2026苏州高一下学期期中调研数学试题含解析

这是一份2026苏州高一下学期期中调研数学试题含解析，共11页。试卷主要包含了04， 的值为， 已知，为第二象限角，则的值为， 在中，点是中点，记，，则， 飞行器飞行中的地速， 对于函数与，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
2026.04
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】.
2. 在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】在，，，，
则，
所以.
3. 已知，为第二象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因，为第二象限角，则，
于是.
4. 设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且与同向，则
B. 若，则
C. 若，是两个单位向量，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【详解】对于A，因向量有方向，不能比较大小，故A错误；
对于B，不妨取,则，但不是相等向量，故B错误；
对于C， 由，是两个单位向量，可得，
因的大小未知，故得不到，即C错误；
对于D，由两边取平方，可得，
整理得，故，即D正确.
5. 在中，点是中点，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】点是中点，
，，
，，，，故选项A正确.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用两角和余弦公式结合同角三角函数关系计算，最后应用两角差余弦公式求解.
【详解】因为，所以，
又因为，则，即得，
所以，且，
则.
7. 飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地速对应的向量为，则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：）（ ）
A. 400B. 450C. 560D. 630
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意设出，，得到，代入向量坐标，求得，利用向量的模的公式计算即得.
【详解】设飞行器飞行中的地速向量为，飞行器相对于周围空气的空速和风速向量分别为，
由已知可得，且，，
所以，
故.
8. 已知函数，，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目条件平面建系设出、、并判断所在象限，再用辅助角公式化简并结合所在象限求解即可.
【详解】由题意可知，且和中，一个大于0，另一个小于0，
不妨设，由函数可知．
不妨设，，，，
所以，，所以
所以，
则有，
因为，所以，
所以，可得，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数与，下列说法正确的有（ ）
A. 与有相同的最小正周期B. 与有相同的对称轴
C. 与有相同的最值D. 与有相同的零点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正弦型函数的周期、对称轴与零点，最值计算逐一判断即得.
【详解】对于A，由正弦型函数的周期公式，易得两函数的周期都是，故A正确；
对于B，对于，由可得其对称轴为；
对于，由可得其对称轴为，
由可得，该方程显然无整数解，故与没有相同的对称轴，即B错误；
对于C，由正弦型函数的性质可知两函数的最大值为1，最小值为，故C正确；
对于D，由，可得，即，
而由可得，即，
由，可得，显然该方程无整数解，故与没有相同的零点，故D错误.
10. 窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（ ）
A. B. 与的夹角为
C. 在方向上的投影向量为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用图形对称性易得点为的中点，即可判断A；建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，利用向量夹角的坐标公式计算判断B；根据投影向量定义列式计算判断C；利用向量数量积的运算律计算判断D.
【详解】
对于A，如图连接，由图形对称性可得经过点，且被点平分，
故有，即得，故A正确；
对于B，如图，以正方形的中心为坐标原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系.
则，则，
因，则，故B错误；
对于C，在方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，因，
则，故D正确.
11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（ ）
A. 的外接圆半径为1B.
C. D. 可能为钝角三角形
【答案】ABC
【解析】
【分析】由正弦定理有结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合判断B；由面积公式及基本不等式判断C；利用余弦定理及正弦定理判断D.
【详解】A：设的外接圆半径为，
因为的面积为，
所以，故A正确；
B：由，即，B选项正确；
C：由，则，当时取，
所以，当且仅当且时取等号，C选项正确；
D：若为钝角三角形，设为钝角，，即得，
由C选项知，所以，即，
又因为，所以，所以与矛盾，假设不成立，
同理B，C也不可能为钝角，D选项错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，且，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】应用向量平行坐标关系计算求解.
【详解】因为向量，，且，
则
则.
13. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】先应用二倍角正弦公式计算化简得出，再应用二倍角正切公式计算求解.
【详解】因为，
所以，所以，所以，
则.
14. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点.若，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】设，得到，根据B，T，F三点共线，得到，再用表示向量，最后应用数量积运算律计算得出，结合模长公式求解；
【详解】设，且B，T，F三点共线，
，解得；同理；
由E，F分别是边AD和DC上的中点，由三角形相似可得R，T分别是线段BE、BF上的三等分点，
又，所以，
又因为，所以
即得，所以，
所以，即得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量是夹角为的单位向量，，．
（1）求及的值；
（2）求与的夹角的大小．
【答案】（1）;
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的定义易得，再由向量数量积的运算律即可求得；
（2）利用向量夹角的计算公式计算即可.
【小问1详解】
依题意，，
由可得；
【小问2详解】
因，
，，
则，因，故，
即与的夹角为.
16. 已知向量，，设函数，且的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求的值，并直接写出在上的单调增区间；
（2）若，，且，求的值．
【答案】（1）；和；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的运算律与三角恒等变换得到，结合函数周期求出的值，再由正弦函数的单调递增区间与给定区间求交即得；
（2）由条件和诱导公式求出，再由角的范围求出，根据和角的正弦公式计算即得.
【小问1详解】
，
因的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则，解得，
，
由可得，
因，故在上的单调增区间为和；
【小问2详解】
，
又，，则得，
于是，
则，
因，故.
17. 记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求bc的值；
（2）若的面积为，求的值．
【答案】（1）1 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理结合条件推得或，再由锐角三角形即可确定答案；
（2）先推得，根据正弦定理化简待求式，并统一为角的三角函数，利用差角公式化简即得.
【小问1详解】
由和余弦定理，可得，
则有或，
由可得，即，这与锐角矛盾，故；
【小问2详解】
由（1）知故，则，可得，
因，故，
因，则，
由正弦定理，
.
18. 如图，在河流一侧农田里有两个灌溉点A，B，它们到河岸线l的距离都为3百米．为了铺设管道取水，计划在河岸线l上找一点Q修建抽水点，在AB与l之间修建中转接水点P，设计铺设三条直线管道PA，PB，PQ，其中百米，，．记铺设管道的总长度为y百米．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（ⅰ）设，将y表示成的函数；
（ⅱ）设百米，将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值．
【答案】（1）
（ⅰ），.
（ⅱ）
（2）选用（ⅰ），最小值为米；选用（ⅱ），最小值为米
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）求出，利用正弦定理求出，求出到直线的距离为，从而求出，于是铺设管道的总长度为，利用两角和差的正弦公式和二倍角的正余弦公式求解即可；
（ii）设百米，则到直线的距离为百米，利用三角形面积求出，从而得到利用余弦定理求出，从而得到，继而得到，从而求出，即可得到，求出即可得解.
（2）若选用第（1）问中的第（i）个函数关系式，设，则，求出的范围，则函数转化为，设，则转化为，利用二次函数的图像和性质求出最小值；若选用第（1）问中的第（ii）个函数关系式，利用换元法，结合二次函数的单调性求出的最小值.
【小问1详解】
在中，
由正弦定理，
所以
又因为 ，且到河岸线的距离都为百米，
所以与的距离为3百米，
到直线的距离为，
故，
于是铺设管道的总长度为
，
所以，.
，.
（ii）设百米，
则到直线的距离为百米，
在中，
又因为
所以
由余弦定理，
因为，所以
代入，得
从而，
所以
于是
又因为
所以
即
解得
又由于点在与之间，所以
故自变量的取值范围为
所以.
【小问2详解】
若选用第（1）问中的第（i）个函数关系式：
，.
设，则，
，，，
转化为
即
设，，，
转化为，
对称轴为，开口向下，
在上是单调递减函数，
当时，取最小值，且最小值为.
故铺设管道总长度的最小值为百米，即米.
若选用第（1）问中的第（ii）个函数关系式：
，
设，则，，
，，，
，，，
转化为，
对称轴为，开口向下，在上是单调递减函数，
当时，取最小值，且最小值为，
故铺设管道总长度的最小值为百米，即米.
19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求角A的大小；
（2）当时，
（ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值；
（ⅱ）求值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理对进行转化，得出，再由角的范围得出角即可；
（2）（ⅰ）运用余弦定理得出，再应用向量基本定理结合为重心得出，最后应用数量积公式及运算律结合基本不等式计算求解；（ⅱ）应用数量积公式计算结合正弦定理化简，再应用三角恒等变换化简求解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，，
即，
整理得.
因为，所以，
所以，即，化简.
又因为，所以，即得.
【小问2详解】
由余弦定理得，且，即得，即，
在中，，所以，
，
所以
，
因为，所以，解得，当且仅当时取等号.
所以，所以当且仅当时取最大值.

（ⅱ）由正弦定理，得，
又因为，所以，
所以
，
所以，所以.