浙江省强基联盟2024-2025学年高二下学期4月期中数学试卷（解析版）

这是一份浙江省强基联盟2024-2025学年高二下学期4月期中数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了 关于x的方程的解集是， 已知随机变量，满足，且，则，3B， 下列求导错误的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在区间上的平均变化率是（ ）
A. 2B. 2xC. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C
2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为该椭圆的焦点在轴上，所以，解得，故选：B.
3. 已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得，
但是时，不一定是函数的一个极值点，
比如，，满足，
但在R上单调递增，
即不是函数的极值点，
故“”是“是函数一个极值点”的必要不充分条件，
故选：B
4. 关于x的方程的解集是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】，则x满足限制条件，
根据组合数性质得到 或，解得或3.
通过检验，发现或3都满足限制条件.
故选：A.
5. 有五名大学生参加为期两天的志愿者服务，每天安排两人参加服务，则恰有1人连续两天参加服务的种数为（ ）
A. 90B. 80C. 70D. 60
【答案】D
【解析】先选出连续两天参加服务的学生，有种情形，则只需从剩下4人中选出2人安排在2天，故共有.
故选：D.
6. 已知随机变量，满足，且，则（ ）
A. 0.3B. 0.5C. 0.1D. 0.2
【答案】C
【解析】由可得，
所以.
故选：C.
7. 已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，
当时，在上单调递增，的最小值为，不符题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，解得.
故选：A.
8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为的重心、内心.若轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】设点在第一象限，两焦点，，其中，.
则重心，即，因为轴，
则I点纵坐标也为，
即内切圆半径.
设，则，则，
解得，则中，边长最大，所以，
由勾股定理有，解得，
故离心率.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：ABC.
10. 设，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. ，，，…，中最大的是
D.
【答案】ABC
【解析】设，则，
二项式的展开式通式，由，选项A正确；
令，则，选项B正确；
因为，当时，系数为正，
所以系数最大的是，选项C正确；
令，则，令，
则，，选项D错误.
故选：ABC.
11. 数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正确答案，全部选到正确答案得6分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.若多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为.某学生对其中的一道题完全不会，记X为该学生只随机选择1个选项时的得分，记Y为该学生随机选择2个选项的得分，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 当时，则
D. 当时，该学生只随机选1个选项时得分表现更优
【答案】ABD
【解析】由条件可知，X的所有可能取值为0，2，3，
，，
，所以，
Y的所有可能取值为0，4，6，
，
，
，所以，
若，则，选项A正确；
若，，选项B正确；
无论p为何值，，选项C错误；
当时，，所以该学生只随机选1个选项时得分表现更优，选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设随机变量，若，则______.
【答案】4
【解析】由正态分布可知，故.
故答案为：4.
13. 如图所示，已知一质点从原点O出发，因外力作用每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过6次移动后，该质点位于X的位置，则______.
【答案】
【解析】由题意知，质点位于数轴上的位置X满足，则6次移动中需满足：1次向左5次向右、2次向左4次向右，
所以.
故答案为：.
14. 某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑,编辑新序列有两种,分别为,,若序列的所有项都是2，且，，则等于______.
【答案】
【解析】设.
由题意可知，数列是公比为2的等比数列，，所以.
所以
，所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球.
（1）求摸到两球编号均为奇数的概率；
（2）在摸到1号球的条件下，求两球编号的和为奇数的概率.
解：（1）设事件A：“摸到两球编号均为奇数”，
则.
（2）设事件B：“摸到1号球”，事件C：“摸到两球编号的和为奇数”，
则，
事件BC同时发生，即为摸到1、2号球或者1、4号球，
所以，
所以.
16. 已知是等差数列的前n项和，且，.
（1）求；
（2）若数列满足，求数列前n项和，并证明.
解：（1）设等差数列的公差为d，则由题意得：，
即，解得，
故，故.
（2），
所以
，
因为，
所以.
17. 如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，.
（1）若点Q为线段PE的中点，证明：平面PCD；
（2）若平面PAD，，求直线PD与平面PAB所成的角的正弦值.
解：（1）过点Q作交PD于点G，连接CG，
因为Q为PE中点，
所以G为PD中点，，
又因为，
所以，，
所以四边形BCGQ是平行四边形，
所以，
又因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD.
（2）因为平面PAD，平面PAD，
所以，
又因为，，
所以面ABCD，
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面PAB的一个法向量为，
所以令，，则，故，
设直线PD与平面PAB所成的角为，
，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
18. 已知函数，
（1）当时，
（ⅰ）求函数在处的切线方程；
（ⅱ）证明：函数有唯一极值点；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）当时，，
则在上单调递增，
（ⅰ）因为，，
所以函数在处的切线方程为，即.
（ⅱ）因为在上单调递增，
且，，
所以存在使得.
则时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
所以函数有唯一极值点.
（2）解法1：，且单调递增，
因为当无限趋向于0时，，当无限趋向于正无穷大时，，
所以存在，使得，
则时，，时，，
故在单调递减，在单调递增.
所以函数，
将代入上式，
则，
即，
因为单调递增，
所以，
所以，又在上单调递增，
所以.
解法2：因为恒成立，
即恒成立，
分离参数得，
设，，
设，单调递增且，
所以当时，；当时，
所以当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
所以，所以.
19. 对于给定的正整数，数列共有2n项，，用表示数列的前k项和，且.
（1）若数列满足对于任意的，均有，则称该数列是“数列”，其个数记为.
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）对于，求满足的“数列”的个数.
（2）当时，求的分布列及均值.
解：（1）（ⅰ）数列均为“数列”，
当时，数列有4项，且，即由2个1和2个组成，
所有不同的的排法，由4个位置如何安排2个1决定，共种，
显然这6种情况，都满足对于，2，3时的要求，因此；
当时，数列有6项，且，即由3个1和3个组成，
所有不同的的排法，由6个位置如何安排3个1决定，共种，
考虑到，2，3，4，5时的要求，前三项同时取1或者的情形不能满足，
所以.
（ⅱ）该数列是“”数列，要使得，则前4项必须取2项1和2项，
又，因此后4项也只能是2项1和2项，则共有种情形，
又前4项2项1和2项，已满足，而，后4项和为0，因此对自动满足，
因此时，对所有满足，
所以满足的“数列”的个数为36.
（2）当时，依题意，，
则X的可能取值为1，2，3，4，
数列的个数为，
当时，数列的每一对与只能一个为1，一个为，
即有2种可能，又共有4对，于是；
当时，由1与的对称性，以前2项中1的个数进行分类：
①2个1，则，若，则，剩下3项中有1项为1，则有种；
若，则后续无约束，则剩下4项中有2项为1有种，共种，
②，，
若，则，剩下3项中有1项为1，则有种；
若，，
则有，和，，有2种；
若，，
则有，和，，有2种；
若，，剩下3项中有1项为，
则有种，共种，
其余情形只需1与对调，则；
时，由1与的对称性，以前3项中的个数进行分类：
①0个，则前三项为1，，剩下4项中有1项为1，共种，
②1个，前三项取1项和2项1有种取法，
不妨设，，
而要使得，
则只能是，，有种，
其余情形只需1与对调，
则；
时，数列前4项必须同时取1或，只有这2种情况，
则，
所以X的分布列为：
数学期望.
X
1
2
3
4
P