江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题（含解析）

这是一份江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了作答非选择题时必须用黑色字迹0， 设，则， 的展开式中的系数是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 40B. 56C. 168D. 336
【答案】B
【解析】
【分析】运用组合数的公式进行求解即可.
【详解】，
故选：B
2. 从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ）
A. 70B. 80C. 90D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用排列计数问题列式得解.
【详解】依题意，不同选法种数是.
故选：C
3. 从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（ ）
A. 84B. 120C. 504D. 720
【答案】A
【解析】
【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序.
【详解】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故.
故选：A.
4. 设，则（ ）
A. 16B. 31C. 32D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】先代入特值求出系数和，再求出，二者作差即为所求.
【详解】当时，x+15=1+15=25=32=a0+a1+a2+a3+a4+a5，
当时，x+15=0+15=1=a0，
两式相减得a1+a2+a3+a4+a5=32−1=31 .
5. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设向量在基底下坐标为，用该基底表示出向量，再由在基底下坐标为，表示出向量，建立等式求出即可.
【详解】设向量在基底下坐标为，
则.
已知在基底下坐标为，
即.
所以，
即，
则：，
所以向量在基底下的坐标是，
故选：B.
6. 的展开式中的系数是（ ）
A. 90B. 100C. -40D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二项式定理写出右边因式展开式的通项，利用多项式乘法，可得答案.
【详解】由的展开式的通项为，
则的展开式中的系数是.
故选：D.
7. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A. 48B. 54C. 60D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故选：C.
8. 如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（ ）
A. 先增大再减小B. 减小C. 增大D. 先减小再增大
【答案】D
【解析】
【分析】先建系，分别求出平面与平面的法向量，再根据二面角余弦公式结合余弦函数单调性判断即可.
【详解】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系．
设所有棱长均为2，
则，，，
，设平面BDE法向量，
则，
令，则，
故．
又平面的法向量，
故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值，
又，故在上单调递增，上单调递减，
即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大．
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A.
B.
C. 与为相交直线或异面直线
D. 在向量上的投影向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.
【详解】因为平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则，即，则或，故A不正确；
又平面的一个法向量为，所以，即
，所以，故B正确；
由直线的方向向量为，所以不存在实数使得，故与为相交直线或异面直线，故C正确；
在向量上的投影向量为，故D不正确.
故选：BC.
10. 现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A. 没有空盒子的方法共有6种
B. 所有的放法共有21种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种
D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种
【答案】AD
【解析】
【分析】根据排列组合知识，结合每个选项的具体情况，即可求得答案.
【详解】对于A，没有空盒子即相当于3个编号为1，2，3的小球分别放入3个编号为1，2，3的盒子中的全排列，
故方法共有种，A正确；
对于B，所有的放法，即每个球都有3种放法，故共有（种）放法，B错误；
对于C，恰有1个盒子不放球，即有2个球放入一个盒子中，另一个球放入另一个盒子中，
那么先3个盒子选一个作为空盒，在把3个球选出2个绑在一起，在排列，
共有（种）放法，C错误；
对于D，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子，则只有以下2种情况：
即1号球放入2号盒子，2号球放入3号盒子，3号球放入1号盒子；
1号球放入3号盒子，3号球放入2号盒子，2号球放入1号盒子，D正确，
故选：AD
11. 如图，在正三棱柱中，，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ）
A. 存在点，使得
B. 若，，，不共面，则四面体的体积的最大值为
C. 直线与平面所成的最大角为
D. 若，则点的轨迹的长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于C选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可.
【详解】对于A选项，当点为中点时，
所以，故A正确；
对于C选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故C错误；
对于B选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远，
此时四面体的体积最大，以点为例，此时
VP−AB1C1=VA1−AB1C1=VA−A1B1C1=13S△AB1C1⋅|AA1|=13×12×2×2×32×1=36，故B正确；
对于D选项，若，如图，
在棱上取点，使，在棱上取点使，
在棱上取中点，则B1H=62，，
则点的轨迹由圆弧，，，构成，且其所在圆的半径依次为，
，，，圆心角依次为，，，，
圆弧，，，的长分别为，，，，故点的轨迹的长为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则实数______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据向量的共线，可得向量坐标之间的比例关系，列式计算，即得答案.
【详解】由题意知向量，，，
故，
故答案为：-1
13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】的展开式的通项为，取，计算得到答案.
【详解】的展开式的通项为，
则的系数为：
故答案为：
14. 如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据空间向量的运算求出以及，即可求得，进而求出，根据点E到直线的距离为，即可求得答案.
【详解】设，，
，
，则，
又，
则，
，
则，而，
，，
又E是的中点，故，
则点E到直线的距离为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求；
（2）求与的夹角；
（3）若与垂直，求实数的值.
【答案】（1）3 （2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长；
（2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角；
（3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量.
【小问1详解】
因为，，
所以，
.
【小问2详解】
，
，
，
所以与的夹角为；
【小问3详解】
，
，
因为与垂直，所以，
即，解得，
此时，与均为非零向量，
所以.
16. 某学校有4名男教师和3名女教师一起去培训，他们的座位在同一排且连在一起.求：
（1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种?
（2）3名女教师互不相邻的坐法有多少种?
【答案】（1）576 （2）1440
【解析】
【分析】（1）由捆绑法及分步乘法计数原理即可求解；
（2）由插空法及分步乘法计数原理，即可求解．
【小问1详解】
根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法，
将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法，
由分步乘法计数原理，共有种坐法.
【小问2详解】
根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法，
再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法，
由分步乘法计数原理，共有种坐法.
17. 如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设．
（1）用表示；
（2）求；
（3）求的长．
【答案】（1）
（2）-9 （3）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量加法的三角形法则，可将用基底表示；
（2）借助第一问的结论，根据向量的数量积运算法则求得；
（3）用基底表示，根据，并结合正四面体的性质，可以求得的长.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，由（1）知，
所以
.
【小问3详解】
.
18. 如图，在三棱锥中，平面，且为的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案；
（2）根据求出的长，求解两个平面的法向量，利用法向量垂直可求答案.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
因为，所以，所以两两垂直，
所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，因为为的中点，所以，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；
易知平面的一个法向量为，
二面角的大小为，易知为锐角，
，所以二面角的余弦值为.
【小问2详解】
由，则，
，解得，即.
因为，所以,且，
,
,
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，即.
,
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，即，
因为平面平面，所以，解得
19. 已知．
（1）当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；
（2）设．
①求的系数（用表示）：
②求（用表示）．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）借助组合数的计算公式计算即可得，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解；
（2）①结合二项式的展开式的通项公式与组合数的性质计算即可得解；②借助导数计算可得与错位相减法求和即可得解.
【小问1详解】
由题，所以，所以，所以，
由，即展开式中的系数为；
【小问2详解】
由题意得，，
①
；
②，对等式两边同时求导，
得，
即，
令，得，
即，
则，
则，
所以．