北京市房山区2025-2026学年高二年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份北京市房山区2025-2026学年高二年级下学期期中数学试题（含解析），共32页。
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知等比数列的通项公式为，则数列的首项为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】等比数列通项公式为，将代入通项公式，故数列的首项为.
2. 已知数列是等差数列，若，，则的值为（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【详解】设数列的公差为，
则，所以，
所以.
3. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据求解，并检验的情况即可求得答案.
【详解】因为数列的前项和，
所以，当时，;
当时，，，
故，
当时，不满足，
所以.
4. 下列求导运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据导数的四则运算及复合函数的导数运算可得.
【详解】选项A：根据加法求导法则，​，故A正确；
选项B：根据商的求导法则，，故B正确；
选项C：根据乘积求导法则，，故C正确；
选项D：根据复合函数求导，设，
则，故D错误.
5. 已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 0是函数的极小值点
C. 2是函数的极大值点
D. 函数在，上单调递增
【答案】D
【解析】
【详解】由导函数的图象可知，当，，当，，当，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以A错误，D正确；
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以0是函数的极大值点，2是函数的极小值点，所以B, C错误.
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为（ ）
A. 12里B. 24里C. 36里D. 48里
【答案】B
【解析】
【分析】
该人从第一天起每天走得路程成等比数列，且公比为，前6和为378，求出首项，得到通项公式，即可求解.
【详解】该人从第一天起每天走得路程记为，
则是公比为的等比数列，
，
解得，.
故选:B
本题以数学文化为背景，考查等比数列前项和以及通项公式的基本运算，属于基础题.
7. 已知函数在上有3个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取fx=x3−3x−a=0 ，参数分离，画出图像得到答案.
【详解】fx=x3−3x−a=0 ，所以，令，
函数在上有3个不同的零点即函数与直线有三个交点，
，当解得，所以时，，时，，时，，
即函数在单调递增，在单调递减，在单调递减，且函数在取得极大值，在取得极小值，
由此可得函数图象，结合图象可得实数的取值范围为
.
8. 已知等差数列的首项为，公差，则“成等比数列” 是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，设数列的公差为d，从充分性与必要性的角度分析“成等比数列”和“”的关系，综合即可得答案．
【详解】根据题意，设数列的公差为d，
若成等比数列，则，即（a1+2d）2=a1•（a1+8d），变形可得：a1=d，
则“成等比数列”是“a1=d”的充分条件；
若a1=d，则a3=a1+2d=3d，a9=a1+8d=9d，则有，则“成等比数列”是“a1=d”的必要条件；
综合可得：“成等比数列”是“”的充要条件；
故选C．
本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题．
9. 已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，再结合已知条件得在上单调递增，进而将问题转化为求解即可.
【详解】令，
则，
因为定义在上的函数满足，即，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，所以，
因为，即，
所以，即不等式的解集为.
10. 谢尔宾斯基垫片（Sierpinski Gasket）是一种分形图形，其构造过程如下：
①从一个边长为1的等边三角形开始；
②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作；
③对剩下的3个三角形重复步骤②；
设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为．
下列结论错误的是（ ）
A. 经过n次操作，可以使得
B. 经过n次操作，可以使得
C. 经过n次操作，可以使得
D. 经过n次操作，可以使得
【答案】C
【解析】
【分析】分析每次操作后剩下的所有小三角形的周长和面积的变化规律，写出其通项公式，再逐一分析选项即可.
【详解】初始时，大等边三角形边长为1，周长记为，面积记为；
第一次操作，将大等边三角形分成4个全等的等边三角形，每个小三角形的边长为，剩下3个三角形，
这3个三角形的周长之和为，面积为；
第二次操作，对剩下的3个边长为的三角形，每个又分成4个边长为的小三角形，剩下个三角形，
这个三角形的周长之和为，面积为；
以此类推，第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和，
面积，其中.
对于A，要使得，即，因为随着的增大而减小，
且时，，所以当足够大时，会有，故A正确；
对于B，要使得，即，因为随着的增大而增大，
且时，，所以当足够大时，会有，故B正确；
对于C，要使得，即，因为随着的增大而增大，
且，所以，故C错误；
对于D，要使得，即，因为随着的增大而增大，
且时，，所以当足够大时，会有，故D正确；
故选：C.
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 若函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的加法法则即可求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
12. 已知函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数在某点处的导数的定义可得.
【详解】根据导数的定义，极限 ​表示函数在处的导数值 ，
因为求导，，
所以.
13. 已知等差数列的前项和为，首项与公差分别为，，则满足的一组，的取值是__________，__________.
【答案】 ①. ②. （答案不唯一,只需满足即可）
【解析】
【详解】根据等差数列通项公式，.
根据等差数列前项和公式，.
由，得方程：.
整理得：，即.
令，则.
故一组取值为，.
14. 若函数无极值点，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可根据函数解析式得出导函数，然后根据函数无极值点得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】因为，所以，
因为函数无极值点，
所以，解得，实数的取值范围是，
故答案为：.
15. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕______万千克.
【答案】5
【解析】
【分析】根据题设有利润且，再应用导数求其最值，即可得.
【详解】由题意，利润且，
所以，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以万千克，利润最大.
故答案为：5
16. 对于数列，令，给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则；
③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；
④若对任意的，都有，则有.
其中正确结论的序号是__________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用并项求和法求和判断①；利用前项和与第项的关系求解判断②；假定存在导出矛盾判断③；利用给定的递推关系得出，并表示出即可推理判断④.
【详解】对于①，，，所以①正确；
对于②，，令，则，当时，，
则，，因此，所以②正确；
对于③，假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立，
则必有，且都是非负整数，令正整数，
于是，，与矛盾，所以③错误；
对于④，由，得，
当时，，则当时，，
因此，，
当时，，所以对任意的，都有成立，所以④正确.
三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）在（1）的条件下，求函数的单调递减区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得；
（2）利用导数求函数的单调区间可得.
【小问1详解】
因为，所以，因此函数为.
所以，，，因此切点为，
所以切线方程为，即
【小问2详解】
由（1）知，，函数的定义域为，，
当时，，
所以函数的单调递减区间为.
18. 已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和.
条件①：；
条件②：；
条件③：，.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）选条件①：；选条件②：数列不是等比数列；选条件③：不能判断数列是等比数列.
【解析】
【分析】（1）直接求出等差数列的基本量，进而可得等差数列的通项公式；
（2）根据（1）中的通项公式首先判断：选①可得等比数列通项公式进而可其前项和；选②则数列不是等比数列，不符合题意；选③不能判断数列为等比数列，故不符合要求.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，首项为.
由等差数列性质得：，解得.
又，解得.
因此通项公式为： ,即.
【小问2详解】
选条件②：，所以​不是常数，不是等比数列，不符合要求.
选条件①：，代入得，则，
因此是首项，公比的等比数列.
由等比数列前项和公式： ，符合要求.
选条件③：，即，则不能判断数列是等比数列，故不符合要求.
综上所述，选条件①：；选条件②：数列不是等比数列；
选条件③：不能判断数列是等比数列.
19. 已知数列满足，，是常数.
（1）当时，求及的值；
（2）当时，求数列的通项公式.
【答案】（1）,
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式建立方程，求出，代入求出；
（2）利用累乘法求通项公式.
【小问1详解】
，所以，
【小问2详解】
当时，，即,
当时，，
所以，因为，所以，
经检验符合，所以.
20. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求的极值；
（3）当时，曲线与直线没有公共点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）当时，无极值，
当时，的极大值为，无极小值；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）利用导数，分，两类讨论函数的极值；
（3）令得到，令，根据导数求出的值域，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
，，解得；
【小问2详解】
由（1）知，
当时，恒成立，
单调递增，无极值，
当时，令，解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有极大值，为，无极小值；
综上：当时，无极值，
当时，的极大值为，无极小值；
【小问3详解】
当时，，
令，当时，方程无解，所以，
令，则，
所以当且时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，当时，，
当时，，当时，，
所以的值域为，
因为曲线与直线没有公共点，所以，
所以的取值范围为.
21. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“拓展”.如数列1，2，第1次“拓展”后得到数列1，3，2，第2次“拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列，，经过第次“拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为.
（1）求，；
（2）若，求的最小值；
（3）是否存在实数，，，使得数列为等比数列？若存在，求，，满足的关系式；若不存在，说明理由.
【答案】（1），
（2）10 （3）存在，或
【解析】
【分析】（1）写出第1次和第2次“拓展”后得到数列即可求解；
（2）根据题意得到递推公式，再利用等比数列相关知识求解；
（3）根据题意得到递推公式Sn+1=3Sn−a+c，再根据等比数列的通项进行求解.
【小问1详解】
第1次“拓展”后得到数列为，，，，，
所以；
第2次“拓展”后得到数列为，，，，，，，，，
所以
；
【小问2详解】
根据题意，每次“拓展”都是在现有数列的相邻两项之间插入一项，
所以，所以，
所以数列为以，公比为的等比数列，
所以，所以，令，即
解得，因为，
所以，，又，
所以，求的最小值为
【小问3详解】
存在，理由如下，
根据题意Sn+1=Sn+2Sn−a−c=3Sn−a+c，，
若数列为等比数列，设数列的公比为，
则，所以qSn=3Sn−a+c，即3−qSn=a+c ，
当，时，显然成立，
当时，，当一定时为定值，
所以2a+3b+2c=5a+9b+5c ，故，
综上所述，当或时，数列为等比数列.