【数学】浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库试题（学生版+解析版）

这是一份【数学】浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库试题（学生版+解析版），共2页。试卷主要包含了 等于， 已知，则的值为，2B， 若随机事件满足，则的值为， 已知函数， 已知随机变量的分布列为等内容，欢迎下载使用。
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由排列数公式可知．
2. 已知，则的值为（ ）
A. -1B. 0C. 2D. 3
【答案】B
【解析】已知，
根据赋值法，令可得．
3. 已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8
【答案】A
【解析】根据正态分布曲线可知图象关于对称，则．
4. 若随机事件满足，则的值为（ ）
A. 0.6B. 0.5C. 0.2D. 0.08
【答案】D
【解析】根据条件概率公式，可得．
5. 某班级寒假期间安排4名优秀团员到两个社区参加志愿者活动，社区要求至少2名志愿者，社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方案有（ ）
A. 40种B. 20种C. 10种D. 6种
【答案】C
【解析】由题意可得社区2名､社区2名或者社区3名､社区1名，
所以不同的分配方案数为10．
6. 已知数列的前项和为．若，则的值为（ ）
A. 1890B. 1980C. 2010D. 2100
【答案】A
【解析】因为，所以是等差数列，
所以，这是一个首项为5，末项为121，项数为30 的等差数列的和，
所以
．
7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左､右两支于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
在中，，
整理得，又，故，则，
在中，，
化简得，所以.
8. 已知函数（其中为自然对数的底数，）有2个极值点，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，所以直线与函数图象有两个交点．
因为，所以在递减，在递增，且．
函数大致的图象（如下图所示），结合图象可以判断过点与函数图象相切的直线有两条．
设切点，切线方程，即．
可知是方程的一个解，此时的切线方程为，因此符合题意，故选项错误，选项正确．
当时，由，可得在点,处的切线为，与轴交点在点的左边，
所以直线与图象没有交点，选项错误；
当时，由，可得在点处的切线方程为，与轴交点在点的左边，
所以直线与图象没有交点，选项错误．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量的分布列为
则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选项A：由分布列的性质，得，解得，所以，故A正确；
选项B：，故B错误；
选项C：，故C正确；
选项D：，故D错误．
10. 如图所示，正方体的棱长为2，点为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 点到平面的距离为
D. 平面与底面夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】以点为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则．
选项A:，因为，
所以，故A正确；
选项B:，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，则平面的一个法向量，
因为，所以与平面不平行，故B错误；
选项C：点到面的距离为，故C正确；
选项D：底面的法向量，所以平面与底面所成夹角的余弦值为，故D正确．
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A. 第6行从左到右第4个数是20
B. 第2026行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数
C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D. 210在杨辉三角中出现了6次
【答案】ACD
【解析】选项A，第6行第4个数为，故A正确；
选项B，第2026行共2027项，最大项为只有一项，为第1014个数，故B错误；
选项C，，
所以，故C正确；
选项D，设，由对称性只需考虑的情况．
对逐个代入验算，可得当时，成立；
当时，，因为，故没有其他组合数等于210，
综上210可以表示为共6个，故D正确．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解析】因为，则使得的可取.
13. 随着人工智能技术的快速兴起与广泛应用，AI工具已深度融入内容创作领域，极大提升了短视频的制作效率．一位UP主借助AI工具制作短视频，流程分为选题与文案､生成素材､配音配乐､剪辑包装四个步骤，各步骤可选工具如下表：
剪映不可单独使用（即若在配音配乐或剪辑包装中使用剪映，则两个阶段必须都使用剪映），每个阶段只能且必须选择1个工具．则不同的搭配方案共有______种．
【答案】40
【解析】使用剪映：种；不使用剪映：种；
共种．
故答案为：40
14. 甲乙两人各有一个牌盒，盒子中有点数为的三张扑克牌．现在两人随机抽取一张扑克牌比较大小，如果甲的点数大，则两张扑克牌都放入甲的牌盒中；如果乙的点数大，则两张扑克牌都放入乙的牌盒中；如果一样大，则各自放回自己的牌盒．每次放回牌盒后都重新洗牌，则2次比较大小后，甲的牌盒中只剩1张扑克牌的概率为______．
【答案】
【解析】由题意，两次比较都是乙的点数大，甲失去张牌是和，分两类：
①若第次甲抽到的是，则乙可以是或，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙抽到，故概率为；
②若第次甲抽到的是，则乙抽到了，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙可以抽到或，故概率为.
所以次比较大小后，甲的牌盒中只剩张扑克牌的概率为．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 从这6个数字中选取4个数字组成没有重复的四位数．
（1）若组成四位数的4个数字中没有“0”，这样的四位数共有多少个？
（2）若四位数是5的倍数，这样的四位数共有多少个？（结果用具体数字作答）
解：（1）从这5个数字中选取4个数字，组成没有重复的四位数有个．
（2）若个位数字为0，则有（个）；
若个位数字为5，则有（个）；
所以这样的四位数共有：（个）．
16. 某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品．
（1）求一位顾客获得纪念品的概率；
（2）若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望．
解：（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品．
，
，
．
（2）由已知可得：，
则．
所以的分布列为：
．
17. 已知．
（1）当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍，
①求的值；
②求展开式中系数最大的项；
（2）若时，在上恒成立，求的取值范围．
解：（1）①由已知得：，所以，
解得：．
②通项公式为，
设，设最大，
令所以
化简得，又，所以．
所以当时，系数最大项为．
（2）若时，，
则 ；
设，则恒成立；
，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
又时，，
所以，要想恒成立，需满足，
解得，结合，所以．
当时，，，
所以在单调递减，在单调递增，
故 ，
又，由，故．
综上．
18. 为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为．
（1）求的值；
（2）用表示，并求的通项公式；
（3）在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率．
解：（1）依题意，；，所以.
（2）依题意，当时，，，
则，即，而，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，，
所以的通项公式是.
（3）设事件：第5次球从甲传出；事件：第3次球从丙传出，
则事件表示：第5次球从甲传出且第3次球从丙传出，其路径为：丙→乙→甲，
，
所以.
19. 已知直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的两条切线，两条切线交于点；过点作直线的垂线，与椭圆交于两点（点在点上方）．
（1）证明：点在一条定直线上；
（2）记的面积分别为，求的最小值．
（1）证明：如图所示：
代入，得：，
设，则；
导函数为，所以在点处的切线方程为，
化简得，同理得，
所以两直线交点为，所以，
故点在定直线上．
（2）解：，
由（1）得，所以垂线，即，
代入椭圆，
得：，因为点在点上方，所以；
到直线的距离；
同理可得到直线的距离．
．
当，即时，．
，所以；
当时，，
所以，设，
设；
，所以在上单调递增；
所以，故，当且仅当，即时取到“”，
显然，所以的最小值为．
-1
0
1
步骤
可选AI工具
选题与文案
ChatGPT､豆包､Kimi､DeepSeek
生成素材
可灵AI､即梦AI
配音配乐
剪映､魔音工坊､讯飞配音
剪辑包装
剪映､Runway､PikaLabs