2026年山东省淄博市淄川区九年级一模考试数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年山东省淄博市淄川区九年级一模考试数学试题（含解析）中考模拟，共10页。试卷主要包含了评分以答题卡上的答案为依据等内容，欢迎下载使用。
1．答题題前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改．不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 从实数，，0，，，中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ）
A. ，0B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】结合无理数和有理数的定义（无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称），负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，化简题干中每个数并判断类型，找出所有无理数，再对应选项，即可得到结果．
【详解】解：逐个化简判断各数的类型：
∵ ，是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
是无限不循环小数，属于无理数．
∴只有选项D中的两个数都是无理数．
2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3. 下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用合并同类项、平方差公式、同底数幂除法和积的乘方的运算法则，依次判断各选项即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C、，原式计算正确，不符合题意；
D、，原式计算正确，不符合题意；
4. 实验室的试管架上有三支没有标签的试管，试管内分别盛有氢氧化钠、盐酸、氢氧化钾三种溶液．小明同学将酚酞溶液随机滴入两个试管中，则试管中溶液同时变红的概率是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及试管中溶液同时变红的结果数(酚酞试剂遇到碱溶液会变成红色)，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：氢氧化钠、盐酸、氢氧化钾三种溶液分别表示为：、、，
列表如下：
、、溶液中，、是碱性溶液，酚酞试剂遇到碱溶液会变成红色
共有6种等可能的结果，其中试管中溶液同时变红的结果有：，，共2种，
∴试管中溶液同时变红的概率为．
5. 如图，上有两点M和N，若点N在圆上匀速运动一周，那么弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的（ ）
A. ①B. ③C. ①或③D. ②或④
【答案】C
【解析】
【分析】观察图像可知，N点的运动轨迹可以分为顺时针运动、逆时针运动两种情况，再结合运动过程中弦的长度变化进行分析，即可解题．
【详解】解：由图中可知：长度y是一开始就存在的，如果点N顺时针运动，那么长度y将逐渐变大；当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，则运动图象为①；
如果点N逆时针运动，那么长度y将逐渐变小；当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，则运动图象为③；
弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的①或③．
6. 新考法正多边形纸片的缺失如图，正n边形纸片被撕掉左边一部分后，发现其中两边，所在直线夹的锐角，则n的值为（ ）
A. 12B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，圆满周角定理，熟练掌握正多边形和圆的相关知识是解题的关键．
连接，，作正n边形的外接圆，，连接，，，， 先证明，从而由三角形内角和求得，由圆周角定理求得，从而可求得正n边形的中心角，即可求解．
【详解】解：连接，，作正n边形的外接圆，连接，，，，如图，
∵正n边形
∴，，
∴
∴，即，
∴
∴，即
∴
∵
∴
∴
∵正n边形的外接圆为，
∴
∴
∴
∴
故选：B．
7. 已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求解方程得到x关于a的表达式，再根据根的取值范围列出不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
【详解】解：

若时，方程化为，无解，故；
当时，
∵ 方程的根在和之间
∴
∴，
∵为正数，
∴
∴ ．
8. 已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将点代入反比例函数，求出，确定函数解析式．把点代入解析式，算出．根据在函数上，得，结合条件，列出不等式．然后分、两种情况解不等式即可解答．
【详解】解：∵点在上，
∴，
∴反比例函数为．
∵点在上，
∴，
∵点在上，
∴．
∵，
∴
即，
当时：不等式两边同乘，不等号方向不变，得，
∴；
当时：不等式两边同乘，不等号方向改变，得，
∴，该不等式恒成立，即都满足条件．
综上，的取值范围是或．
9. 如图，以为直径的半圆O与的两边，相交于点D，E．已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，推得，根据等边对等角可得，结合题意求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
10. 如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，证明，，得出，，证明，得出，证明，说明B、C、G、D四点共圆，求出外接圆的直径为2，即可得出答案．
【详解】解：延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B、C、G、D四点共圆，
∵为等边三角形，，，
∴，，
∴，
∴外接圆的直径为2，
∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2，
∴的最大值为2，
∵E是延长线上一点，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
二、填空题：本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行分解即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关进，注意分解一定要分解到各个因式不能分解为止．
12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到结论．
牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
13. 如图，在中，斜边的长为35，正方形内接于，且边长为12，则直角边__________．
【答案】
49
【解析】
【分析】设 ，，根据勾股定理得到的值，利用相似三角形对应边成比例得到与的关系，结合完全平方公式构建关于的一元二次方程求解．
【详解】设，.，
在中，由勾股定理得，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
由完全平方公式得，代入得，
设，则，
解得，，
∵，，
∴，舍去，
∴．
14. 观察表一，寻找规律，表二和表三分别是从表一中选取的一部分，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：首先要熟悉表（一）中，各行和各列中数字之间的规律：第一行是从0开始连续的整数．第二行是从1开始依次多2．第三行是从2开始依次多3．．各列的规律和对应各行的规律一致．
表（二）中，根据发现的规律，得，即．
表（三）中，，即．
．
15. 如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：如图，设直线与y轴交于G，过A作直线于H，轴于F，
∵轴，
∴，
∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，
∴，
在中，,，
即，
∵随的减小而增大，
∴当最小时有最大值，
即最小时，有最大值，即最大时，有最大值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，
即，
∴，
∵
∴当时，有最大值，
此时，，，
∴，，
∴的面积为．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的隐含条件求解，即可得到k的取值范围．
【详解】解：，
，
，
，
，
关于x的分式方程的解为负数，
，
解得
又，
即，
解得，
．
17. 如图，直线l与平行线m，n分别相交于点A，B，两组同旁内角的平分线分别相交于点E，F．试判断四边形的形状并加以证明．
【答案】四边形为矩形，证明见解析
【解析】
【分析】记直线m，n分别为直线，先结合平行线性质与判定，以及角平分线定义，证明四边形为平行四边形，再利用角平分线定义与角的和差推出，即可判断四边形的形状．
【详解】解：四边形为矩形，证明如下：
记直线m，n分别为直线，
，
，
平分，平分，
，
，
同理可证，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
四边形为矩形．
18. 综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度．
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图所示，要测量物体的高度，可以按下列步骤进行：
（1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角．
（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角．
（3）量出测倾器的高度，以及测点A和测点B之间的水平距离．根据测量数据，请求出物体的高度．
【答案】
【解析】
【分析】连接，延长交于点，由题易知，，设，结合解直角三角形的相关计算表示出，再结合建立等式求出，进而即可求出物体的高度．
【详解】解：连接，延长交于点，
，，
由题意知，，
设，
则，，
，
，
解得，
．
19. 某校为积极落实“双减”政策，组织学生参加多种社团活动，为了解学生参加社团情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人只选一类）．调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）．
（1）把条形图补充完整，并填写出扇形图中缺失的数据；
（2）如果该学校有500名学生，请你估计该学校中选择体育运动的学生约有多少名？
（3）现准备从选择音乐类的4人（两男两女）中随机抽取两名进行采访，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率．
【答案】（1）见解析 （2）200名
（3）
【解析】
【分析】（1）根据100%-32%-16%-12%得到选择参加体育社团的学生占比，再根据4÷16%得到总人数，而从得到选择参加其他社团的学生人数．
（2）由最喜欢体育运动的学生占40%，以及学校共有500名学生，可以求得．
（3）可设两男生、两女生分别为A1、A2和B1、B2，根据列表法或树状图法可以求得相关概率．
【小问1详解】
解：体育百分比：100%-32%-16%-12%=40% ，
其他人数：4÷16%×32%=8（人），
条形统计图与扇形统计图补全如下：
【小问2详解】
解：由（1）可知问卷中最喜欢体育运动的学生占40%，
得 （名），
答：该年级中最喜欢体育运动的学生约有200名．
【小问3详解】
解：记两男生、两女生分别为A1、A2和B1、B2，
用列表法表示如下：
所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，
其中一男一女的情况有8种，
∴P（一男一女）＝ ＝．
答：抽到一男一女学生的概率为．
本题考查了根据统计图整理数据以及运用列表法或树状图法求相关概率，充分理解题意并进行正确的计算是解题的关键．
20. 如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点轴，连接．
（1）当的面积最小时，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，将直线向上平移4个单位长度，得到直线l，直线l与反比例函数的图象交于点B；
①求直线l的函数解析式；
②直接求出在第一象限内时的x的取值范围．
【答案】（1）
（2）①②
【解析】
【分析】（1）根据的面积与反比例函数关系推出，再结合二次函数最值情况分析求解出点坐标，设函数的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）①设直线的解析式为，将（1）中点坐标代入解析式求解，即可得到直线的解析式，再结合函数平移规律求解，即可解题；
②联立解析式求解，再结合图象找出一次函数在反比例函数下方的部分，即可求出其x的取值范围．
熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值情况，函数的平移法则是关键．
【小问1详解】
解：点为反比例函数图象上的一个动点，
，
，
当时，的面积最小，
，
设函数的解析式为；
，
函数的解析式为；
【小问2详解】
解：①设直线的解析式为，
有，解得，
直线的解析式为，
直线向上平移4个单位长度，得到直线l，
直线l的函数解析式为；
②当时，解得，
在第一象限内时的x的取值范围为．
21. 情景与对话：
情景：小明和小亮同时出发，从甲地到乙地．
对话：小明说：我走完全程的一半时，小亮才走了16千米．
小亮说：我走完全程的一半时，小明已走了25千米．
问题与探索：
小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？
【答案】8
【解析】
【分析】设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为，根据两次行走的时间相等列出等式，求出全程长度，再计算小明走完全程时小亮走的路程，最终得到小亮未走完的路程．
【详解】解：设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为，
当小明走完全程一半时，两人所用时间相等，得，
整理得，
当小亮走完全程一半时，两人所用时间相等，得，
整理得，
∴，即，
∵，
∴，
全程长度为千米，
∴速度比，即，
小明走完全程的时间为，
这段时间内小亮走的路程为：（千米），
小亮未走完的路程为（千米）
答：小明走完全程时，小亮未走完的路程还有千米．
22. 如图，点O，I分别是（）的外心和内心，其中是外接圆的直径．连接并延长交外接圆于点D，连接，．
（1）测量并找出图中所有与相等的线段，并加以证明；
（2）若图中，，求的周长．
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，由三角形的内心性质得到，，然后利用圆周角定理得到，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（2）连接，过点作于点，于点，于点，根据内切圆的性质和角平分线性质得到，利用圆周角定理，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理求出，进而即可求的周长．
熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【小问1详解】
解：，证明如下：
连接，
I是的内心，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，过点作于点，于点，于点，
I是的内心，
，，，圆I是的内切圆，
∴，
是外接圆的直径，
，
，，
，，
，
的周长为．
23. 如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．
【答案】（1）；；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由见解析；（3）点P坐标为（－2，－3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B坐标，再结合点A、C坐标利用相似三角形的判定及性质可证得，延长AC 到点D，使 DC＝AC，过点D作DEy轴，垂足为点E，由此可得，进而可求得点D的横坐标为－1，最后根据抛物线的对称轴是直线即可判断出点B不在对称轴上；
（3）先利用待定系数法求出直线BC的函数表达式，然后过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，则点M坐标为，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，设点P 坐标为，则点N坐标为，根据相似三角形的判定及性质可得，由此可得答案．
【详解】解；（1）∵抛物线过A（1，0），C（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为 ．
设 AC 所在直线的表达式为，
∴，
解得，
∴AC 所在直线的表达式为；
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是∶
∵抛物线的表达式是，
∴令y＝0，则，
解得，，
∴点B坐标为（－4，0）．
，，
∴．
又
∴．
∴．
∴，
∴．
∴将△ABC沿 BC折叠，点 A 的对应点D一定在直线AC上．
如下图，延长AC 到点D，使 DC＝AC，过点D作DEy轴，垂足为点E．
又∵，
∴，
∴DE＝OA＝1，
∴点D的横坐标为－1，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点D不在抛物线的对称轴上；
（3）设过点 B，C的直线表达式为，
∵点C 坐标是（0，－2），点B 坐标是（－4，0），
∴过点 B，C的直线表达式为．
过点 A 作x 轴的垂线交BC的延长线于点M，
则点M坐标为，
如下图，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，
设点P 坐标为，则点N坐标为，
∴．
∵，
∴，
∵若分别以PQ，AQ为底计算△BPQ与△BAQ的面积，则△BPQ与△BAQ的面积的比为，
即．
∴，
∵，
∴当m＝－2时，的最大值为，
将m＝－2代入，得，
∴当取得最大值时，点P坐标为（－2，－3）．
本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像与性质及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
0
1
2
3
…
1
3
5
7
…
2
5
8
11
…
11
3
7
11
15
…
14
11
13
…
…
…
…
…
a
17
b
表一
表二
表三
A1
A2
B1
B2
A1
（A1，A2）
（A1，B1）
（A1，B2）
A2
（A2，A1）
（A2，B1）
（A2，B2）
B1
（B1，A1）
（B1，A2）
（B1，B2）
B2
（B2，A1）
（B2，A2）
（B2，B1）