2026年上海市静安区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市静安区中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．当是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（ ）
A．3，2B．6，8C．3，4D．6，4
5．直角坐标平面上有一点，其中，先将点沿着直线翻折，得到点，再将点绕着原点逆时针旋转后得到点，那么点与点的位置关系是（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线对称
6．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次联结四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（ ）
A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形
B．矩形的垂足四边形是矩形
C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形
D．菱形的垂足四边形是菱形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算： ．
8．分解因式： ．
9．已知正比例函数图象经过点，那么当自变量的值增大时，的值随之 ．（填“增大”或“减小”
10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
11．方程的解是 ．
12．我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么 ．
13．如图，在△中，点是中点，设，，那么 ．（用含向量、的式子表示）
14．为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的，那么本次调查样本的中位数为 次．
15．某十人小队进行一项抽奖活动，共准备了10张奖券，奖券上标的数字分别为：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，规定每人抽一张奖券，如果抽到的数字正好等于某一个正多边形中心角的度数，那么这位同学有奖．请写出第一个上去抽奖的同学中奖的概率是 ．
16．如果抛物线（其中、、是常数，且经过点、，那么抛物线与轴的交点坐标是 ．
17．如图，△中，点在边上，，，，那么的值等于 ．
18．如图，正方形中，点、分别在边、上，，垂足为点，已知，，那么的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足点在轴负半轴上，已知点，关于原点对称．
（1）当点的横坐标是时，求△的面积；
（2）当时，求直线的表达式．
20．（10分）如果关于的分式方程的解为正数，求常数的取值范围．
21．（10分）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点、在弓形弧上，边的长比的2倍多4米．
（1）求该弓形所在圆的半径；
（2）求的长．
22．（10分）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．
张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为元．
（1）求关于的函数解析式，并写出定义域．
（2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？
（3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？
23．（12分）如图，正方形中，点在边上，点是正方形外一点，联结、、，对角线与线段相交于点，如果，且．
（1）求证：，；
（2）当点是边的中点时，请直接写出△与△面积的比值： ．
24．（12分）如图1，四边形中，，，，．
（1）求证：△△，并求△与△的相似比；
（2）如图2，我们以直线为轴，以过点且垂直于线段的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知．
①求图象经过点、、三点的二次函数解析式；
②如果我们将（1）中△与△的关系看作是一种图形变换，这种变换是将△先绕点按顺时针方向旋转，使点落在上，点落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的倍，从而得到△，我们将△称为△的像，将△称为△的原像．
如果△是△的像，而△是△的原像，试直接写出点和点的坐标：点的坐标是 ，点的坐标是 ．
25．（14分）菱形中，点在线段上，联结、．
（1）如图1，联结交于点，若，求证：；
（2）如图2，，，点在线段上，且满足，设，，
①求关于的函数解析式，并写出定义域；
②当时，以为半径的和以为半径的是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果不相交，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
解：分式的分母不能为0，
，
解得，
因此函数的定义域为．
故选：．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用单项式乘法法则、合并同类项法则、同底数幂除法法则、负整数指数幂运算法则，对各选项逐一计算判断，即可得到正确结果．
解：根据单项式乘法法则、合并同类项法则、同底数幂除法法则、负整数指数幂运算法则逐项分析判断如下：
、，选项计算正确，符合题意；
、，选项计算错误，不符合题意；
、，选项计算错误，不符合题意；
、，选项计算错误，不符合题意．
故选：．
3．当是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可．
解：利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形逐项分析判断如下：
、当时，，0不是正数，故选项不符合题意；
、当时，，0不是正数，故选项不符合题意；
、，当时，，故选项不符合题意；
、，，，即代数式的值一定为正数，故选项符合题意．
故选：．
4．已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（ ）
A．3，2B．6，8C．3，4D．6，4
【分析】根据平均数和方差的定义解答即可．
解：一组数据，，的平均数是3，
另一组数据，，的平均数是．
一组数据，，的方差是2，
另一组数据，，的方差是．
故选：．
5．直角坐标平面上有一点，其中，先将点沿着直线翻折，得到点，再将点绕着原点逆时针旋转后得到点，那么点与点的位置关系是（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线对称
【分析】由点的坐标，结合折叠的性质，可得出点的坐标，由点的坐标，结合旋转的性质，可得出点的坐标，再对照点，的坐标，即可得出结论（画出图形，观察图形亦可）．
解：点的坐标为，，将点沿着直线翻折，得到点，
点的坐标为；
将点绕着原点逆时针旋转后得到点，
点的坐标为，
点与点关于轴对称．
故选：．
6．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次联结四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（ ）
A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形
B．矩形的垂足四边形是矩形
C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形
D．菱形的垂足四边形是菱形
【分析】对于等腰梯形、矩形、平行四边形和菱形，分别分析它们的对角线性质，再根据垂足四边形的定义判断其形状．
解：、等腰梯形的对角线相等，但不一定互相垂直，当等腰梯形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是等腰梯形，
故选项错误，不符合题意；
、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，当矩形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是矩形，
故选项错误，不符合题意；
、平行四边形的对角线互相平分，且是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，两组对边的垂足分别关于对称中心对称，故顺次连接四个垂足得到的四边形的对角线互相平分，则顺次连接四个垂足得到的四边形是平行四边形，
故选项正确，符合题意；
、菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，当菱形的对角线不相等时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是菱形，
故选项错误，不符合题意．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算： 1 ．
【分析】根据零指数幂的运算法则：计算即可．
解：，
故答案为：1．
8．分解因式： ．
【分析】直接利用平方差公式因式分解即可．
解：，
故答案为：．
9．已知正比例函数图象经过点，那么当自变量的值增大时，的值随之 减小 ．（填“增大”或“减小”
【分析】根据题意，求出的值，再结合正比例函数的性质即可解决问题．
解：由题知，
因为正比例函数图象经过点，
所以，
解得，
所以当自变量的值增大时，的值随之减小．
故答案为：减小．
10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得．
故答案为：．
11．方程的解是 ．
【分析】利用因式分解法得到或，再分别解两个无理方程，然后进行检验确定原方程的解．
解：，
或，
解得，
解得，
检验：当时，没有意义，
当时，，则为原方程的解，
所以原方程的解为．
故答案为：．
12．我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么 50 ．
【分析】延长到点，由，得到，进而求出，再根据得到．
解：如图，延长到点，
，
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，
，
（两直线平行，内错角相等），
故答案为：50．
13．如图，在△中，点是中点，设，，那么 ．（用含向量、的式子表示）
【分析】根据平面向量三角形加减运算法则计算．
解：由题意可知，，
点是中点，
，
，
故答案为：．
14．为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的，那么本次调查样本的中位数为 8 次．
【分析】根据10次的人数及其百分比可得总人数，再求出样本中“引体向上”次数为7次的人数，根据中位数的定义求解可得．
解：本次接受随机抽样调查的男生人数为（人，
样本中“引体向上”次数为7次的人数为：（人，
中位数为（次．
故答案为：8．
15．某十人小队进行一项抽奖活动，共准备了10张奖券，奖券上标的数字分别为：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，规定每人抽一张奖券，如果抽到的数字正好等于某一个正多边形中心角的度数，那么这位同学有奖．请写出第一个上去抽奖的同学中奖的概率是 ．
【分析】先确定10个数据哪些为正多边形中心角，然后根据概率公式计算．
解：正三十六边形的中心角为，正十八边形的中心角为，正十二边形的中心角为，正九边形的中心角为，正六边形的中心角为，正四边形的中心角为，
所以第一个上去抽奖的同学中奖的概率．
故答案为：．
16．如果抛物线（其中、、是常数，且经过点、，那么抛物线与轴的交点坐标是， ．
【分析】先利用抛物线的变换规律得到抛物线先右平移1个单位得到抛物线，然后把点、向右平移1个单位得到抛物线与轴的交点坐标．
解：抛物线先右平移1个单位得到抛物线，
而抛物线与轴的交点坐标为、，
抛物线与轴的交点坐标是，．
故答案为：，．
17．如图，△中，点在边上，，，，那么的值等于 1 ．
【分析】先证明△△，利用得方程，去分母得，再将方程两边同除以再移项即可．
解：，，
△△，
，
，
，
整理得，
方程两边同除以，，
，
故答案为：1．
18．如图，正方形中，点、分别在边、上，，垂足为点，已知，，那么的长为 10或13 ．
【分析】证明△和△全等得，设，，则，，由此得，则①，证明△和△相似得，则，由此得②，由①②解得，，由此得当时，，当时，，据此可得出的长．
解：四边形是正方形，
，，
，
，
△是直角三角形，
在△中，，
又，
，
在△和△中，
，
△△，
，
设，，
，，
，，
，
①，
在△和△中，
，，
△△，
，
，
②，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
的长为10或13．
故答案为：10或13．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足点在轴负半轴上，已知点，关于原点对称．
（1）当点的横坐标是时，求△的面积；
（2）当时，求直线的表达式．
【分析】（1）依据题意，先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可；
（2）依据题意，设点的坐标为，，则点的坐标为，故，又点与关于原点对称，可得，又在△中，，可得，结合，从而，故（正值舍去），进而，，，，再由待定系数法计算可以得解．
解：（1）点在反比例函数的图象上，轴于点，
，
点，关于原点对称，
，
；
（2）由题意，设点的坐标为，，
点的坐标为．
．
又点与关于原点对称，
．
在△中，，
．
又，
．
（正值舍去）．
，，，．
设直线的表达式为，
，
．
直线的表达式为．
20．（10分）如果关于的分式方程的解为正数，求常数的取值范围．
【分析】先解分式方程得出，结合题意得出，即可得到，再结合分式方程分母不能为零，计算得出，即可得出结果．
解：关于的分式方程的解为正数，
方程两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
解得，
由题意可得：，
解得，
，
，
，
，
综上所述，常数的取值范围且．
21．（10分）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点、在弓形弧上，边的长比的2倍多4米．
（1）求该弓形所在圆的半径；
（2）求的长．
【分析】（1）如图，设圆心为，连接．设的半径为米，则米，米，利用勾股定理构建方程求解；
（2）连接，设交于点，设米，则米，利用勾股定理构建方程求解．
解：（1）如图，设圆心为，连接．
设的半径为米，则米，米，
，
（米，
在△中，，
解得．
答：该弓形所在圆的半径为25米；
（2）连接，设交于点，设米，则米，
，
米，
在△中，，
整理得，
解得或（舍去）．
米．
22．（10分）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．
张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为元．
（1）求关于的函数解析式，并写出定义域．
（2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？
（3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？
【分析】（1）先算出4月总就餐60顿，每顿九折后元，总消费元，用卡面金额减消费额得，再由余额非负求范围；
（2）已知月底余额108元，将代入函数解析式，解方程求出每餐标价的值；
（3）先由九折消费1080元算出原价总额，再用原价总额减实际支付的1000元，得到总优惠金额．
解：（1）4月共30天，每天2餐，总就餐次数为：顿，每顿九折后扣款：元，
总扣款：元，
卡内余额：，
由，得，
又，
故定义域为，
综上，函数解析式为；
（2）依题意，，
代入解析式：，
解得，
答：他该月每餐标价是18元；
（3）卡内1080元全部用完，即九折后消费1080元，原价总额为：元，
张爷爷实际支付1000元，
总优惠：元，
答：他实际共获得200元优惠．
23．（12分）如图，正方形中，点在边上，点是正方形外一点，联结、、，对角线与线段相交于点，如果，且．
（1）求证：，；
（2）当点是边的中点时，请直接写出△与△面积的比值： 10 ．
【分析】（1）先证明△△，得，再证明△△，得△是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边是直角边的倍，即可证明；
（2）先证明△△，再证明△△，设，得，，最后利用求解即可．
【解答】（1）证明：是正方形的对角线，
，
，
，即，
，
，
△△，
，
，
，即，
，
，
△△，
△是等腰直角三角形，
；
（2）解：，，
△△，
，
，
，
△△，
点是边的中点，
设，则，
，，
．
故答案为：10．
24．（12分）如图1，四边形中，，，，．
（1）求证：△△，并求△与△的相似比；
（2）如图2，我们以直线为轴，以过点且垂直于线段的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知．
①求图象经过点、、三点的二次函数解析式；
②如果我们将（1）中△与△的关系看作是一种图形变换，这种变换是将△先绕点按顺时针方向旋转，使点落在上，点落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的倍，从而得到△，我们将△称为△的像，将△称为△的原像．
如果△是△的像，而△是△的原像，试直接写出点和点的坐标：点的坐标是 ，点的坐标是 ．
【分析】（1）导角易证△与△相似，根据，以及对应线段的比例关系，可以得出相似比；
（2）①在（1）的背景下“建系”，通过（1）的计算和证明再通过解三角形可以标出点、、的坐标，进而求出过这三点的函数解析式；
②引入了新的定义，其本质就是图形的旋转和相似．根据①计算可知△和△是底角为的等腰三角形．因此根据定义，可知△是以为底的底角为的等腰三角形；而△是以为腰的底角为的等腰三角形，通过解三角形的相关计算可以求得、的坐标．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
△△，
，即，
相似比；
（2）解：①过点作于点，
由（1）得，，
则，
即、．
则，
，
设二次函数解析式为，
则有，
解得，
二次函数解析式；
②如图，过作轴于点，过作于点，
由①可知，则，
由题意可知，，
在△中，，，
，
即；
由题意可得，，，
，，
即．
故答案为：；．
25．（14分）菱形中，点在线段上，联结、．
（1）如图1，联结交于点，若，求证：；
（2）如图2，，，点在线段上，且满足，设，，
①求关于的函数解析式，并写出定义域；
②当时，以为半径的和以为半径的是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果不相交，请说明理由．
【分析】（1）由等边对等角可得，由菱形的性质可得，，再证明点、、、四点共圆，得出，即可得证；
（2）①作，交的延长线于点，由菱形的性质可得，，求出，可得，由勾股定理可得，再证明△△，由相似三角形的性质计算即可得出结果；
②当时，，则，，结合得出以为半径的和以为半径的相交，设两圆相交于，连接、、、，连接交于点，则，，由垂径定理可得，，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果．
【解答】（1）证明：，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
点、、、四点共圆，
，
；
（2）解：①如图，作，交的延长线于点，
四边形为菱形，
，，
，
，
，，
，
，
，，
△△，
，
；
②当时，，
，，
，且，
以为半径的和以为半径的相交，
如图，设两圆相交于，连接、、、，连接交于点，
则，，
由垂径定理可得：，，
设，则，
，，
，
解得：，
，
，
．