江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试卷含解析（word版）

这是一份江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试卷含解析（word版），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. C85= ( )
A. 40 B. 56 C. 168 D. 336
【答案】B
【详解】 C85=8!5!×8−5!=8×7×63×2×1=56 ,
故选: B
2. 从 10 名同学中, 选出正班长 1 人，副班长 1 人，不同的选法种数是 ( )
A. 100 B. 90 C. 80 D. 70
【答案】B
【详解】依题意,不同选法种数是 A102=90 .
故选: B
3. 从 1-9 这 9 个数字中任意取出 3 个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是( )
A. 84 B. 120 C. 504 D. 720
【答案】A
【分析】从 9 个数字中选择 3 个不同的数,只需选出,无需排序.
【详解】从 9 个数字中选择 3 个不同的数,无需再排序,故 C93=84 .
故选: A.
4. 设 x+15=a0+a1x+⋯+a5x5 ,则 a1+a2+a3+a4+a5= ( )
A. 16 B. 31 C. 32 D. 64
【答案】B
【分析】利用赋值法即可求解系数和.
【详解】令 x=0 得: 0+15=a0⇒a0=1 ,
令 x=1 得: 1+15=a0+a1+⋯+a5⇒a0+a1+⋯+a5=32 ,
所以 a1+a2+a3+a4+a5=32−1=31 .
5. 已知 {a,b,c} 是空间的一个基底, {a+b,a−b,c} 是空间的另一个基底,向量 p 在基底 a,b,c 下的坐标为 4,2,3 ,则向量 p 在基底 a+b,a−b,c 下的坐标是( )
A. 4,0,3 B. 1,2,3 C. 3,1,3 D. 2,1,3
【答案】C
【分析】设向量 p 在基底 a+b,a−b,c 下坐标为 x,y,z ,用该基底表示出向量 p ,再由 p 在基底 a,b,c 下坐标为 4,2,3 ,表示出向量 p ,建立等式求出 x,y,z 即可.
【详解】设向量 p 在基底 a+b,a−b,c 下坐标为 x,y,z ,
则 p=xa+b+ya−b+zc .
已知 p 在基底 a,b,c 下坐标为 4,2,3 ,即 pu=4a+2b+3c .
所以 xa+b+ya−b+zc=4a+2b+3c ,
即 x+ya+x−yb+zc=4a+2b+3c ,则: x+y=4x−y=2z=3⇒x=3y=1,z=3
所以向量 p 在基底 a+b,a−b,c 下的坐标是 3,1,3 ,
故选: C.
6. 2−x3x+25 的展开式中 x4 的系数是( )
A. -40 B. 100 C. -60 D. 90
【答案】C
【详解】由 x+25 的展开式的通项为 Tr+1=C5rx5−r2r ,
则 2−x3x+25 的展开式中 x4 的系数是 2×C51⋅21+−1×C54⋅24=−60 .
故选: C.
7. 某校有 5 名大学生打算前往观看冰球, 速滑, 花滑三场比赛, 每场比赛至少有 1 名学生且至多 2 名学生前往, 则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有 ( )
A. 48 B. 60 C. 54 D. 72
【答案】B
【分析】先分组, 再考虑甲的特殊情况.
【详解】将 5 名大学生分为 1-2-2 三组, 即第一组 1 个人, 第二组 2 个人, 第三组 2 个人, 共有 C52•C32•C11A22=15 种方法;
由于甲不去看冰球比赛, 故甲所在的组只有 2 种选择, 剩下的 2 组任意选,
所以由 2A22=4 种方法;
按照分步乘法原理,其有 4×15=60 种方法;
故选: B.
8. 如图,三棱柱 ABC−A1B1C1 满足棱长都相等且 AA1⊥ 平面 ABC,D 是棱 CC1 的中点， E 是棱 AA1 上的动点. 设 AE=x ，随着 x 增大，平面 BDE 与平面 ABC 的夹角是( )
A. 增大 B. 减小 C. 先减小再增大 D. 先增大再减小
【答案】C
【详解】以 AC 中点 O 为坐标原点, OB,OC 分别为 x,y 轴,建立空间直角坐标系. 设所有棱长均为 2 ,

则 x∈0,2,B3,0,0,D0,1,1,E0,−1,x,DB=3,−1,−1 ,
DE=0,−2,x−1 ,设平面 BDE 法向量,
则 n⋅DB=0n⋅DE=0⇒3a=b+c−2b+cx−1=0,n=a,b,c
令 c=23 ,则 a=x+1b=3x−1,c=23 故 n=x+1,3x−1,23 .
又平面 ABC 的法向量 m=0,0,1 ,
故平面 BDE 与底面 ABC 所成锐二面角的平面角 θ 的余弦值
csθ=m⋅nmn=23x+12+3x−12+12=3x2−x+4=3x−122+154,
又 x∈0,2 ,故 csθ 在 x∈0,12 上单调递增, x∈12,2 单调减,
即 csθ 随着 x 增大先增大后减小,且 y=csθ 在 θ∈0,π2 单调递减,所以 θ 随着 x 增大先减小后增大.
故选: C.
二、多选题
9. 已知平面 α 的一个法向量为 n1=1,−2,−12 ,平面 β 的一个法向量为 n2=−1,0,−2 ,直线 l 的方向向量为 a=1,0,2 ,直线 m 的方向向量为 b=0,1,−2 ,则()
A. l//α
B. α⊥β
C. l 与 m 为相交直线或异面直线
D. a 在 b 向量上的投影向量为 0,−45,85
【答案】BCD
【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.
【详解】因为平面 α 的一个法向量为 n1=1,−2,−12 ,直线 l 的方向向量为 a=1,0,2 ,则
n1⋅a=1+0−1=0 ,即 n1⊥a ,则 l//α 或 l⊂α ,故 A 不正确;
又平面 β 的一个法向量为 n2=−1,0,−2 ,所以 n1⋅n2=−1+0+1=0 ,即 n1⊥n2
,所以 α⊥β ,故 B 正确;
由直线 m 的方向向量为 b=0,1,−2 ,所以不存在实数 λ 使得 a=λb ,故 l 与 m 为相交直线或异面直线, 故 C 正确;
a 在 b 向量上的投影向量为 a⋅bb⋅bb=0+0−45⋅0,1,−25=−450,1,−2=0,−45,85 ,故 D 正确.
故选: BCD.
10. 现有 3 个编号为 1, 2, 3 的盒子和 3 个编号为 1, 2, 3 的小球, 要求把 3 个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有 6 种
B. 所有的放法共有 21 种
C. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有 2 种
D. 恰有 1 个盒子不放球的方法共有 9 种
【答案】AC
【分析】根据排列组合知识, 结合每个选项的具体情况, 即可求得答案.
【详解】对于 A，没有空盒子即相当于 3 个编号为 1,2,3 的小球分别放入 3 个编号为 1, 2,3 的盒子中的全排列,
故方法共有 A33=6 种, A 正确;
对于 B ,所有的放法,即每个球都有 3 种放法,故共有 33=27 (种) 放法, B 错误;
对于 C ,没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子,则只有以下 2 种情况:
即 1 号球放入 2 号盒子，2 号球放入 3 号盒子，3 号球放入 1 号盒子；
1 号球放入 3 号盒子, 3 号球放入 2 号盒子, 2 号球放入 1 号盒子, C 正确,
对于 D ,恰有 1 个盒子不放球,即有 2 个球放入一个盒子中,另一个球放入另一个盒子中, 那么先 3 个盒子选一个作为空盒, 在把 3 个球选出 2 个绑在一起, 在排列,
共有 C31C32 A22=18 (种) 放法, D 错误;
故选: AC
11. 如图,在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AB=2,BB1=1 ,点 P 为正三棱柱表面上异于点 B1 的点,则( )
A. 存在点 P ,使得 PB1⊥BC1
B. 若 P,A,B1,C1 不共面,则四面体 PAB1C1 的体积的最大值为 36
C. 直线 PB1 与平面 BB1C1C 所成的最大角为 45∘
D. 若 PB1=2 ,则点 P 的轨迹的长为 32+13π
【答案】ABD
【详解】对于 A 选项,当点 P 为 BC 中点时,
PB1⋅BC1=12CB+BB1⋅BC+CC1=−12BC+BB1⋅BC+BB1=−1+0+0+1=0 所以
PB1⊥BC1 ,故 A 正确;
对于 C 选项,当点 P 位于点 A1 时, ∠A1B1C1=60∘ 为直线 PB1 与平面 BB1C1C 所成角,故 C 错误;
对于 B 选项,当点 P 位于点 A1 (或棱 BC 上) 时,点 P 到平面 AB1C1 的距离最远,
此时四面体 PAB1C1 的体积最大,以点 A1 为例,此时
VP−AB1C1=VA1−AB1C1=VA−A1B1C1=13S□A1B1C1⋅AA1=13⋅12⋅2⋅2⋅32⋅1=36 ，故 B 正确；
对于 D 选项,若 PB1=2 ,如图,
在棱 BC 上取点 D ,使 BD=1 ,在棱 AB 上取点 E 使 BE=1 ,
在棱 A1C1 上取中点 H ,则 BH=62,2−622=22 ,
则点 P 的轨迹由圆弧 A1E,C1D,DE,A1C1 构成，且其所在圆的半径依次为 A1B1=2 ，
B1C1=2,BD=1,HC1=22 ,圆心角依次为 45∘,45∘,60∘,180∘ ,
圆弧 A1E,C1D,DE,A1C1 的长分别为 2π4,2π4,π3,2π2 ，故点 P 的轨迹的长为 32+13π ， 故选: ABD.
三、填空题
12. 已知向量 a=1,−2,3,b=λ−1,3−λ,−6 ，若 a//b ，则实数 λ= _____.
【答案】 -1
【分析】根据向量的共线, 可得向量坐标之间的比例关系, 列式计算, 即得答案.
【详解】由题意知向量 a=1,−2,3,b=λ−1,3−λ,−6,a//b ,
故 λ−11=3−λ−2=−63,∴λ=−1 ,
故答案为: -1
13. 1−x2+1−x3+⋯+1−x6 的展开式中 x2 的系数为_____. (用数字作答)
【答案】35
【分析】 1−xn 的展开式的通项为 Tr+1=Cnr−xr=Cnr−1r⋅xr ,取 r=2 ,计算得到答案.
【详解】 1−xn 的展开式的通项为 Tr+1=Cnr−xr=Cnr−1r⋅xr ,
则 x2 的系数为:
C22−12+C32−12+C42−12+C52−12+C62−12=1+3+6+10+15=35
故答案为: 35
14. 如图,在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=AD=AA1=1 , ∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60∘ ， E 为 CC1 的中点，则点 E 到直线 AC1 的距离为_____.
【答案】 36/163
【分析】根据空间向量的运算求出 AC1⋅CC1 以及 AC1 ,即可求得 csAC1,CC1 ,进而求出 sin∠AC1C ,根据点 E 到直线 AC1 的距离为 EC1sin∠AC1C ,即可求得答案.
【详解】设 AB=a,AD=b,AA1=c,∵AB=AD=AA1=1,∴a=b=c=1 ,
∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60∘,
∴⟨a,b⟩=⟨a,c⟩=⟨b,c⟩=60∘ ,则 a⋅b=a⋅c=b⋅c=1×1×12=12 ,
又 AC1=AB+AD+AA1=a+b+c ,
则 AC1⋅CC1=a+b+c⋅c=a⋅c+b⋅c+c2=12+12+1=2 ,
AC1=a+b+c2=a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c
=1+1+1+1+1+1+1=6 ,
则 csAC1,CC1=AC1⋅CC1AC1CC1=26×1=63 ,而 ∠AC1C=AC1,CC1 ,
∵∠AC1C∈0,π2, ∴sin∠AC1C=1−cs2AC1,CC1=1−69=33 ,
又 E 是 CC1 的中点,故 EC1=12 ,
则点 E 到直线 AC1 的距离为 EC1sin∠AC1C=12×33=36 ,
故答案为: 36
四、解答题
15. 已知向量 a=−1,0,1,b=1,−2,0 .
(1)求 a−b ；
(2)求 a 与 a−b 的夹角；
(3)若 2a+b 与 a−xb 垂直,求实数 x 的值.
【答案】(1)√5
(2) π4
(3)1
【详解】(1)因为 a=−1,0,1,b=1,−2,0 ,
所以 a−b=−1−1,0+2,1−0=−2,2,1 ,
a−b=−22+22+12=3 . .3分
(2)所以 a⋅a−b=−1×−2+0×2+1×1=3 ,
a=−12+02+12=2,a−b=−22+22+12=3, .2分
设 a 与 a−b 的夹角为 θ ,
则 csθ=a⋅a−ba⋅a−b=32×3=22 , .4分
又 θ∈0,π ,得 θ=π4 ;
(3)因为 a=−1,0,1,b=1,−2,0 ，
所以 2a+b=−1,−2,2,a−tb=−1−t,2t,1 , ..2分
因为 2a+b 与 a−tb 垂直,所以 2a+ba−tb=0 ,
故 −1×−1−t+−2×2t+2×1=0 ,解得 x=1 .13分
16. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于 2023 年 11 月 24 日上映, 某学校政治组有 4 名男教师和 3 名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起. 求:
(1)4 名男教师必须坐在一起的坐法有多少种?
(2)3 名女教师互不相邻的坐法有多少种?
【答案】(1)576
(2)1440
【分析】(1)由捆绑法及分步乘法计数原理即可求解;
(2)由插空法及分步乘法计数原理, 即可求解.
【详解】( 1 )根据题意，先将 4 名男教师排在一起，有 A44=24 种坐法，
将排好的男教师视为一个整体,与 3 名女教师进行排列,共有 A44=24 种坐法, .5 分
由分步乘法计数原理,共有 24×24=576 种坐法. .7分
(2)根据题意，先将 4 名男教师排好，有 A44=24 种坐法， .11分
再在这 4 名男教师之间及两头的 5 个空位中插入 3 名女教师,有 A53=60 种坐法,
由分步乘法计数原理,共有 60×24=1440 种坐法. .15分
17. 如图,在正四面体 O−ABC 中, OA=6,M 为棱 OA 的中点, N 为棱 BC (靠近 C 点) 的三等分点,设 OA=a,OB=b,OC=c .
(1)用 a,b,c 表示 AN ；
(2)求 OM⋅AN ；
(3)求 MN 的长.
【答案】(1)−a+13b+23c
(2)-9
(3) 19
【分析】(1)根据空间向量加法的三角形法则,可将 AN 用基底表示;
(2)借助第一问的结论，根据向量的数量积运算法则求得 OM⋅AN ；
(3)用基底表示 MN ，根据 MN2=MN2 ，并结合正四面体的性质，可以求得 MN 的长.
【详解】( 1 ) AN=AO+ON=−a+OB+BN=−a+OB+23BC
=−a+OB+23BO+OC=−a+b−23b+23c=−a+13b+23c .5分
(2)因为 OM=12OA=12a ，由(1)知 AN=−a+13b+23c ，
所以 OM⋅AN=12a⋅−a+13b+23c=−12a2+16a⋅b+13a⋅c
=−12×36+16×6×6×12+13×6×6×12=−18+3+6=−9 .10分
(3) MN=ON−OM=OB+23BC−12a=b+23c−b−12a
=−12a+13b+23c .12分
∴MN=−12a+13b+23c2
=14a2+19b2+49c2+2⋅−12⋅13a⋅b+2⋅−12⋅23a⋅c+2⋅13⋅23b⋅c
=14×36+19×36+49×36−6−12+8=19 .15分
18. 如图，在三棱锥 P−ABD 中， PA⊥ 平面 ABD,∠BAC=90∘,AB=AC=1 ，且 C 为 BD 的中点.
(1)求二面角 C−AP−D 的余弦值；
(2)若 ∠PCB=60∘ ，在线段 PB,PC 上各取一点 E,F ，设 PEPB=PFPC=λλ∈0,1 ，若平面 AEF⊥ 平面 PBC ,求 λ 的值.
【答案】(1) 255
(2) λ=23
【分析】(1)建立坐标系, 求出平面的法向量, 利用向量夹角公式可求答案;
(2)根据 ∠PCB=60∘ 求出 AP 的长，求解两个平面的法向量，利用法向量垂直可求答案.
【详解】(1)因为 PA⊥ 平面 ABD,AB,AC⊂ 平面 ABD ,所以 PA⊥AB,PA⊥AC ,
因为 ∠BAC=90∘ ，所以 AB⊥AC ，所以 AB,AC,AP 两两垂直，
所以以 A 为坐标原点， AB,AC,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0 ,因为 C 为 BD 的中点,所以 D−1,2,0 ,
设 AP=a ,则 AB=1,0,0,AD=−1,2,0,AP=0,0,a ,
设平面 APD 的一个法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅AD=−x+2y=0n⋅AP=az=0 ,令 y=1 ,可得 n=2,1,0 ; .2分
易知平面 APC 的一个法向量为 AB=1,0,0 , ..3分
二面角 C−AP−D 的大小为 θ ,易知 θ 为锐角,
csθ=AB⋅nABn=25=255 ,所以二面角 C−AP−D 的余弦值为 255 .7分
(2)由 ∠PCB=60∘ ，则 CB=1,−1,0,CP=0,−1,a ，
cs∠PCB=CB⋅CPCB⋅CP=12⋅1+a2=cs60∘=12 ，解得 a=1 ，即 P0,0,1……2分
因为 PEPB=PFPC=λλ∈0,1 ,所以 PE=λPB ,且 EF//BC ,
AE=AP+PE=AP+λPB=0,0,1+λ1,0,−1=λ,0,1−λ,
EF=λBC=−λ,λ,0,
设平面 AEF 的一个法向量为 m=x,y,z ,则 m⋅AE=λx+1−λz=0m⋅EF=−λx+λy=0 ,
令 x=1 ,可得 y=1,z=λλ−1 ,即 m=1,1,λλ−1 .3分
PB=1,0,−1,BC=−1,1,0,
设平面 PBC 的一个法向量为 k=x0,y0,z0 ,则 k⋅PB=x0−z0=0k⋅BC=−x0+y0=0 ,
令 x0=1 ,可得 y0=1,z0=1 ,即 k=1,1,1 ,
因为平面 AEF⊥ 平面 PBC ,所以 m⋅k=2+λλ−1=0 ,解得 λ=23 .17分
19. 已知 An=1+xnn∈N∗ .
(1)当 n≥7 时，若 An 的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，求展开式中 x3 的系数； (2) 设 i=1nAi=j=0najxj .
① 求 x2 的系数 (用 n 表示):
② 求 j=1njaj (用 n 表示).
【答案】(1)84
(2)① Cn+13 ；② j=1njaj=n−1×2n+1
【分析】(1) 借助组合数的计算公式计算即可得 n ,结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解;
(2)①结合二项式的展开式的通项公式与组合数的性质计算即可得解; ②借助导数计算可得 j=1njaj=1+2×2+3×22+4×23+⋯+n×2n−1 与错位相减法求和即可得解.
【详解】(1)由题 Cn2=Cn7 ，所以 n=9 ， .2 所以 A9=1+x9 ,所以 Tr+1=C9rxr , .2 分
由 C93=84 ,即展开式中 x3 的系数为 84 ; .5分
(2)由题意得， 1+x1+1+x2+⋯+1+xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn ， .7分
① a2=C22+C32+C42+⋯+Cn2=C33+C32+C42+⋯+Cn2
=C43+C42+⋯+Cn2=⋯=Cn3+Cn2=Cn+13; .10分
② j=1njaj=a1+2a2+3a3+⋯+nan ，对等式两边同时求导，
得 1+x1+1+x2+⋯+1+xn′=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn′ , ..2分
即 1+21+x+31+x2+⋯+n1+xn−1=a1+2a2x+3a3x2+⋯+nanxn−1 ,
令 x=1 ,得 1+2×2+3×22+4×23+⋯+n×2n−1=a1+2a2+3a3+…+nan , .2分
即 j=1njaj=1+2×2+3×22+4×23+⋯+n×2n−1 ,
则 2j=1njaj=2+2×22+3×23+4×24+⋯+n×2n ,
则 −j=1njaj=1+2+22+23+⋯+2n−1−n×2n=1−2n1−2−n×2n=1−n×2n−1 , .2分
所以 j=1njaj=n−1×2n+1 . .17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
B
C
C
B
C
BCD
AC
题号
11
答案
ABD