山东省菏泽市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含答案（word版）

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注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I部分(选择题 共 58 分)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 下面命题中, 正确的是 ( )
A. 若 a=b ，则 a=b B. 若 a>b ，则 a>b
C. 若 a=0 ，则 a=0 D. 若 a=b ,则 a//b
2. 若复数 z=m2−1+m−1i (其中 i 为虚数单位)为纯虚数，则实数 m 的值为( )
A. -1 B. 1 C. ±1 D. 0
3. 已知向量 AB=3,1,AC=2−m,1−m ，若点 A,B,C 不能构成三角形，则实数 m 应满足的条件为( )
A. m=12 B. m≠12 C. m=14 D. m≠14
4. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A. B=120∘,b=1,c=2 B. c=10,A=45∘,C=30∘
C. a=2,b=1,c=5 D. a=3,b=2,A=45∘
5. 欧拉公式 exi=csx+isinx (其中 i 为虚数单位, x∈R )是由瑞士著名数学家欧拉创立的; 该公式将指数函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数与指数函数的关联, 在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的 “天桥”. 依据欧拉公式,复数 exi3+i 的模长等于( )
A. 12 B. −12 C. 2 D. -2
6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名, 它是漓江发源地, 也是国家级自然保护区, 生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉。如图, 计划在猫儿山的两个山顶 M,N 间架设一条索道. 为测量 M,N 间的距离, 工作人员在同一水平面选取三个观测点 A,B,C ,在 A 处测得山顶 M,N 的仰角分别为 60∘ 和 30∘ ,测得两个山顶的高分别为 MC=5003m , NB=2502m ，且测得 ∠MAN=45∘ ，则 M ， N 间的距离为( )
A. 500m B. 2506 m C. 5003m D. 5002m
7. 在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 △ABC 的面积 S△ABC=3 ， S△ABC=34a2+c2−b2 ，则 AB⋅BC= ( )
A. 3 B. −3 C. 2 D. -2
8. 如图，在 △ABC 中， ∠BAC=π3 ， AD=2DB ， P 为 CD 上一点，且满足 AP=mAC+12AB ， 若 AC=3,AB=4 ，则 AP⋅CD 的值为( )
A. -3B. −1312C. 1312 D. 112
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 i 为虚数单位,在复平面内,复数 z=2i2+i ,以下说法正确的是( )
A. 复数 z 的共轭复数是 z=25−45i B. z=1
C. 复数 z 的虚部是 45i D. 复数 z 的共轭复数对应的点位于第四象限
10. 已知向量 a=3,sinθ,b=csθ,1,0≤θ≤π ,下列说法正确的是 ( )
A. 若 a⊥b ,则 tanθ=−3
B. 设函数 fθ=a⋅b ,则 fθ 的最大值为 2
C. a+b 的最大值为 22
D. 若 θ=π3 ，则 a 在 b 上的投影向量为 435b
11. 如图， OM//AB ，点 P 在由射线 OM 、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界) 运动,且 OP=xOA+yOB ,则下列对于 x、y 的取值可能正确的是( )
A. x=−12,y=2 B. x=−1,y=54
C. x=54,y=−12 D. x=−2,y=52
第II部分(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 a∈R ,且 ai+2a+i=1 ,则 a= _____.
13. 在 △ABC 中，已知 B=30∘ ， AB=23 ， AC=2 ，则 △ABC 的面积为_____.
14. 已知 O 为圆心，点 A 是圆 O 上一点，点 P 是圆 O 内部一点. 若 OA=2 ，且 OA⋅AP=−2 ， 则 OA+OP 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 已知复数 z=2−i ( i 为虚数单位).
(1)若 z⋅z0=2z+z0 ，求复数 z0 的共轭复数及 z0 ；
(2)若 z 是关于 x 的方程 x2−mx+n=0 的一个虚根，求实数 m ， n 的值.
16. (15分)如图，在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， ∠BAC=120∘ .
(1)若 a=13,sinB=3sinC ，求 b 和 c 的大小；
(2)若 b=2,a=7 ，求 sinC 和 c 的值.
17. (15 分) 如图,在等边 △ABC 中， AB=3 ，点 O 在边 BC 上，且 OC=2BO ，过点 O 的直线分别交射线 AB,AC 于不同的两点 M,N .

(1)设 AB=a,AC=b ，试用 a ， b 表示 AO ，并求 AO ；
(2)设 AB=mAM ， AC=nAN ，求 1m+1n 的最小值.
18. (17分)在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a=23 且 csC+csB−3sinBcsA=0 .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 b=22 ，求 △ABC 的面积；
(3)求 b−c 的取值范围.
19. (17 分)
设平面内两个非零向量 m,n 的夹角为 θ ,定义一种运算 “ ⊗ ” : m⊗n=mnsinθ . 试求解下列问题:
(1)已知向量 a,b 满足 a=2,1,b=2,a⋅b=4 ，求 a⊗b 的值；
(2)若 a=x1,y1,b=x2,y2 ，用坐标 x1,y1,x2,y2 表示 a⊗b ；
(3)在平面直角坐标系中，锐角三角形 △ABC 满足点 A0,0 ， B4,0 ， CcsA,sinB ， 且 AB⊗AC=2 ，求 △ABC 面积的范围.