2026年上海市普陀区高三下学期二模数学试卷和答案

这是一份2026年上海市普陀区高三下学期二模数学试卷和答案，共13页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
根据中国汽车工业协会发布的数据，2025 年 7 月至 2026 年 1 月，我国新能源汽车月度销
量(单位:万辆)为:143.2,156.7,162.4,158.3,182.1,173.5,168.9，则这 7 个月新能源汽车销量的中位数为万辆.
已知复数 z 满足i 1 z  3i  3  i ，其中i 为虚数单位，则 z  .
设m  R ，若点 P 2, m 在抛物线 y2  4x 上，则点 P 到该抛物线焦点的距离为.
设a  R ，若关于 x 的不等式
a
x 1
 1 的解集是,1 2, ,则a 的值为.
1 6
x
设t  R ，若 tx  

的展开式中的常数项是-540,则该展开式中所有项的系数和为
.(结果用数值表达)
某大型管线网的局部成网格结构,如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检任务,在某次巡检的路径中经过了点： 3, 2, 2, m, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 2,1, 3, 2 ，
若该机器人经过的点的纵坐标 y 关于横坐标 x 的一元线性回归方程是 y  11 x  5 ，则m 的值
147
为.
设n  1, n  N ， Sn 是等差数列an的前n 项和，且公差d  0 ，若a1a3  S4 ，且a3, a4 , a6 成等比数列,则 Sn  .
在ABC 中,ACB  , AC  1,过点 A 作直线l / / BC ,将ABC 绕直线l 旋转一周所得到的几
2
何体记为Ω ,若Ω 的体积是 4,则Ω 的表面积为.
3
已知向量   1, 2, b     3, 4 ，函数 y  f  x 的表达式为 f  x  x 1, x  2 ，设

a1,1 , c
2x 1, x  2
a
d x
/ /c
d  x  f  x   f  x  2 b ，若   ，则 x  .
设a  R ,集合M  1, 2, a, N  x∣x2  ax  0,若集合 A  M  N  ,且满足条件的 A 恰有 2 个，则a 的取值范围为.
设定义域为R 的函数 y  f  x 的导函数为 y  f  x ,令 g  x   f x   x x 2  12 ,若函数
y  f  x 和函数 y  g  x 皆为偶函数，则不等式 f  x  2  f 2x  3 的解集为.
设k  2, n  1, k 、n  N, S 是等比数列a 的前n 项和,且a  0 ,公比为 3,令b  S  1 ,若
S
nn1
nn
n
恰存在 2 个k 的值，对任意的n  k ，皆有bn  bk 成立，则a1 的取值范围为.
二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.
已知直线 l 、m 和平面,若m ，则“ l 与m 不相交”是“ l / /”的（ ）
充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
设 x 、y 、z  R ,若10x  y
 1
2  lg
3z ,则下列结论中不可能成立的是（ ）
y  x  z
x  y  z
x  z  y
z  y  x
某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌,该公司为促进跨部门协作,采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有 2 名红色工牌员工、1 名蓝色工牌员工，乙部门有 2 名红色工牌员工、2 名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令:从甲、乙 2 个部门中随机各选取 1 名员工进行交换,设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为 X ,则 X的期望为（ ）
7
4
5
3
11
6
13
6
在直角坐标平面中,方程x  9  y2 x  18  2 y2   0 表示的曲线称为“ G 圆".点 P 、Q 是
“ G 圆"上的任意两点, O 为坐标原点.对如下两个命题：
①若点 A3, 0 、 B 3, 0 ，则 PA  PB 的值不可能等于 8；
②若OP  OQ ，则
1
OP 2
1
OQ 2
的取值范围为 1 , 2  .则下列结论中正确的是（ ）
 
 6 9 
A.①为真②为真B.①为真②为假
C.①为假②为真D.①为假②为假
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
如图，在正三棱柱 ABC  A1B1C1 中， D 、 E 分别是棱 A1B1 、 A1 A 的中点，且 A1 A  A1B1  2 .
(第 17 题图)
求证:直线 A1B  平面C1DE ；
求点 A 到平面 A1CB 的距离.
18.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
设ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a, b, c ,且bsin  A  5  acsAcsC  ccs2 A .
6 

求角 A 的大小；


点O 、 D 分别满足OA  OB  AB  0 ， OA  OC  AC  0 ， BD  2DC ， AB  AD  0 ，求

CO  AB CO  CB  CO  CA
的值.
19.(本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1、2 小题满分各 4 分,第 3 小题满分 6 分.
2016-2025 年全国普通高中生均经费(单位：元)如下表所示：
2026 年全国两会明确,“十五五”(2026-2030 年)期间将深入实施县域普通高中振兴计划,持续增加普通高中生均经费的投入与学位供给.
设上表中 10 年生均经费的平均数为 x ，现从这 10 个数据中不放回地随机抽取两个不同的数据，已知抽取的两个数据中至少有一个低于 x ，求两个数据都低于 x 的概率；
在评估不同发展阶段的投入稳定性时，不仅看波动幅度，还需考虑增长基数，统计学中
年份
2016
2017
2018
2019
2020
生均经费
11500
12100
12800
13500
14300
年份
2021
2022
2023
2024
2025
生均经费
15100
15800
16500
17300
18100

常用变异系数 CV CV 

标准差 )来衡量相对自身水平的波动程度.将 2016-2020 作为阶段
平均数
A, 2021 2025 作为阶段 B ，分别计算 A 、 B 两阶段生均经费的标准差和变异系数(结果均精确到 0.001)，根据计算结果，你认为哪个阶段的投入更稳定；
教育经济学研究显示，生均经费每增长 1%，可带动学位供给增长 0.3%；而学位供给每增长 1%，可带动毛入学率约增长 0.5%.已知 2025 年全国高中阶段毛入学率为 92.0%，“十五五”规划目标是在此基础上再提升 2 个百分点,根据预算报告,预计“十五五”期间生均经费年增长 率可保持 5%.请据此预测 2030 年全国高中阶段毛入学率，并判断 5%的增速能否支撑规划目标的实现.
20.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题
满分 8 分.
x2y2
设a  0,b  0 ， m, t  R ，双曲线Γ : a2  b2  1 的一条渐近线方程是 y  2 2x ，点 P 为Γ 右支
上的一点,直线l 的方程是 x  my  t  0,O 是坐标原点.
若点 P 的坐标为3,8 ，求双曲线Γ 的方程；
若直线l 经过点O ，且与Γ 交于 A 、 B 两点，直线 PA 、 PB 的斜率分别为k1 、k2 ，求
k1  k2 的值；
设点 F1 是Γ 的左焦点，点 A1 、 A2 是Γ 的左、右两个顶点，直线 A1P 与直线 x  1 交于点M ，
直线l 经过点 P 与Γ 的右支交于另外一点Q ,若a  3,且直线MQ 恒过点 A2 ,求ΔF1PQ 周长的取值范围.
21.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8
分.
已知 p 、q 为实数，设函数 y  f  x 的最小值为 f  p ，函数 y  g  x 的最小值为 g q ，若
f  p  g q 且 p  q ,则称函数 y  f  x 和函数 y  g  x 是T 函数.
设函数 y  f  x 的表达式为 f  x  sinx ，函数 y  g  x 的表达式为 g  x  csx ，请判断函数 y  f  x 和函数 y  g  x 是否为T 函数，并说明理由；
设 a 、b 为正实数，函数 y  f  x 的表达式为 f  x  x2  2a 1 x  a2  2a  7 ,函数
y  g  x 的表达式为 g  x  bx 
1  b 的最小值；
a
9  x  0 ,若函数 y  f  x 和函数 y  g  x 不是T 函数，求
bx
设k 、t 、a 为实数，函数 y  f  x 的表达式为 f  x  ektx  2kt  x  0 ，函数 y  g  x 的 表达式为 g  x   x  2lnx  ax  2 ,若存在t 1, e2 ,对任意的 x 0,  ,皆有 g  x  g t  成立，且函数 y  f  x 和函数 y  g  x 是T 函数，求k 的取值范围.
参考答案
一、填空题
1. 162.4 2. 1 i
3. 3 4. 1 5. 64 6. 3
3n  n2
5 
5 
 23
9
10. 2, 10 11.  , 1   5,  12.  130 , 13 
3 
 26026 

二、选择题
13. B 14. D 15. C 16. C
三、解答题
17.（1）证明略 （2） 2 21
7
18.（1） 5 （2） 3
6
19.（1） 2
7
4
（2）阶段 A 的标准差为 991.161，变异系数为 0.077；阶段 B 的标准差为
1061.320，变异系数为 0.064， CV2  CV1 ，阶段 B 的波动相对自身基数的影响更小，因此，
阶段 B 投入更稳定 （3）预测 2030 年全国高中阶段毛入学率约为 95.81%，故 5%的增速能支撑规划目标的实现
2y2
20.（1） x  1 （2）8 （3） 108, 
8
3
21.（1） y  f  x 和函数 y  g  x 是 T 函数，理由略 （2） 4  2