．（2025•温州模拟）计算﹣x（x3﹣1）的结果（ ）
A．﹣x4﹣1B．﹣x4﹣xC．﹣x4+xD．x4﹣x
8．（2025•绍兴二模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2B．2a﹣b2C．a2﹣b2D．﹣a2﹣b2
9．（2025•河北）计算：2a2+4a2＝ ．
10．（2025•长春）已知x2+2x＝4，则代数式7﹣x2﹣2x的值为 ．
11．（2025•萧山区一模）计算：（m2）3•m＝ ．
12．（2025•杭州模拟）定义新运算：a*b＝ab﹣b2，则（3m）*m的运算结果是 ．
13．（2025•西湖区模拟）把多项式2a2﹣18分解因式的结果是 ．
14．（2023•金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
15．（2025•浙江模拟）观察下面的等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
16．（2025•宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？ ．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 ；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？

2026年中考数学一轮复习精讲精练
第一章 数与式
1.2 整式与因式分解
知识梳理
例题讲解
【题型一】列代数式及求值
【例1.1】（2025•长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A．6mB．m+10C．60mD．10m
【点拨】根据每个机械手摘的数量乘机械手的数量，即可求出m（m＞1）个机械手平均每分钟可以采摘的苹果数．
【解析】解：m（m＞1）个机械手每分钟采摘苹果：10m，
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是理解题意，根据数量关系列代数式．
【例1.2】（2025•仙居县二模）如果代数式x2﹣2x+5的值为3，那么代数式2x﹣x2的值等于（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
【点拨】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解析】解：∵x2﹣2x+5＝3，
∴x2﹣2x＝﹣2，
∴当x2﹣2x＝﹣2时，原式＝﹣（x2﹣2x）＝﹣（﹣2）＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
【例1.3】（2025•萧山区一模）已知2x+1＝﹣2，则代数式2x2+x﹣1的值为（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
【点拨】将代数式的前两项提取公因式并将2x+1＝﹣2代入，得到﹣（2x+1）并再次将2x+1＝﹣2代入求值即可．
【解析】解：∵2x+1＝﹣2，
∴2x2+x﹣1
＝x（2x+1）﹣1
＝﹣2x﹣1
＝﹣（2x+1）
＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．
【题型二】整式的有关概念
【例2.1】（2023•衢州二模）单项式﹣3a的系数是（ ）
A．1B．3C．﹣3D．﹣3a
【点拨】直接利用单项式的系数确定方法分析得出答案．
【解析】解：单项式﹣3a的系数是：﹣3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确掌握相关定义是解题关键．
【例2.2】（2023•诸暨市模拟）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ）
A．7a2b和3ab2 B．和﹣2x2y C．x2yz和x2y D．3x2和3y2
【点拨】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．
【解析】解：A.7a2b和3ab2，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，所以不是同类项，故本选项不合题意；
B.和﹣2x2y，所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意；
C．x2yz和x2y，所含字母不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意；
D.3x2和3y2，所含字母不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．
【例2.3】（2025•雅安）已知2xm+2y3和﹣3xy2n﹣1是同类项，则nm＝ ．
【点拨】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
【解析】解：由同类项的定义可知m+2＝1，2n﹣1＝3，
解得m＝﹣1，n＝2，
∴nm＝2（﹣1）＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
【题型三】整式的运算
【例3.1】（2025•湖州一模）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．3a2﹣2a＝a C．3a+2b＝5ab D．3ab﹣ba＝2ab
【点拨】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解析】解：A、3a+2a＝5a≠5a2，故A错误；
B、3a2﹣2a≠a，故B错误；
C、3a+2b≠5ab，故C错误；
D、3ab﹣ba＝2ab，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
【例3.2】（2025•温州一模）a2•（﹣a3）的计算结果是（ ）
A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a5
【点拨】先根据积的乘方的运算性质计算乘方，再根据单项式的乘法法则计算即可．
【解析】解：a2•（﹣a3）
＝（﹣1×1）×（a2•a3）
＝﹣a5．
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方的运算性质及单项式的乘法法则，属于基础题型，比较简单．
【例3.3】（2025•庆元县一模）下列运算正确的是（ ）
A．m2+m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2•m3＝m5
【点拨】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的乘法法则对每个选项进行逐一判断即可．
【解析】解：∵m2与m3不是同类项，不能合并，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵m6÷m2＝m4，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（2m3）2＝4m6，
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∵m2•m3＝m5，
∴D选项的运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的乘法法则的应用，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
【例3.4】（2025•诸暨市三模）下列式子中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（3ab2）3＝9a3b6 C．（a2b）3÷（﹣ab）2＝a4b D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【点拨】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【解析】解：A、原式＝a5，错误；
B、原式＝27a3b6，错误；
C、原式＝a6b3÷a2b2＝a4b，正确；
D、原式＝a2﹣4a+4，错误，
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例3.5】（2025•浙江模拟）计算2a2•（﹣3a3）的结果是（ ）
A．﹣6a5B．6a5C．﹣2a6D．2a6
【点拨】根据单项式乘单项式法则，即可得到答案．
【解析】解：原式＝﹣6a5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键．
【例3.6】（2024•德阳）若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 y2﹣1 ．
【点拨】根据题意，列出3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）去括号化简即可．
【解析】解：3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）
＝3xy+2y2﹣5﹣y2﹣3xy+4
＝y2﹣1．
故答案为：y2﹣1．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号和合并同类项是关键．
【例3.7】（2025•玉环市二模）下列运算正确的是（ ）
A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b B．x（x﹣2）＝x2﹣2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1
【点拨】根据去括号法则，单项式乘多项式的法则，完全平方公式，平方差公式进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、﹣（a﹣b）＝﹣a+b，故A不符合题意；
B、x（x﹣2）＝x2﹣2x，故B不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不符合题意；
D、（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【例3.8】（2025•哈尔滨）定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（3n）⊗（2n）的运算结果是 8n2 ．
【点拨】将 a＝3n 和 b＝2n 代入公式 a⊗b＝2ab﹣b2 进行计算．
【解析】解：∵a⊗b＝2ab﹣b2，
∴（3n）⊗（2n）＝2×（3n）×（2n）﹣（2n）2＝2×3n×2n﹣4n2＝12n2﹣4n2＝8n2；
故答案为：8n2．
【点睛】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算．
【题型四】整式的化简求值
【例4.1】（2025•金东区二模）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣6），其中．
【点拨】根据平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解析】解：原式＝4x2﹣9﹣（4x2﹣24x）
＝4x2﹣9﹣4x2+24x
＝24x﹣9，
当x＝时，原式＝24×﹣9＝﹣3．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【例4.2】（2025•乐山）先化简，再求值：（x+3）2+3x（x﹣2），其中x＝．
【点拨】先根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后算加减，最后代入求值．
【解析】解：原式＝x2+6x+9+3x2﹣6x
＝4x2+9．
当x＝时，
原式＝4×（）2+9＝10．
【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式的结构以及单项式乘多项式的计算法则是解题关键．
【例4.3】（2025•湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．
【点拨】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解析】解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x）
＝x2﹣4+x﹣x2
＝x﹣4，
当x＝6时，原式＝6﹣4＝2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【题型五】因式分解
【例5.1】（2025•浙江模拟）下列因式分解中，正确的是（ ）
A．ab﹣4a+1＝a（b﹣4）+1 B．﹣a2+b2＝（﹣a+b）（﹣a﹣b）
C．a2﹣2ab+4b2＝（a﹣2b）2 D．﹣ab2+2ab﹣a＝﹣a（b﹣1）2
【点拨】把一个多项式变成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此可判断A；利用平方差公式可判断B，利用完全平方公式可判断C；利用提公因式法和完全平方公式可判断D．
【解析】解：A、ab﹣4a+1＝a（b﹣4）+1等式右边不是乘积形式，不符合题意；
B、﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a）≠（﹣a+b）（﹣a﹣b），原分解错误，不符合题意；
C、a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2，原分解错误，不符合题意；
D、﹣ab2+2ab﹣a＝﹣a（b﹣1）2，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的提公因式和公式法是解题的关键．
【例5.2】（2025•舟山三模）因式分解：x2﹣2025x＝ x（x﹣2025） ．
【点拨】提取公因式x进行因式分解即可．
【解析】解：原式＝x（x﹣2025），
故答案为：x（x﹣2025）．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【例5.3】（2025•衢州一模）因式分解：＝（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意，利用平方差公式进行因式分解即可．
【解析】解：
＝
＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解﹣公式法，掌握公式法进行因式分解是解题的关键．
【例5.4】（2025•鹿城区二模）分解因式：a2+10a+25＝ （a+5）2 ．
【点拨】根据完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，原式化成二项式平方．
【解析】解：a2+10a+25＝（a+5）2；
故答案为：（a+5）2．
【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【例5.5】（2025•杭州模拟）因式分解：ax2﹣4axy+4ay2＝a（x﹣2y）2 ．
【点拨】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．
【解析】解：原式＝a（x2﹣4xy+4y2）
＝a（x﹣2y）2．
故答案为：a（x﹣2y）2．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
【题型六】数式的规律探究
【例6.1】（2025•浙江模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【点拨】（1）观察给出的三个等式，可以发现以下规律：第n个等式的左边为，右边为，分数的分子比分母大1，且右边的整数等于分子．验证等式两边的计算结果相等：左边：；右边：；因此左边等于右边．
（2）第n个不等式的一般形式为．
【解析】（1）解：；
（2）证明：，
＝
＝
＝，
所以右＝左，即等式成立．
【点睛】本题考查了规律题，数字的变化，推理能力和运算能力，正确找出规律是解题的关键．
【例6.2】（2025•重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32B．28C．24D．20
【点拨】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n＝6计算即可．
【解析】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
…，
则第n个图案中有4n个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是4×6＝24个，
故选：C．
【点睛】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律．
真题在线
1．（2023•丽水）计算a2+2a2的正确结果是（ ）
A．2a2B．2a4C．3a2D．3a4
【点拨】根据合并同类项法则进行计算即可．
【解析】解：a2+2a2
＝（1+2）a2
＝3a2，
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项法则，能熟记合并同类项法则是解此题的关键，把同类项的系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
2．（2023•湖州）计算a3•a的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a4D．a5
【点拨】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解析】解：a3•a＝a3+1＝a4，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
3．（2025•温州模拟）计算（2x8）÷（4x2）的结果是（ ）
A．2x4B．2x6C．D．
【点拨】根据单项式除以单项式法则进行计算，然后判断即可．
【解析】解：原式＝（2÷4）•（x8÷x2）
＝，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则．
4．（2024•浙江）下列式子运算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x6C．（x3）2＝x9D．x6÷x2＝x4
【点拨】根据合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可．
【解析】解：A．x3+x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B．x3•x2＝x5，故本选项不符合题意；
C．（x3）2＝x6，故本选项不符合题意；
D．x6÷x2＝x4，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（2025•普陀区三模）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝9a2b4 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a2﹣a2＝3 D．a6÷a3＝a2
【点拨】根据合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式及幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解析】解：A．原式＝9a2b4，故本选项符合题意；
B．原式＝a2+b2+2ab，故本选项不符合题意；
C．原式＝2a2，故本选项不符合题意；
D．原式＝a3，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
6．（2025•普陀区三模）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单，若他们所点的餐总共为15份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐（ ）
A．15﹣xB．15﹣yC．15﹣x﹣yD．15﹣x+y
【点拨】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面，根据题意可得点A餐15﹣x．
【解析】解：∵x杯饮料则在B和C餐中点了x份意大利面．
∴点A餐为15﹣x．
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式，以意大利面为依据，准确列出代数式是解题的关键．
7．（2025•金华模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a3•a2＝a6 C．（﹣3a）3＝﹣9a3D．a3•（﹣a）2＝a5
【点拨】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解析】解：A、a2+a2＝2a2，故该项不正确，不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；
C、（﹣3a）3＝﹣27a3，故该项不正确，不符合题意；
D、a3•（﹣a）2＝a5，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（2025•宁波模拟）已知b≥0，3a﹣b＝4，2a﹣b+c＝0，下面结论正确的是（ ）
A．a﹣c＝﹣4B．b﹣2c＝8C．D．
【点拨】先用c的代数式表示a，b，后根据条件解答即可．
【解析】解：根据题意，用c的代数式表示a，b可得：
，
解得，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了解方程组，解不等式．熟练掌握以上知识点是关键．
9．（2025•永嘉县三模）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝9b×9b，则a与b的关系正确的是（ ）
A．3a＝2bB．a+1＝4bC．a+1＝b2D．a+1＝b4
【点拨】先根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则计算，再根据幂的乘方法则计算，即可得解．
【解析】解：∵3a+3a+3a＝9b×9b，
∴3×3a＝92b，
∴3a+1＝（32）2b，
∴3a+1＝34b，
∴a+1＝4b，
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2025•萧山区模拟）在学习过程中，甲同学认为：如果a2＝b2，那么a2+b2＝2ab；乙同学认为：如果a2+b2＝2ab，那么a2＝b2．请对两位同学的说法进行判断（ ）
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【点拨】由a2＝b2得a2﹣b2＝0，利用平方差公式可得a＝±b，从而可得a2+b2＝±2ab；由a2+b2＝2ab可得a2+b2﹣2ab＝0，利用完全平方公式可得a＝b，从而可得a2＝b2；据此判断即可．
【解析】解：∵a2＝b2，
∴a2﹣b2＝0，
∴（a+b）（a﹣b）＝0，
∴a＝±b，
则a2+b2＝±2ab；
∵a2+b2＝2ab，
∴a2+b2﹣2ab＝0，
∴（a﹣b）2＝0，
∴a＝b，
则a2＝b2；
综上，仅乙正确，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键．
11．（2024•浙江）因式分解：a2﹣7a＝a（a﹣7） ．
【点拨】用提取公因式法分解因式即可．
【解析】解：a2﹣7a＝a（a﹣7）．
故答案为：a（a﹣7）．
【点睛】本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法等．
12．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【点拨】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解析】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点睛】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
13．（2025•烟台）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝ 2（x﹣3y）2 ．
【点拨】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
【解析】解：2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3y）2，
故答案为：2（x﹣3y）2．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是关键．
14．（2025•浙江模拟）已知m+n＝5，m﹣n＝﹣1，则m2+n2＝ 13 ．
【点拨】先将m+n＝5，m﹣n＝﹣1变形为（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝1，化简后两式相加即可求解．
【解析】解：由条件可知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝1，
即m2+2mn+n2＝25①，m2﹣2mn+n2＝1②，
两式相加得2m2+2n2＝26，
∴m2+n2＝13，
故答案为：13．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式内容是解题的关键．
15．（2025•浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
【应用体验】
已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 8 ．
【点拨】根据题干中所得系数规律得到关于m的方程，解得m的值即可．
【解析】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，
∴mx3＝4x3×2，
∴m＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查数式规律问题，理解题意并得出规律是解题的关键．
16．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 25 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
【点拨】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2＝，再结合（m+n）2＝10可求得mn＝，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn＝．
【解析】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案为：25；
（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，
整理得：2mn＝，
即mn＝，
∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，
故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解题的关键．
17．（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．
【点拨】根据单项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项进行化简，最后将数值代入求出结果．
【解析】解：x（5﹣x）+x2+3
＝5x﹣x2+x2+3
＝5x+3，
当x＝2时，
原式＝5×2+3＝13．
【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算．
18．（2025•衢州模拟）先化简，再求值：（m+2n）2﹣4n（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝．
【点拨】根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将m、n的值代入化简后的式子计算即可．
【解析】解：（m+2n）2﹣4n（m﹣n）
＝m2+4mn+4n2﹣4mn+4n2
＝m2+8n2，
当时，原式＝＝3．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（2025•浙江模拟）小明的一道习题解答过程如下：
（1）小明解答正确吗？若不正确，他是从第 一 步开始出错的，请你给出完整的正确计算过程．
（2）当m＝1，n＝﹣3时，求此代数式的值．
【点拨】（1）根据题目中的解答过程可知，第一步开始出现错误，然后写出正确解答过程即可；
（2）将m、n的值代入化简后的式子计算即可．
【解析】解：（1）由题目中的解答过程可知，
第一步开始出错，
故答案为：一；
正确解答过程如下：
原式＝m10n4÷（﹣m3n）•（﹣3mn）
＝﹣m7n3•（﹣3mn）
＝m8n4；
（2）当m＝1，n＝﹣3时，原式＝×18×（﹣3）4＝216．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【点拨】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解析】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
21．（2024•浙江模拟）对于实数a，b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0．
（1）求3⊕5的值；
（2）若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕（2﹣x）的值为n，请你判断m﹣n的值是否与x的取值有关？并给出证明．
【点拨】（1）按照题目运算定义进行代入、求解；
（2）先运用运算定义表示出m，n的值，再通过计算m﹣n进行辨别．
【解析】解：（1）由题意得，
3⊕5＝（3+5﹣1）2﹣2×3×5
＝72﹣30
＝49﹣30
＝19，
即3⊕5的值是19；
（2）m﹣n的值是否与x的取值无关，
证明：由题意得，
m＝x⊕3
＝（x+3﹣1）2﹣2×x×3
＝（x+2）2﹣6x
＝x2+4x+4﹣6x
＝x2﹣2x+4；
n＝1⊕（2﹣x）
＝（1+2﹣x﹣1）2﹣2×1×（2﹣x）
＝（2﹣x）2﹣（4﹣2x）
＝x2﹣4x+4+2x﹣4
＝x2﹣2x，
∴m﹣n＝（x2﹣2x+4）﹣（x2﹣2x）
＝x2﹣2x+4﹣x2+2x
＝4，
∴m﹣n的值是否与x的取值无关．
【点睛】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别．
专项练习
1．（2022•鄞州区模拟）下列说法正确的是（ ）
A．3πxy的系数是3 B．3πxy的次数是3 C．﹣xy2的系数是﹣ D．﹣xy2的次数是2
【点拨】根据单项式的系数和指数的定义解答即可．
【解析】解：A．系数应该是3π，不符合题意；
B．π是数字，次数应该是2，不符合题意；
C．正确，符合题意；
D．次数应该是3，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的系数和指数的定义，注意π是数字．
2．（2024•内江）下列单项式中，ab3的同类项是（ ）
A．3ab3B．2a2b3C．﹣a2b2D．a3b
【点拨】根据同类项的定义：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同．据此进行解题即可．
【解析】解：根据同类项的定义可知，
ab3的同类项是3ab3．
故选：A．
【点睛】本题考查同类项和单项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3．（2025秋•吴兴区模拟）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（ ）
A．x2﹣y2B．（x﹣y）2C．x2﹣yD．x﹣y2
【点拨】先列出前半部分“x与y的差”，即x﹣y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案．
【解析】解：根据题目可列出（x﹣y）2，
故选B．
【点睛】本题考查的是根据题意列出代数式．
4．（2025•湖南）计算a3•a4的结果是（ ）
A．2a7B．a7C．2a4D．a12
【点拨】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【解析】解：a3•a4＝a3+4＝a7．
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
5．（2025•西湖区模拟）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B． C．a6÷a3＝a2 D．a2•a3＝a5
【点拨】利用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法的性质求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解析】解：A、（a2）3＝a6，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、a6÷a3＝a3，故本选项错误；
D、a2•a3＝a5，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
6．（2025•衢州一模）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣3a）2＝﹣9a2 C．（﹣a）6÷a3＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【点拨】利用合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的除法法则对每个选项进行逐一判断即可．
【解析】解：∵a2•a3＝a5，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵（﹣3a）2＝9a2，
∴BA选项的运算不正确，不符合题意；
∵（﹣a）6÷a3＝a6÷a3＝a3，
∴CA选项的运算正确，符合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴DA选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的除法法则的应用，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键．
7．（2025•温州模拟）计算﹣x（x3﹣1）的结果（ ）
A．﹣x4﹣1B．﹣x4﹣xC．﹣x4+xD．x4﹣x
【点拨】直接根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解析】解：原式＝﹣x4+x，
故选：C．
【点睛】此题考查的是单项式乘多项式，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
8．（2025•绍兴二模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2B．2a﹣b2C．a2﹣b2D．﹣a2﹣b2
【点拨】根据平方差公式进行因式分解分别判断即可．
【解析】解：a2+b2不能进行因式分解，
故A不符合题意；
2a﹣b2不能因式分解，
故B不符合题意；
a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），
故C符合题意；
﹣a2﹣b2不能因式分解，
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
9．（2025•河北）计算：2a2+4a2＝ 6a2 ．
【点拨】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解析】解：2a2+4a2＝（2+4）a2＝6a2．
故答案为：6a2．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2025•长春）已知x2+2x＝4，则代数式7﹣x2﹣2x的值为 3 ．
【点拨】将原式变形后代入数值计算即可．
【解析】解：∵x2+2x＝4，
∴7﹣x2﹣2x
＝7﹣（x2+2x）
＝7﹣4
＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键．
11．（2025•萧山区一模）计算：（m2）3•m＝ m7 ．
【点拨】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可．
【解析】解：原式＝m6•m＝m7．
故答案为：m7．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12．（2025•杭州模拟）定义新运算：a*b＝ab﹣b2，则（3m）*m的运算结果是 2m2 ．
【点拨】根据题意列式后利用单项式乘单项式法则计算后再合并同类项即可．
【解析】解：原式＝3m•m﹣m2
＝3m2﹣m2
＝2m2，
故答案为：2m2．
【点睛】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
13．（2025•西湖区模拟）把多项式2a2﹣18分解因式的结果是 2（a+3）（a﹣3） ．
【点拨】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解析】解：原式＝2（a2﹣9）
＝2（a+3）（a﹣3），
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
【点睛】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．（2023•金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
【点拨】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可
【解析】解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2
＝3x﹣1
当时，原式＝3×﹣1＝0．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
15．（2025•浙江模拟）观察下面的等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ＝（） ；
（2）请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【点拨】（1）根据所给的式子的规律直接写出即可；
（2）根据所给的式子总结规律即可．
【解析】解：（1）第5个等式为：＝（），
故答案为：＝（）；
（2）第n个式子为＝（﹣），
右边＝（﹣）＝＝＝左边，
∴＝（﹣），
故答案为：＝（﹣）．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到数字之间的规律是解题的关键．
16．（2025•宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？ 不是 ．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 b﹣c＝a ；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
【点拨】若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”，因为6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，更具“极差数”的定义，可得b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），b﹣c＝a，b＝a+c，＝100a+10b+c＝11（10a+c），因为11（10a+c）能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除．
【解析】解：6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
故答案为：不是．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为：b﹣c＝a．
故答案为：b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），
所以b﹣c＝a，b＝a+c，
所以＝100a+10b+c
＝100a+10（a+c）+c
＝100a+10a+10c+c
＝110a+11c
＝11（10a+c），
因为a、b、c为正整数，
所以10a+c为正整数，
所以11（10a+c）能被11整除，
即任意一个“极差数”都能被11整除．
【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据“极差数”的定义列式解答．
代
数
式
定义
用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.
【注意】代数式式数或字母之间的运算关系，代数式中只能含运算符号，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等关系符号.
列代数式的常用方法
①直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式；
②公式法：根据公式列出代数式；
③探究规律法：将一组数或一组图形的排列规律用代数式表示出来.
求代数式的值
1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．
2．求代数式的值的基本步骤：
① 代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；
② 计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．
整
式
的
相
关
概
念
单项式
由 或 相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的 ，单项式中的数字因数叫做这个单项式的 ．
多项式
由几个 组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这
个多项式的 ，不含字母的项叫做 ．
整式
统称为整式．
同类项
多项式中，所含 相同，并且 也相同的项，叫做同类项．所有的
常数项都是同类项.
合并同类项
把多项式中的同类项 叫做合并同类项，合并的法则是系数 ，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 。
整
式
运
算
整式的
加减
① 整式的加减其实就是合并同类项；
② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．
幂的运算
同底数幂乘法
am·an＝am+n（a≠0）
同底数幂除法
am÷an＝am-n(m，n是正整数)
幂的乘方
(am)n＝amn（a≠0）
积的乘方
(ab)n＝anbn
整式的
乘法
① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．
③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
乘法公式
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式
(a+b)2＝a2+2ab＋b2
(a-b)2＝a2-2ab＋b2
变形式：
a2＋b2＝(a+b)2－2ab=(a-b)2+2ab
(a-b)2＝(a+b)2－4ab
整式的
除法
①单项式相除，把系数、同底数幂分别 ，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
②多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的商相加．(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
因式
分解
概念
把一个多项式化成几个 的形式，叫做因式分解．因式分解与 是互逆变形．
因式分解方法
提公因式法
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用）
公式法
① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
因式分解
的步骤
一提（提公因式法）二套（平方差公式、完全平方公式与十字相乘）三分（四项及以上选择分组法）
A餐：一份意大利面
B餐：一份意大利面加一杯饮料
C餐：一份意大利面加一杯饮料与一份沙拉
代
数
式
定义
用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.
【注意】代数式式数或字母之间的运算关系，代数式中只能含运算符号，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等关系符号.
列代数式的常用方法
①直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式；
②公式法：根据公式列出代数式；
③探究规律法：将一组数或一组图形的排列规律用代数式表示出来.
求代数式的值
1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．
2．求代数式的值的基本步骤：
① 代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；
② 计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．
整
式
的
相
关
概
念
单项式
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
多项式
由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这
个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
整式
单项式和多项式统称为整式．
同类项
多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．所有的
常数项都是同类项.
合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
整
式
运
算
整式的
加减
① 整式的加减其实就是合并同类项；
② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．
幂的运算
同底数幂乘法
am·an＝am+n（a≠0）
同底数幂除法
am÷an＝am-n(m，n是正整数)
幂的乘方
(am)n＝amn（a≠0）
积的乘方
(ab)n＝anbn
整式的
乘法
① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．
③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
乘法公式
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式
(a+b)2＝a2+2ab＋b2
(a-b)2＝a2-2ab＋b2
变形式：
a2＋b2＝(a+b)2－2ab=(a-b)2+2ab
(a-b)2＝(a+b)2－4ab
整式的
除法
①单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
因式
分解
概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式的乘法是互逆变形．
因式分解方法
提公因式法
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用）
公式法
① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
因式分解
的步骤
一提（提公因式法）二套（平方差公式、完全平方公式与十字相乘）三分（四项及以上选择分组法）
A餐：一份意大利面
B餐：一份意大利面加一杯饮料
C餐：一份意大利面加一杯饮料与一份沙拉