2025-2026学年山东省潍坊市七年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年山东省潍坊市七年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(a3)2等于( )
A. a5B. a6C. a8D. a9
2.如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，∠1=36∘，则∠2的大小为( )
A. 16∘
B. 26∘
C. 36∘
D. 46∘
3.一根头发的直径约为0.00007米.数据0.00007用科学记数法表示为( )
A. 0.7×10−5B. 0.7×10−6C. 7×10−5D. 7×10−6
4.已知a=−|−4|，b=(−5)0，c=3−1，那么它们的大小关系为( )
A. b>c>aB. a>b>cC. c>a>bD. c>b>a
5.下列各式运算正确的是( )
A. 2a⋅4a=8aB. (−a2b)3=−a6bC. a6÷a2=a3D. 3a3⋅2a2=6a5
6.若方程x2m+n+2y3n−2m=4是关于x，y的二元一次方程，则4m−2n的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
7.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠AME=100∘，∠MND=60∘，经过下列操作可以使AB//CD的是( )
A. 将CD绕点N顺时针转动20∘
B. 将CD绕点N顺时针转动40∘
C. 将AB绕点M顺时针转动40∘
D. 将AB绕点M逆时针转动40∘
8.我国古代数学文献《增删算法统宗⋅六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同.请问甲、乙各有多少只羊？设原来甲有x只羊，乙有y只羊，则列出的二元一次方程组为( )
A. x−9=2(y+9)x+9=y−9B. x+9=2(y−9)x−9=y+9
C. 2(x+9)=y−9x−9=y+9D. 2(x−9)=y+9x+9=y−9
9.如图，已知AD⊥AB，AD⊥CD，∠1=∠2，那么下列说法不一定成立的是( )
A. AB//CD
B. AE//DF
C. ∠1=∠DAE
D. ∠DAE=∠ADF
10.“杨辉三角”由一系列数字排列成三角形形状，用于呈现(a+b)n(n为正整数)展开式的系数规律，展开式按照a的次数从大到小的顺序排列.请仔细观察上下相邻两行数字之间的关系，并推测(a−b)6展开式中含a3项的系数是( )
A. 15B. −15C. 20D. −20
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−a)6÷(−a)3=______.
12.已知x=2y=3是关于x，y的二元一次方程ax+y=1的一个解，那么a= .
13.我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线AB//CD，正确的操作顺序为 .
①摁住直尺保持其不动，并沿直尺下移三角尺；
②用直尺紧靠三角尺的另一条边；
③沿三角尺的边作出直线CD；
④作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB.
14.一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18.则原来的两位数为 .
15.已知：m+2n=3，则3m⋅9n的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算：
(1)(xy)2⋅x3；
(2)53×55÷(5−2×59)；
(3)(3a2b−2ab2)⋅(−2ab).
17.(本小题8分)
解下列方程组：
(1)2x+y=33x−2y=1；
(2)3(x+y)−5(x−y)=162(x+y)+(x−y)=15.
18.(本小题6分)
如图，点A，B，C，P均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题.
(1)经过点P画AB的平行线，交AC于点Q；
(2)过点P，画AC的垂线段PM，交AC于点M；
(3)连接PA，PC；
(4)线段PA，PQ，PM，PC中，最短的线段为______，理由是______.
19.(本小题8分)
如图，已知∠1+∠2=180∘，∠3=∠4，试说明AB//EF.请补全解答过程.
解：因为∠1+∠2=180∘，
所以根据______，得AB//CD.
又因为∠3=∠4，
所以根据______，得______.
所以根据______，得AB//EF.
20.(本小题8分)
某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨.甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天.求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？
(1)思路1：直接设未知数法.若设甲型冷柜车运送m天，乙型冷柜车运送n天，请根据题意直接列出方程组(无需求解)；
(2)思路2：间接设未知数法.若设甲型冷柜车运送x吨水果，乙型冷柜车运送y吨水果，请列方程组并解答.
21.(本小题11分)
如图，直线AB，CD被AC所截，CE平分∠ACD，交AB于点E；AF⊥AC，分别交CE，CD于点G，F.已知∠2=∠3，∠BAF=26∘，求∠3的度数.
22.(本小题12分)
传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”.三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等.
(1)求图1所示的幻方中x的值；
(2)求图2所示的幻方中a，b的值；
(3)如图3，若m，n均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法.
23.(本小题13分)
构造辅助线是解决几何问题的核心方法，它能够实现角的转移与转化，是初中几何从直观识图迈向逻辑推理的关键一步.
【感知发现】
(1)如图1，AB//CD，请探究∠B，∠BED，∠D三者之间的数量关系，并说明理由：
【迁移应用】
(2)某数学兴趣小组以“一个含30∘角的直角三角尺和直尺”为背景开展数学活动.
①将直角三角尺与直尺按如图2所示的位置摆放，请直接写出∠α与∠β之间的数量关系；
②将直角三角尺与直尺按如图3所示的位置摆放，请写出∠1与∠2之间的数量关系并说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：原式=a2×3=a6.
故选：B.
根据幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其知识点是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：如图，
∵直线a，b被直线c所截，且a//b，∠1=36∘，
∴∠1=∠3=36∘(两直线平行，同位角相等)，
∴∠2=∠3=36∘，(对顶角相等)，
故选：C.
根据平行线的性质和对顶角相等判断即可．
本题考查了平行线的性质，对顶角，关键是平行线性质的熟练掌握．
3.【答案】C
【解析】解：0.00007=7×10−5.
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|c>a，
故选：A.
先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再比较大小即可．
本题考查了负整数指数幂、相反数、绝对值、零指数幂、有理数大小比较，正确计算是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、2a⋅4a=8a2，故此选项不符合题意；
B、(−a2b)3=−a6b3，故此选项不符合题意；
C、a6÷a2=a4，故此选项不符合题意；
D、3a3⋅2a2=6a5，故此选项符合题意；
故选：D.
根据单项式乘单项式法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则分别计算判断即可．
本题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得{2m+n=1①3n−2m=1②，
①-②，得4m−2n=0，
故选：B.
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程，由此列出{2m+n=1①3n−2m=1②，然后求解即可．
本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠AME=100∘，
∴∠BME=180∘−∠AME=180∘−100∘=80∘.
A.将CD绕点N顺时针转动20∘时，∠MND=60∘+20∘=80∘，
∴∠BME=∠MND，
∴AB//CD，选项A符合题意；
B.将CD绕点N顺时针转动40∘时，∠MND=60∘+40∘=100∘，
∵80∘≠100∘，
∴∠BME≠∠MND，
∴AB，CD不平行，选项B不符合题意；
C.将AB绕点M顺时针转动40∘时，∠BME=80∘+40∘=120∘，
∵120∘≠60∘，
∴∠BME≠∠MND，
∴AB，CD不平行，选项C不符合题意；
D.将AB绕点M逆时针转动40∘时，∠BME=80∘−40∘=40∘，
∵40∘≠60∘，
∴∠BME≠∠MND，
∴AB，CD不平行，选项D不符合题意．
故选：A.
由邻补角互补，可求出∠BME的度数，按四个选项的操作可求出∠MND(或BME)的度数，取使得∠BME=∠MND的选项即可．
本题考查了平行线的判定以及邻补角，牢记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴x+9=2(y−9)，
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴x−9=y+9，
∴根据题意，列方程为x+9=2(x−18−9)，
列方程组为x+9=2(y−9)x−9=y+9.
故选：B.
根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数比乙的羊数多1倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A.∵AD⊥AB，AD⊥CD，DF
∴∠DAB=∠ADC=90∘，
∴AB//CD(垂直于同一直线的两条直线平行)；
B.∵∠1=∠2，∠DAB=∠ADC=90∘，
∴∠DAE=∠ADF，
∴AE//DF；
C.∠1=∠DAE不一定成立；
D.∵AE//DF(由②可知)，
∴∠DAE=∠ADF.
故选：C.
根据平行线的性质，垂直的定义再结合已知角相等进行解答．
此题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是关键．
10.【答案】D
【解析】解：(a−b)6=[a+(−b)]6，
由题干中的等式可得(a+b)5的系数为1，5，10，10，5，1，
(a+b)6的系数为1，6，15，20，15，6，1，
则(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
那么(a−b)6=[a+(−b)]6=a6−6a5b+15a4b2−20a3b3+15a2b4−6ab5+b6，
即(a−b)6展开式中含a3项的系数是−20，
故选：D.
根据题干中的等式总结规律即可．
本题考查数式规律问题，理解题意并总结正确的规律是解题的关键．
11.【答案】−a3
【解析】解：(−a)6÷(−a)3=(−a)3=−a3.
故答案为：−a3.
直接利用同底数幂的除法与幂的乘方与积的乘方的知识求解即可求得答案．
此题考查了同底数幂的除法．注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：把x=2y=3代入关于x，y的二元一次方程ax+y=1中，得2a+3=1，
解得a=−1，
故答案为：−1.
根据二元一次方程的解的定义把x=2y=3代入关于x，y的二元一次方程ax+y=1中即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
13.【答案】③②①④
【解析】解：正确的操作顺序为：③②①④．
故答案为：③②①④．
首先作出直线CD，再利用直尺，三角尺直线直线AB，由此判断即可．
本题考查作图-复杂作图，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
14.【答案】42
【解析】解：设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依题意得：x+y=610x+y=10y+x−18，
解得：x=2y=4，
即原来的两位数为42，
故答案为：42.
设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】27
【解析】解：∵m+2n=3，
∴3m⋅9n=3m⋅(32)n=3m⋅32n=3m+2n=33=27，
故答案为：27.
将要求的式子变形为3m+2n，然后代入求值即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16.【答案】x5y2 5 −6a3b2+4a2b3
【解析】解：(1)(xy)2⋅x3
=x2y2⋅x3
=x5y2；
(2)53×55÷(5−2×59)
=58÷57
=5；
(3)(3a2b−2ab2)⋅(−2ab)
=3a2b⋅(−2ab)−2ab2⋅(−2ab)
=−6a3b2+4a2b3.
(1)先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据单项式乘单项式法则计算即可；
(2)先根据同底数幂的乘法法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算即可；
(3)根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
本题考查了单项式乘多项式，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】x=1y=1 x=4y=3
【解析】解：(1){2x+y=3①3x−2y=1②，
①×2+②，可得7x=7，
解得x=1，
把x=1代入①可得：2+y=3，
解得y=1，
∴原方程组的解是x=1y=1；
(2)原方程组可变为−2x+8y=163x+y=15，即{−x+4y=8①3x+y=15②，
①×3+②得，13y=39，
解得y=3，
把y=3代入②得，3x+3=15，
解得x=4，
∴原方程组的解为x=4y=3.
(1)应用代入消元法，求出方程组的解即可；
(2)先将原方程整理为{−x+4y=8①3x+y=15②，再应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
18.【答案】如图，直线PQ即为所求 如图，线段PM即为所求 如图，线段PA，PC即为所求； PM;垂线段最短
【解析】解：(1)如图，直线PQ即为所求；
(2)如图，线段PM即为所求；
(3)如图，线段PA，PC即为所求；
(4)线段PA，PQ，PM，PC中，最短的线段为PM，理由是垂线段最短．
故答案为：PM，垂线段最短．
(1)根据平行线的定义画出图形；
(2)根据垂线段的定义画出图形；
(3)连接PA，PC即可；
(4)根据垂线段最短解决问题．
本题考查作图-应用与设计作图，两点之间线段最短，垂线段最短，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19.【答案】同旁内角互补，两直线平行 内错角相等，两直线平行 CD//EF 平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】解：因为∠1+∠2=180∘，
所以根据同旁内角互补，两直线平行，得AB//CD.
又因为∠3=∠4，
所以根据内错角相等，两直线平行，得CD//EF.
所以根据平行于同一条直线的两条直线平行，得AB//EF.
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；CD//EF；平行于同一条直线的两条直线平行．
首先根据同旁内角互补判定AB//CD，再根据内错角相等判定CD//EF，最后利用平行于同一条直线的两条直线平行得出结论．
本题考查平行公理，平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
20.【答案】m+n=126m+8n=80 型冷柜车运送天数为8天，乙型冷柜车运送天数为4天
【解析】解：(1)设甲型冷柜车运送m天，乙型冷柜车运送n天，
根据题意得：m+n=126m+8n=80；
(2)设甲型冷柜车运送x吨水果，乙型冷柜车运送y吨水果，
根据题意得：x+y=80x6+y8=12，
解得x=48y=32，
∴甲型冷柜车运送天数为486=8(天)，乙型冷柜车运送天数为328=4(天).
(1)设甲型冷柜车运送m天，乙型冷柜车运送n天，根据总天数=12和甲型冷柜车和乙型冷柜车运送水果之和为80吨列出方程组；
(2)设甲型冷柜车运送x吨水果，乙型冷柜车运送y吨水果，根据总天数=12和甲型冷柜车和乙型冷柜车运送水果之和为80吨列出方程组，并解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找到等量关系列出方程组．
21.【答案】∠3的度数是32∘.
【解析】解：∵AF⊥AC，
∴∠CAF=90∘，
∵∠BAF=26∘，
∴∠CAE=∠CAF+∠BAF=90∘+26∘=116∘，
∵∠2=∠3，
∴∠3=180∘−∠CAE2=32∘.
根据垂直定义和已知角先求∠CAE的度数，再根据三角形的内角和进而求得∠3的度数．
本题考查平行线的判定与性质以及垂直的定义，关键是通过已知角的关系建立数量关系进而求解．
22.【答案】103 a的值为4，b的值为5 一共有10种不同的填法
【解析】解：(1)根据题意得：8+x+2=3x+3+2+x−5，
解得：x=103.
答：图1所示的幻方中x的值为103；
(2)根据题意得：3b−1+2a+3+2a=10+15+2a10+2a+3+2b+2=10+15+2a，
解得：a=4b=5.
答：a的值为4，b的值为5；
(3)根据题意得：12+13+14=14+2m+2n−3，
∴2m+2n=28，
又∵m，n均为正整数，
∴m=1n=13或m=2n=12或m=3n=11或m=4n=10或m=5n=9(不符合题意，舍去)或m=6n=8(不符合题意，舍去)或m=7n=7(不符合题意，舍去)或m=8n=6或m=9n=5或m=10n=4或m=11n=3或m=12n=2或m=13n=1，
∴一共有10种不同的填法．
(1)根据第二列和第三行上的三个数的和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)根据对角线及第三行上的三个数的和相等，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各m，n的值，再结合幻方中的9个数各不相等，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23.【答案】∠BED=∠B+∠D.理由如下：
如图1，过点E作EF//AB，∵EF//AB，
∴EF//CD，
∵AB//EF，
∴∠B=∠BEF，
∵CD//EF，
∴∠D=∠DEF，
∵∠BED=∠BEF+∠DEF，
∴∠BED=∠B+∠D ①∠α+∠β=90∘；②∠1−∠2=120∘.理由如下：
∵DE//BG，
∴∠ADE=∠2+90∘，
∵∠1=∠ADE+∠A，∠A=30∘，
∴∠1=∠2+90∘+30∘，
∴∠1−∠2=120∘
【解析】解：(1)∠BED=∠B+∠D.理由如下：
如图1，过点E作EF//AB，
∵EF//AB，
∴EF//CD，
∵AB//EF，
∴∠B=∠BEF，
∵CD//EF，
∴∠D=∠DEF，
∵∠BED=∠BEF+∠DEF，
∴∠BED=∠B+∠D；
(2)①∵∠α+∠A=90∘，∠β+∠C=90∘，∠A+∠C=90∘，
∴∠α+∠β=90∘；
②∠1−∠2=120∘.理由如下：
∵DE//BG，
∴∠ADE=∠2+90∘，
∵∠1=∠ADE+∠A，∠A=30∘，
∴∠1=∠2+90∘+30∘，
∴∠1−∠2=120∘.
(1)通过过拐点作平行线，根据平行线的性质得出三者的数量关系；
(2)①根据直角三角形的性质可得；②由平行线的性质得∠ADE=∠2+90∘，由外交性质得∠1=∠ADE+∠A可得答案．
本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，利用平行线性质建立角之间的数量关系是解题关键．