【数学】浙江省金兰教育合作组织2024-2025学年高二上学期期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】浙江省金兰教育合作组织2024-2025学年高二上学期期中考试试题（解析版），文件包含20252026学年江苏苏州姑苏区苏州市振华中学校初三上学期期中历史试卷11月试卷版pdf、20252026学年江苏苏州姑苏区苏州市振华中学校初三上学期期中历史试卷11月答案解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ）
A. 或B. 或
C D.
【答案】A
【解析】．．或．故选：A.
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】双曲线化为标准方程：，由题意得，，
则其渐近线方程为，即， 故选：D
3. 设为空间的一个基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若向量以为基底时的坐标为，则可以为基底时的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，则可以为基底时的坐标为. 故选：C.
4. 设圆和圆交于两点，则弦的长度为（ ）
A. 4B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】两圆方程相减得公共弦方程为，圆心，到公共弦的距离为，所以所求弦长为. 故选：A.
5. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线的斜率B. 直线过定点
C. 若，则或D. 若，则或
【答案】D
【解析】对于A，当时，，直线的斜率不存在，故A错误；
对于B，，
当，可得，所以直线过定点，故B错误；
对于C选项，当时，或，
解得，故C错误；
对于D选项，当时，，解得或，故D正确.
故选：D.
6. 对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是 （ ）
A. 曲线只能表示圆、椭圆或双曲线
B. 若为负角，则曲线为双曲线
C. 若为正角，则曲线为椭圆
D. 若为椭圆，则曲线的焦点在轴上
【答案】B
【解析】对于A，当，即时，曲线的方程为，即，
此时曲线为两条平行的直线，故A错误；
对于B，若为负角，即，则，此时曲线为双曲线，故B正确；
对于C，若为正角，即，当时，，
则曲线的方程为1，是圆，故C错误；
对于D，若为椭圆，当，，又可变形为，则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B.
7. 已知二面角，、两点在棱上，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则二面角的大小是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】由条件，知．
，
，即，所以二面角的大小为
故选：C．
8. 自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为，圆心为的圆形纸片，在圆内选定一点且.将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为.如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线，线段的中点为，在上任取一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
如图所示，设折痕为直线，点与关于折痕对称，，在上任取一点，
由中垂线的性质可知：，
当且仅当与重合时取等号.
即折痕上到两点距离之和最小的点为，且.
故的轨迹是以为焦点，且长轴长为的椭圆，焦距，，
故，
以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，
则曲线的方程为，则，，
设，则，，
则，，
因此可得，，
由二次函数的性质知，当时，取得最小值为 故选：A.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 是直线的一个方向向量
C.
D. 在上的投影向量为
【答案】BC
【解析】对A，，，因为，
则，解得，故A错误；
对B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确；
对C，，则，故C正确；
对D，，在上的投影向量为，故D错误. 故选：BC.
10. 已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（ ）
A. 的轨迹方程为
B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2
C. 圆和圆有两条公切线
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，设点Mx,y，又点为线段的中点，由，则，
又动点圆上，则，即，即，
即的轨迹方程为，故A错误；
对于B，设点，又圆，则圆心坐标为，半径，
则切线长为，
由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确；
对于C，圆的圆心坐标为，半径，
圆，则圆心坐标为，半径，又，，
则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确；
对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率，
又动点在圆上，则也在圆上，
则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值，
由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在，
设过点且与圆相切的直线为，即，
则到直线的距离，即，解得或，
结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD.
11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线是的一条渐近线
B. 若，则的渐近线方程为
C. 若，则的离心率为
D. 若，则的离心率为
【答案】ACD
【解析】根据题意，设直线，
又直线与圆相切于点，所以，
又，则，而，得，
所以直线是的一条渐近线，A对；
联立，得，联立，得，
若且，则，
即，所以，
可得，即渐近线方程为，B错；
若且，故，即，
化简得，则的离心率为，C对；
若，则，设，故，
得，故，
代入，得，所以，则离心率为，D对；
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 直线的倾斜角为_______.
【答案】
【解析】由直线为，即，则直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，又，
则直线的倾斜角为． 故答案为：.
13. 已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为_______.
【答案】
【解析】
因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点，
所以，
则由余弦定理得,，
，
即，所以，
故的面积，
设的内切圆半径为，则，
解得,. 故答案为：.
14. 如图，在正四棱柱中，，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到平面的距离分别为、，则顶点到平面的距离为_______.
【答案】
【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，．
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
由题意得，解得，
所以顶点到平面的距离是． 故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点与两个定点的距离之比为常数且，则点的轨迹是圆.后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，圆上的点满足.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过原点，且直线与圆相切，求直线方程.
解：（1）设Mx,y，则，，
又，即，
两边平方可得，整理可得，
即圆的标准方程为.
（2）
由（1）可知圆的圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
此时，圆心到直线的距离，不符合题意；
当直线斜率存在时，设过原点的直线为，且与圆相切，
可得圆心到直线的距离，即，解得或，
则直线方程为或.
16. 如图，在三棱柱中，，，，、分别是、的中点.
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值.
解：（1）由题可得，
因为是三棱锥，是的中点，所以，
因为，，，
所以
所以；
（2）因为分别是的中点，，，
所以，由图可得，
由（1）可得，设与所成角为，
则，
所以与所成角的余弦值为.
17. 已知双曲线，直线与双曲线交于两点.
（1）若关于点对称，求直线的方程；
（2）若直线过，且都在双曲线的左支，求直线的斜率的取值范围.
解：（1）
设Ax1,y1,Bx2,y2，由点关于点对称，即为的中点，
则，即，
又点在双曲线上，则可得，
两式相减可得，
即，
将代入可得，即直线的斜率为，
又在直线上，则直线的方程为，即.经检验成立.
（2）
当直线的斜率不存在时显然不符合题意；
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，消整理得，
由直线与双曲线交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，
则，，解得且，
，．因为点M，N都在左支上，，，
，，所以．
所以k的取值范围为．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，//.在平面内过作//，交于，连.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为30°，求的最小值.
（1）证明：因为面面，面面，面，故可得面，又因为面，故；
由题可知，，又面，故可得面，
又因为面，故可得面面.
解：（2）由（1）可知面，又//CD，故可得面，又面，故；
对四边形，因为//CD，又//，且，故该四边形为矩形，故，；
对直角三角形，因为，故，
在△中，由余弦定理
故，则，故，也即；
综上所述两两垂直，故以为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：

则，
；
设平面的法向量，
故，即，解得，
不妨取，故可得，故平面的一个法向量；
设平面的法向量，
故，即，解得，
不妨取，故可得，故平面的一个法向量；
设平面与平面所成角为，
则，故平面与平面所成角的余弦值为.
（3）因为为平面上的动点，故可设，，则，

又平面平面的一个法向量，直线与平面所成的角为30°，
故可得，整理可得：；
又，故可得；
又，故
又，在单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为.
综上所述，的最小值为3.
19. 椭圆，椭圆，若，则椭圆与椭圆为相似椭圆，其中为相似比.已知椭圆的长轴长为4，且过点，点为椭圆上异于其左、右顶点、的任意一点.
（1）若，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）条件下，若与椭圆有且只有一个公共点的直线、恰好相交于点，直线、的斜率分别为、，求的值；
（3）若，设直线与椭圆交于点、，直线与椭圆交于点、，求的值.
解：（1）因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以的标准方程为.
（2）由（1）可知，的左右顶点为，
设，经过点与相切的直线为，
联立，可得，
所以，
化简可得，
由题意可知是上述方程的两个实根，所以，
又因为为椭圆上一点，所以，
所以.
（3）当时，，所以，所以，
所以左右顶点分别为且也为的焦点，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
不妨设，则，
设，联立，可得，
所以，所以
联立，可得，
所以，
所以，
所以.