江苏徐州市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题（含解析）

这是一份江苏徐州市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了 已知，若，则的值为， 设，且．则，1B， 且的展开式中的系数为等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，若，则的值为（ ）
A. B. C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，
因为，可得，解得.
故选：D.
2. 设，且．则（ ）
A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】因为，所以，
所以
3. 如图，在空间四边形中，，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】在空间四边形中，，
则12AB⃗+BC⃗+23CD⃗=EB⃗+BC⃗+CF⃗=EC⃗+CF⃗=EF⃗.
4. 设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A. 5B. 10C. 12D. 15
【答案】A
【解析】
【详解】，
所以
5. 随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件设出事件，并根据全概率公式，贝叶斯概率公式，即可求解.
【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误，
，，，，
所有，
.
故选：C
6. 且的展开式中的系数为（ ）
A. 165B. 210C. 252D. 330
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比数列求和，再利用二项式定理求出项的系数即可.
【详解】由，得，
所以展开式中的系数即为展开式中的系数.
7. 把编号为的4个小球放入编号为的4个盒子中，每个盒子内放一个球，盒子的编号与所放入球的编号不相同，共有多少种不同的放法（ ）
A. 24B. 12C. 9D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式计算.
【详解】第一步：放编号为1的盒子，有种放法，记1号盒子放的是号球，
第二步：放编号为的盒子，有种放法，
第三步：放余下的两个盒子，只有1种放法，
由分步乘法计数原理得不同放法种数为.
8. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式求解.
【详解】依题意，事件发生是的事件发生或的事件发生，
，，
所以
.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有120种不同的排法
B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法
C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法
D. 当2名教师不排在两端时，共有36种不同的排法
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用全排列问题列式计算判断A；利用相邻问题捆绑法列式计算判断B；利用不相邻问题插空法列式计算判断C；利用特殊元素法列式计算判断D.
【详解】对于A，共有种不同的排法，A正确；
对于B，当2名教师相邻时，共有种不同的排法，B错误；
对于C，当2名教师不相邻时，共有种不同的排法，C正确；
对于D，当2名教师不排在两端时，共有种不同的排法，D正确.
10. 在三棱锥中，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 向量与夹角的余弦值为
C. 向量是平面的一个法向量
D. 与平面所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用两点间距离公式计算判断A；利用向量夹角公式计算判断B；利用法向量的意义，结合数量积的坐标表示判断C；利用线面角的向量法计算判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，向量，则，B错误；
对于C，由，得向量是平面的一个法向量，C正确；
对于D，，则与平面所成角的正弦值为，
所以与平面所成角的余弦值为，D错误.
11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得.
【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确；
对于B，，，，，
则，B正确；
对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的.
严格计算：，，，C错误；
对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数，
于是，则，则，于是，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，那么________；
【答案】
【解析】
【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去）
故答案为：
13. 袋中装有除颜色外大小相同的4个红球和3个白球．现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取出的球是白球为止．设随机变量为取球的次数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，确定的事件，再结合排列计数问题求出古典概率.
【详解】依题意，的事件是前两次都取红球，第三次取出白球，
所以.
14. 已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定信息求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，然后利用线面角的向量法求解.
【详解】依题意，平面与平面的法向量分别为，
设直线的方向向量，由直线是平面与平面的交线，
则，取，得，而平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且．
（1）求证：四点共面；
（2）求的长度．
【答案】（1）证明见解析；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）取空间的一个基底，利用空间向量的线性运算及向量共线推理得证.
（2）由（1）中基底表示，再利用空间向量数量积及运算律求解.
【小问1详解】
在平行六面体中，令，则是空间的一个基底，
由，得，，
因此，而点直线，则，所以四点共面.
【小问2详解】
依题意，，
而，
则，
因此，
所以的长度为6.
16. 已知在的展开式中，第项的二项式系数依次成等差数列．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）从展开式中选出3项，含有理项的选法有多少种？
【答案】（1），
（2）36
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出求出，再求出二项式展开式的通项公式，进而求出二项式系数最大的项.
（2）由（1）的信息，求出展开式的有理项的项数，再利用排除法列式求解.
【小问1详解】
依题意，，则，
整理得，而，解得，
的展开式的通项为，
因此二项式系数最大的项为第4项和第5项，
所以展开式中二项式系数最大的项为，.
【小问2详解】
当且仅当，是有理项，则，展开式中有2个有理项，
而展开式共8项，所以选出3项，含有理项的选法有种.
17. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响．
（1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率；
（2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望.
【小问1详解】
设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，
因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以，
已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，
所以，，，
所以，
所以该同学投篮命中的概率为；
【小问2详解】
由题意可知，得分的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以，
所以，该同学得分的数学期望为.
18. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记次传球后球在甲手中的概率为．
（1）求；
（2）求；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记次传球后，球传回甲手中的总次数为，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解，利用全概率公式求解；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；
（3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解.
【小问1详解】
第1次由甲将球传出，第次传球后球在甲手中的概率为．
所以第次传球后，球在甲手中有两种情况：
第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为；
第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为；
所以；
第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中，
所以.
【小问2详解】
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
设次传球后球在甲手中的概率为，，
若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中，
那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生，
则有，，必有，即，
即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
【小问3详解】
设随机变量，
所以，，，
由（2）得，
则.
19. 如图，在梯形中，，于．现将沿翻折到的位置，
（1）当平面平面时．
①求异面直线与所成角的余弦值；
②求三棱锥的外接球的半径；
（2）求点到平面的最大距离．
【答案】（1）①证明见解析；②3；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）①利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质证得即可；②确定球心位置，进而求出球半径.
（2）设，利用余弦定理、三角形面积公式及等体积法求得点到平面的距离关于的函数，再换元并利用导数求出最大值.
【小问1详解】
①由，得，而平面平面，平面平面，平面，
则平面，连接，在Rt中，，
在Rt中，，于是，
由，得，则，
由平面平面，得，
又平面，因此平面，又平面，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为0.
②在平面内作的垂直平分线，交于，连接，
由，得，由，得 ，
而，则，因此三棱锥的外接球球心为，半径为3.
【小问2详解】
依题意，，是二面角的平面角，令，
则点到平面的距离，，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
则，
，
令点到平面的距离为，由，得，
即，解得，
，设，由，得，
则，令函数，
求导得，当时，；
当时，，函数在上递增，在上递减，
因此，即的最大值为1，，
所以点到平面的最大距离为1.