江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了作答非选择题时必须用黑色字迹0，6B，已知的展开式共有9项，则等内容，欢迎下载使用。

（总分150分 考试时间120分钟）
注意事项：
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择
题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1.求的值为（ ）
A.9B.18C.24D.30
2.已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（ ）
A.B.C.D.
3.已知随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A.0.6B.0.3C.0.2D.0.4
4.已知的展开式共有9项，则（ ）
A.6B.7C.8D.9
5.设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（ ）
A.1B.2C.D.
6.从装有4个红球，2个白球的袋子中，不放回地依次抽取两个小球，在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.用4种不同的颜色给如图所示的4块区域上色，要求相邻2块涂不同的颜色，问有（ ）种不同的涂法？
A.24B.48C.96D.120
8.如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（ ）
A.平面，且到平面的距离为
B.与平面不平行，且与平面所成角大于30°
C.与平面不平行，且与平面所成角小于30°
D.与平面不平行，且与平面所成角等于30°
二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
9.一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球（）”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ）
A.与不互斥B.
C.D.与相互独立
10.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）
A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法
B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有48种排法
C.5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法
D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法
11.在三棱锥中，已知，，点，分别是，的中点，则（ ）
A.
B.三棱锥的外接球的表面积为
C.异面直线，所成的角的余弦值是
D.三棱锥的体积为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.）
12.设离散型随机变量满足，则______.
13.设，则______.
14.在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为______.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；
（2）若向量与向量，共面，求实数的值.
16.（本小题满分15分）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数.
（1）若的所有项的二项式系数的和为64，求展开式的常数项；
（2）若展开式中第2项系数为12，求的展开式中的系数.
17.（本小题满分15分）（1）已知某中学召开会议，要求数学组的6名老师中至少有1人参加会议，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答）
（2）已知某中学需要选派6名老师去甲、乙、丙三所学校支教，每名老师只能去一所学校.若甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答）
18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，面面，，且，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，，
①直接写出，，的值；
②求与的关系式（），并求（）.
2023/2024学年度第二学期
联盟校期中考试高二年级数学试题参考答案
第Ⅰ卷
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12. 13.15 14.
四、解答题
15.【解析】（1）因为，所以.即
，因为，所以，即
（2）因为向量与向量，共面，所以设（，）.
因为，
所以
所以实数的值为.
16.【解析】（1）
，令得
即
（2），则，即，所以的系数为
17.【解析】（1）
（2）
18、【解析】（1）过作，垂足为，则，
以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为
，，
则，令，解得：.
因为，所以
又平面，所以平面.
（2）设平面的一个法向量为，
因为,，
所以，令，解得.
所以.
即平面与平面所成锐二面角的余弦值
（3）假设线段上存在一点，设，，.
因为，所以
则
因为平面的一个法向量
所以，
整理得：，
所以，因为，所以.
所以存在，且
19.【解析】（1）可能取值为2、3，
，
所以随机变量的分布列为：
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，，
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
即，，
所以，且
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以所以
即次传球后球在甲手中的概率是.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
B
D
C
A
C
B
C
D
9
10
11
AD
ACD
ABC
2
3