【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题1.7 整式与因式分解练习（全国通用版）（解析版）

这是一份【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题1.7 整式与因式分解练习（全国通用版）（解析版），共15页。试卷主要包含了数与式等内容，欢迎下载使用。
专题7 整式与因式分解
知识梳理
【考点一】单项式
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0．
【考点二】 多项式
1.定义：几个单项式的和叫作多项式．
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式．
3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
【考点三】 整式
1.定义：单项式与多项式统称整式．
2.单项式、多项式与整式的关系如图所示．
3. 判断整式、单项式及多项式的方法
（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；
（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；
（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．
【考点四】 同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．
【考点五】 合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变．
合并同类项的一般步骤：
【考点六】 去括号
1. 去括号方法
一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac.
3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
【考点七】 整式的加减
整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，−2(x−3x+5x−7x+6)=−2(−4x+6)=8x−12．
【考点八】 因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式.
（2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止.
（3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变.
【考点九】公因式
1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式．
2、找出多项式的公因式的一般步骤：
（1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
（3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
【考点十】提公因式法分解因式
1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积．
【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号．
（2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式．
（3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项．
【考点十一】用平方差公式分解因式
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
3、运用平方差公式的条件
（1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数．
4、运用平方差公式分解因式的步骤:
一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面．
二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体．
三套: 套用平方差公式进行分解．
四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式．
拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式．
【考点十二】用完全平方公式分解因式
1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ．
2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号．
3、完全平方式的特点：
①必须是三项式(或可以看成三项的)；
②有两个数或式的平方和；
③有上面两数之积的 ±2 倍．
4、运用完全平方公式分解因式的步骤:
一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式．
二定: 观察多项式特点,确定a，b．
三套: 套用完全平方公式进行分解．
四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简．
例题讲解
【题型1】 整式及整式有关的概念
◇典例1：
多项式m−4xm−2+x−5是关于x的二次三项式，则m取值为（ ）
A．0B．4C．4或0D．-4或1
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键．
根据多项式的定义得m−2=2且m−4≠0，求解即可．
【详解】解：∵多项式m−4xm−2+x−5是关于x的二次三项式，
∴m−2=2且m−4≠0，
∴m=0，
故选：A．
◆变式训练
1.下列式子：−13，a3，−π，−5x2y3，2xy2，a+b2，12−x，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ．
【答案】 −13，a3，−π，−5x2y3，2xy2 a+b2 −13，a3，−π，−5x2y3，2xy2，a+b2
【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类．
①依据单项式的定义找出单项式；
②依据多项式的定义找出多项式；
③根据整式包含单项式和多项式确定整式．
【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，
−13是单独的数，a3是数13与字母a的积，−π是单独的数，−5x2y3是数5与字母x，y的积，2xy2是数2与字母x，y的积，所以单项式是−13，a3，−π，−5x2y3，2xy2；
②几个单项式的和叫做多项式，a+b2=a2+b2是单项式a2与b2的和，所以多项式是a+b2，故（2）处填a+b2；
③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是−13，a3，−π，−5x2y3，2xy2，a+b2，
故答案为：①−13，a3，−π，−5x2y3，2xy2
②a+b2
③−13，a3，−π，−5x2y3，2xy2，a+b2
2.下列说法中正确的是（ ）
A．多项式−3x2−54的常数项是54，二次项的系数是−34
B．单项式−5πxy2z3的系数和次数分别是−5，7
C．π2不是单项式
D．把x3+xy2−y3+2x2y按y的降幂排列为−y3+xy2+x3+2x2y
【答案】A
【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、多项式−3x2−54的常数项是54，二次项的系数是−34，本选项正确，符合题意；
B、单项式−5πxy2z3的系数和次数分别是−5π，6，本选项错误，不符合题意；
C、π2是单项式，本选项错误，不符合题意；
D、把x3+xy2−y3+2x2y按y的降幂排列为−y3+xy2+2x2y+x3，本选项错误，不符合题意．
故选：A．
【题型2】 合并同类项
◇典例2：
若关于b的单项式bm与nb2024相加等于0，则mn ．
【答案】−2024
【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；
根据同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同”即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：bm与nb2024是同类项且和是0，
∴m=2024，n+1=0即n=−1，
∴mn=2024×−1=−2024，
故答案为：−2024．
◆变式训练
1.下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．ac与abB．3a与5a2C．3ab2与5a2bD．a2b与−ba2
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项，故A选项不符合题意；
B、相同字母的指数不相同，不是同类项，故B选项不符合题意；
C、相同字母的指数不相同，不是同类项，故C选项不符合题意；
D、符合同类项的定义，是同类项，故D选项符合题意；
故选：D．
2.请写出一个与−ab2为同类项的整式： ．
【答案】8ab2（答案不唯一）
【分析】本题考查了同类项的知识．熟练掌握同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，是解题的关键．
根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，书写即可，注意同类项与字母的顺序无关．
【详解】解：如8ab2，答案不唯一．
故答案为：8ab2（答案不唯一）．
【题型3】 去（添）括号
◇典例3：
下列去括号正确的是（ ）
A．a+b+c=ab+cB．a2−−−a+b=a2−a−b
C．a+2b−c=a+2b−cD．a−b+c−d=a−b−c+d
【答案】D
【分析】本题考查了去括号法则的应用，能熟记去括号法则是解此题的关键．根据去括号法则逐个进行判断即可．
【详解】A、a+b+c=a+b+c，但选项写为ab+c，错误，不符合题意；
B、a2−−−a+b=a2−a−b=a2−a+b，但选项结果为a2−a−b，符号错误，不符合题意；
C、a+2b−c=a+2b−2c，但选项写为a+2b−c，系数缺失，错误，不符合题意；
D、a−b+c−d=a−b−c+d，与选项一致，正确，符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1.已知x=113，y=−12，z=56，则x−(−y)+(−z)=
【答案】0
【分析】根据去括号法则化简，再代入数字计算即可得到答案．
【详解】解：原式=x+y−z ，
当x=113，y=−12，z=56时，
原式=x+y−z=43+(−12)−56=0 ，
故答案为0．
【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是去括号时注意符号的选取．
2.已知x−( )=x−y−z，则括号里的式子是（ ）
A．y−zB．z−yC．y+zD．−y−z
【答案】C
【分析】本题考查添括号法则，解答此题的关键是熟练掌握添括号法则：添的括号前是正数时，被括到括号里的各项的符号都不变，添的括号前是负数时，被括到括号里的各项的符号都改变．
根据添括号法则解答即可，注意符号变化．
【详解】解：根据题意将x−y−z添括号，x−y−z=x−y+z，
故选：C．
【题型4】 整式加减运算与化简求值
◇典例4：
我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即5+6=11，若a,b满足|a−3|+(b+1)2=0，则图2中y的值为 ．
【答案】27
【分析】本题考查了整式的加减与化简求值；先用含有a，b的代数式表示m和n，再表示出y即可．根据绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值即可解决问题．
【详解】由题知，
m=ab2+a2b+ab2=a2b+2ab2；
n=a2b+ab2−3(a2b−a)=a2b+ab2−3a2b+3a=−2a2b+ab2+3a；
所以y=m+n=a2b+2ab2−2a2b+ab2+3a=−a2b+3ab2+3a．
因为|a−3|+(b+1)2=0，
所以a−3=0，b+1=0，
则a=3，b=−1，
所以y=−32×−1+3×3×−12+3×3=27．
故答案为：27．
◆变式训练
1.计算．
(1)2x2−2xy−3y2−3xy；
(2)−x2+2xy−y2−2xy−3x2+32y2−xy．
【答案】(1)2x2−3y2+5xy
(2)5x2−3xy+5y2
【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
（1）直接去括号进而合并同类项得出答案；
（2）直接去括号进而合并同类项得出答案．
【详解】（1）解：2x2−2xy−3y2−3xy
=2x2−4xy−3y2+9xy
=2x2−3y2+5xy；
（2）解：−x2+2xy−y2−2xy−3x2+32y2−xy
=−x2+2xy−y2−2xy+6x2+6y2−3xy
=5x2−3xy+5y2
2.设M=x2+4mx−3，N=2x2+4mx−2，那么M与N的大小关系是（ ）
A．M>NB．M=NC．M