江苏省徐州市2025-2026学年高二上学期期中考试 数学 试题word版含解析

这是一份江苏省徐州市2025-2026学年高二上学期期中考试 数学 试题word版含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．抛物线的焦点是（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（ ）
A．B．2C．D．
5．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ）
A．B．C．D．
6．过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（ ）．
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
8．已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
9．已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C为椭圆
B．若，则曲线C为双曲线
C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1
10．已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线与圆的轨迹一定相交
B．直线与圆交于两点，则的最大值为
C．圆上点到直线距离的最大值为
D．当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1.
11．已知点，曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线上存在点，使得
B．直线与曲线没有交点
C．若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是
D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则
三、填空题
12．若直线与垂直，则 .
13．焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为 ．
14．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．
16．（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程；
（2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程．
17．已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.
18．已知点，双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直.
(1)求双曲线的离心率；
(2)设点在双曲线上，且，求点到轴的距离；
(3)过且斜率为的直线与双曲线交于两点，求线段的长度.
19．如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为．
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．
参考答案
1．D
【详解】的焦点是,
故选：D
2．A
【详解】解：直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以
故选：A
3．C
【详解】
如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为
答案选：C
4．C
【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线两条渐近线的夹角为60°，，
所以，即，
所以，即，即，
所以，则.
故选：C.
5．D
【详解】令，解得，则直线过定点，
有，，如图所示：
则的倾斜角范围为.
故选：D.
6．D
【详解】设圆的方程为，
则
，，，
∴，
令，可得，
，
．
故选：D．
7．A
【详解】对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
因为，所以，已知，，则中点坐标为.
，所以半径.
则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为，
已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为.
的最大值为圆心加上两圆半径，即.
由于轨迹不包含点，故不存在最小值.
故选：A．
8．B
【详解】设直线，，，

由，得，
由，解得或，
则，，
依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，，
设直线与的斜率分别为，因为，，
所以．
又，，
所以
，
又，，即，
则，所以.
故选：B
9．BCD
【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确；
对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确；
对于C选项，当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，C正确；
对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，
且双曲线的离心率，故D正确.
故选：BCD.
10．AD
【详解】圆：，圆心，半径，
直线过定点，，
对选项A：，点在圆内，故直线与圆一定相交，正确；
对选项B：当过圆心时，最大为，错误；
对选项C：圆上点到直线距离的最大值为，错误；
对选项D：直线：，圆心在直线上，，
故圆上存在四个点到直线的距离为1，正确；
故选：AD
11．BC
【详解】当，时，曲线，即；
当，时，曲线，即不存在；
当，时，曲线，即；
当，时，曲线，即，
画出图形如图所示：
对于A：满足条件的曲线是双曲线的下支，
该双曲线的下支与曲线是没有交点的，
所以不存在曲线上的点，使得成立，故A错误；
对于B：一三象限曲线的渐近线方程为，
则直线与曲线没有交点，故B正确；
对于C：设过点的直线，三个交点，显然.
联立；
联立；
直线与曲线有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围是，C正确；
对于D：设，由点到直线距离公式得：，，
所以.
因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有，
所以，故D错误，
故选:BC.
12．
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
13．
【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为，
由题意，有，解得，
所以椭圆的标准方程为，
故答案为：.
14．/
【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点，
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义可得，
，所以，，
，在△中，，
由余弦定理得，
化简得，即．
所以，从而，
当且仅当，且，即，时等号成立．
故答案为：
15．和
【详解】解：联立方程组，解得.
所以平行四边形的顶点.
设，由题意知点是线段的中点，
所以，
解得，所以.
由已知，得直线的斜率，因为与平行，
所以直线的方程为，即
由已知，得直线的斜率，因为与平行，
所以直线的方程为，即
故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和
16．（1）；（2）
【详解】（1）因为到其焦点的距离为5，根据定义，到准线距离也为5，
抛物线的准线方程为，
故 ，则抛物线方程为．
（2）由题意设双曲线方程为，
因为双曲线经过点，所以，故，
所以双曲线标准方程为，
即．
17．(1)
(2)或
【详解】（1）由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意.
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则.
由题意，，
即，解得.
故直线的方程为：或.
法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意.
②设直线方程为，
联立，得，，
设，则，
由，得，
即，解得.
故直线的方程为或.
18．(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）双曲线的左顶点为，故，
则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，则，
故双曲线方程为，其离心率为；
（2）由（1）得，
∵，∴，设，
则在中，有，
又由双曲线的定义，可得，
解得，则，
又，解得，
∴M点到x轴的距离为；
（3）因，则过且斜率为的直线的方程为，
与双曲线方程联立消元，可得，
设，则，
由弦长公式，=.
所以DE的长度为.
19．(1)
(2)；
【详解】（1）由题意可知，，
由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆，
且长轴长，焦距，
所以，
因此曲线C方程为.
（2）（ⅰ）设，，，
由题可知，，如下图所示，
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值；
（ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行，
设直线PQ的方程为，，，知，
由，得，
，得
所以
由（i）可知，，
即，
将代入化简得，化简得解得舍或，
所以直线PQ的方程为，
因此直线PQ经过定点