浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了结束后，只需上交答题卡等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．试题共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．
4．结束后，只需上交答题卡．
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 甲、乙、丙 3 位同学在 5 个兴趣小组中任选一个参加，任意 2 人不同组的选法种数有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】3 位同学在 5 个兴趣小组中任选一个，且任意 2 人不同组的选法有 种.
2. 已知事件 A，B 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6
【答案】A
【解析】
【详解】 ，
在 发生的条件下， 一定发生，
，
则 .
3. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.8
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【答案】B
【解析】
【详解】因为随机变量 ，且 ，
所以 ，
所以 .
4. 从 50 名学生中随机选出 5 名学生代表，则甲被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意可知，从 50 名学生中随机选出 5 名学生代表，
所包含的基本事件总和为 ，
甲被选中包含的可能事件为 ，
所以甲被选中的概率为 .
5. 设随机变量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由二项分布的概率公式可得 ，再由二项分布的方差公式可得.
【详解】因为随机变量 ，根据二项分布的性质： ，
，且 ，解得 .
又因为 ，由二项分布的方差公式： .
6. 展开式中的常数项为（ ）
A. 20 B. -20 C. -12 D. -8
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【答案】B
【解析】
【分析】将给定式子变形，再结合二项式定理求解作答.
【详解】因 ，
则 展开式的通项公式为 ，
由 解得 ，所以 展开式中的常数项为 .
故选：B
7. 如图，点 分别是四面体 的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组
个数有（ ）
A. 30 B. 33 C. 63 D. 69
【答案】B
【解析】
【分析】分成两类计数：一类是 所在面上另外 5 个点中任选 3 个，另一类是 所在棱上三点与对棱中点
共面，由此可得.
【详解】含有 的侧面中，每个面上的 6 个点都是共面的，除 外的 5 个点任选 3 个，则个数为
，
所在的棱上三点与对棱中点共面，这样的组数有 3 个，
所以共有 个.
8. 已知 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 对于任意奇数 n，a 都是偶数 B. 对于任意偶数 n，a 与 的奇偶性相同
C. 对于任意偶数 ，都有 D. 对于任意偶数 ，都有
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【答案】D
【解析】
【分析】根据二项式展开式，分析可得 ，据此求出 a、b 的表达式，对于 AB，可取某
些特殊的 n 值进行分析，由此进行判断；对于 CD，根据 分析即可求得具
体的值．
【详解】 ，
同理 ，
两者对比可知 为奇数时， ，
又 为偶数时， 为有理数，且 ，
即两者展开式中 k 为偶数的部分，为相等的有理数，
所以可知 ，
因此可解得 ，
对于 A，取 （奇数），可得 （奇数），矛盾，故 A 错误；
对于 B，取 （偶数），可得 （奇数）， （偶数），奇偶性不同，故 B 错误；
对于 CD，对于任意大于 0 的偶数 ，
因为 ，
也即 ，故 C 错误，D 正确．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若事件 A，B 满足 ，则事件 A，B 相互独立
B. 若事件 B，C 互斥，则
C. 若数据 的方差为 2，则数据 的方差为 17
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D. 在 12 件产品中有 2 件次品，任意抽取 3 件，则抽到次品的个数期望值为
【答案】AB
【解析】
【分析】由条件概率计算公式和全概率公式可判断 AB，由方差的运算性质可判断 C，由超几何分布期望公
式可判断 D.
【详解】选项 A，设 ，
根据全概率公式： ，
因此 ，
，
符合事件 相互独立的定义，A 正确；
选项 B，因为 互斥，即 ，因此 ，
即 和 也互斥，
由概率可加性： ，
由条件概率计算公式得： ，B 正确；
选项 C，根据方差性质：若原数据 方差为 ，则 ，
，新数据方差为 ，C 错误；
选项 D，抽到次品数服从超几何分布 ，
超几何分布期望公式为 ，代入得： ，D 错误.
10. 随机变量 的分布列如下表， ．令随机变量 ，则下列说法正确的是（ ）
-1 0 1
0.5
A. B. 恒成立
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C. 的最大值为 D. 当 在 内增大时， 先增大后减小
【答案】ACD
【解析】
【详解】由分布列的性质，得 ，所以 ， .
因为 ，所以 ，解得 ，所以 A 正确.
，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 B 错误.
，
当且仅当 时， 取得最大值 ，所以 C 正确.
当 时， ；当 时， ；
当 时， .
所以， 的分布列为
所以 .
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当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 D 正确.
11. 一项“过关游戏”规则规定：在第 关要抛掷一颗质地均匀的骰子 次，如果这 次抛掷所出现的点数之
和大于 ，则过关．假定每次过关互不影响．记过第 关为事件 ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 这项游戏最多能连续过 5 关
B.
C.
D. 连过前三关的概率是
【答案】BCD
【解析】
【详解】A 选项：当 时， ，当 时， ，所以最多过 4 关，A 错误；
B 选项：当 时，点数记为 ，即 时过关， ，所以 B 正确；
C 选项： ，设两次点数记为 ，
，
则 ，所以 ，所以 C 正确；
D 选项： ，记三次点数分别为 ，
，
，所以 D 正确．
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 将 1，2，3，4 组成没有重复数字的四位数，要求偶数相邻，共有__________种排法．（用数字作答）
【答案】12
【解析】
【详解】将两个偶数看成一个整体有 种情况，
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再将两个偶数与两个奇数全排列有 种情况，
所以将 1，2，3，4 组成没有重复数字的四位数，要求偶数相邻，共有 种排法.
13. 某校开展教师歌手大赛．已知男、女教师人数比例为 ，有 的男教师和 的女教师擅长民谣歌
曲．现随机选取一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为__________．
【答案】 ##
【解析】
【详解】由男、女教师人数比为 ，可得随机选一位教师，
选到男教师的概率为 ，选到女教师的概率为 .
已知男教师中擅长民谣的概率为 ，女教师中擅长民谣的概率为 .
根据全概率公式，随机选一位教师恰好擅长民谣的概率为：
.
即随机选一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为 .
14. 盒子中装有编号依次为 1，2，3，4 的 4 张卡片，现从中有放回地抽取 次卡片，每次仅抽取 1 张，记
这 次抽取的卡片中最大编号为 ，若要求 成立，则至少抽取____________次．
【答案】4
【解析】
【详解】 ，
，
由 ，得 ，
令 ，则 在 时单调递减，
又 ，所以 的最小值为 4．
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四、解答题：本大题共 5 小题，共计 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1） ；
（2）解方程： ；
（3）解关于 的不等式： ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用组合数的计算公式求解；
（2）根据排列数和组合数的计算公式解方程；
（3）利用组合数的计算公式求解.
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
由题知．
由 且 ；
【小问 3 详解】
由题知
解得 ，
又 ，且 ，
∴不等式的解集为 .
16. 以下各小题要求列出算式，并计算出结果．某高校组织 1 位老师带领 3 名男生、3 名女生参加志愿服务
活动．
（1）活动开始前 7 人排成一排合影留念
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①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？
②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？
（2）现从 6 名学生中选 1 人与老师留在原地，其余 5 人分配到 3 个服务站点进行志愿服务．
要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？
【答案】（1）① ；②
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查排列组合的综合应用，涉及特殊元素定位、相邻问题、不相邻问题、分组分配等问
题.
（1）①老师位置固定在中间，甲乙两位学生必须与老师相邻，先安排甲乙两人的位置，再对其余无限制的
4 名学生进行全排列，根据分步乘法计数原理求解；
②先安排老师在排头或排尾，再排男生，最后利用插空法安排互不相邻的女生，分步完成后用乘法计数原
理计算；
（2）先从 6 名学生中选出 1 人与老师留在原地，再将剩余 5 名学生按 ， ， 或 ， ， 两种人数分组
方式进行分组，最后将各组分配到 个服务站点，利用先分组后分配的方法求解.
【小问 1 详解】
①因为老师站在最中间，甲、乙两名学生站在老师的两侧，
所以老师站在第 4 个位置，甲、乙两名学生的排序有 种．
再排其他学生，有 种，由分步乘法计数原理，不同的排法有 种．
②老师排在排头或排尾有 种方法,其余 6 个位置用插空法处理：先排 3 名男生有 种排法，形成 4 个空
位；再将 3 名女生排入这 4 个空位，有 种排法由分步乘法计数原理，不同的排法有 种．
【小问 2 详解】
因为要从 6 名学生中选出 1 名与老师留在原地，有 种选法．
其余 5 名同学分配到 3 个站点，可分为 1 人、2 人、2 人，或分为 1 人、1 人、3 人．
如果分为 1 人、2 人、2 人，有 种，
如果分为 1 人、1 人、3 人，有 种，
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再将这 3 组对应 3 个站点进行全排列，
不同的分配方式有 种．
17. 已知 的展开式中，____________．给出以下条件：①若展开式前三项的二项式系数之和等于
；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为 ．任选一个，补充在上面横线中并加以解答（注：
若选择多个条件，按第一个解答计分）．
（1）求 的值及通项公式 ；
（2）求展开式中所有项的系数绝对值之和；
（3）求展开式中系数最小的项．
【答案】（1）选择见解析， ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）若选①：利用展开式的前三项的二项式系数之和得出等式求出即可；若选②：利用展开式中
倒数第三项与倒数第二项的系数比建立等式求出即可.然后写出通项公式即可；
（2）根据展开式所有系数之和公式分析求解即可；
（3）根据展开式系数性质一一列举分析求出即可.
【小问 1 详解】
若选①：若展开式前三项的二项式系数之和等于 .
由 的展开式中前三项的二项式系数之和等于 得： ，
即 ，即 ，
解得 或 （舍去），所以 ．
若选②：若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为 .
则由题得 ，解得 .
所以 的展开式通项为 ．
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【小问 2 详解】
展开式中所有系数的绝对值之和，即 展开式中所有系数之和，
令 ，得 .
【小问 3 详解】
由 的展开式通项公式 知：
展开式中的系数为 ，若要找展开式中系数最小的项，则 为奇数，
当 时，该项系数为 ，
当 时，该项系数为 ，
当 时，该项系数为 ，
当 时，该项系数为 ，
因此，展开式中系数最小的项为第 4 项即： .
18. 不透明的袋子装有编号为 的 35 个球， 号球重量为 克，从袋子中等可能地取球．
（1）任取 1 球，求其重量小于 7 克的概率；
（2）任取 1 球，求其重量大于号码数的概率；
（3）任取 1 球，若球的重量小于号码数时，则停止取球；若球的重量大于号码数，则放回，搅拌均匀后重
取，并规定取球次数不超过 3 次．设结束时的取球次数为 ，求 的分布列和期望．
【答案】（1）
（2）
（3）
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【解析】
【分析】（1）求出重量小于 7 克的编号个数，利用古典概型求概率；
（2）求出重量大于号码数的编号个数，利用古典概型求概率；（3）确定 的可能取值，分别计算每个取值
的概率，写出分布列，并求期望.
【小问 1 详解】
， ，
， ，
，
所以 ， .
【小问 2 详解】
设事件 为“取 1 球其重量大于号码数”．
若球重量大于号码数，则 ，
即 ，
解得 或 ，
，
，
【小问 3 详解】
可取的值为 ，
取出球重量大于号码的概率为 ，
，
，
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，
1 2 3
.
19. 如图，河面上从左至右 4 个石墩排成一条直线，松鼠在第 2 个石墩上．松鼠会在相邻的两个石墩（或石
墩与河岸）间不停地跳跃．每次跳跃时，向左跳的概率为 ，向右跳的概率为 ．当松鼠跳到左岸或右
岸时，就去树林里吃松果，不再返回．将河的左、右岸分别标记为 0 号、5 号石墩．将松鼠位于第 个石墩
上并最终跳到右岸的概率记为 ．
（1）省略推导过程，直接写出 的值，直接判断 与 的大小关系；
（2）当河面上有 个石墩且 时，求 ；
（3）当河面上有 个石墩且 时，要使 ，求 的最大值．
【答案】（1） ， ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由不可能事件和必然事件的概率得 ，利用对立事件考虑从 1，2 号石墩跳到右岸的
概率，从而可比较 大小；
（2）利用互斥事件概率公式得出 ，确定 是等差数列，从而求得结论；
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（3）同（2）分析得出递推关系式： ，利用迭代法求得
，再用累加法求得 ，然后利用 求出 的最大值.
【小问 1 详解】
松鼠在左岸时，直接去树林里吃松果，不可能跳去右岸，因此 ，
同样松鼠在右岸时已经不需要跳跃了，因此 ，
松鼠在 1 号石墩，只要向左跳一次，就到左岸去树林里吃松果，
而 2 号石墩，至少需要向左跳 2 次，才能到左岸去树林里吃松果，
因此 1 号石墩到左岸去树林里吃松果的概率大于 2 号石墩到左岸去树林里吃松果的概率，
从而到右岸去树林里吃松果的概率反而小，所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知
考虑松鼠位于第 个石墩上并最终跳到右岸的情况可分为互斥的两类，
向左跳到第 个石墩并最终跳到右岸；
向右跳到第 个石墩并最终跳到右岸．
以上两种情况的概率分别为 和 ，
故有 ，
即 ，
所以数列 是等差数列，
则
得到 ；
【小问 3 详解】
由（2）的分析知 ，
整理得
累加得
，
第 15页/共 16页
而 ，
得到
，
而 . ，即 最大值为 6.