江苏省苏州市2024-2025学年高一下学期期中调研数学试题（解析版）

这是一份江苏省苏州市2024-2025学年高一下学期期中调研数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了 函数的最小正周期是， 在平行四边形中，， 已知，则， 函数图象的一个对称中心是， 中，，那么， 在中，， 已知平面内两个非零向量与，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数，所以，故函数最小正周期为.
故选：B.
2. 在平行四边形中，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.故选：C
4. 函数图象的一个对称中心是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，解得，
当时，，所以函数图象的一个对称中心是.
故选：D.
5. 中，，那么（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】由正弦定理，得，则，即，因为，所以，则.故选：A.
6. 某简谐运动可以用函数表示，把该函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的初相等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数的图象向右平移个单位后，
得到函数，所以函数的初相等于.
故选：C.
7. “七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形的边长为4，点分别是线段的中点，则（ ）
A. B. C. 14D. 20
【答案】C
【解析】以为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，
如图所示，
因为正方形边长为4，且点分别是线段的中点，
可得，则，
所以.
故选：C.
8. 在平面直角坐标系中，曲线与单位圆的交点个数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】的最小正周期为，其中，故在单位圆上方，
同一坐标系内画出单位圆和的图象，
在左右两边会有两个交点，为④和⑤，可以看出共有8个交点.故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若是锐角，，则为锐角三角形
【答案】ACD
【解析】对于A，设外接圆的半径为，
若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确；
对于B中，因为，可得，且，
若，可得或，即或，
所以为等腰或直角三角形，所以B错误；
对于C中，因为，可得，
若，则，可得，即为钝角，
所以为钝角三角形，所以C正确；
对于D中，因为，可得
若，可得，
由函数在上为单调递增函数，所以，即，
又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确.故选：ACD.
10. 已知平面内两个非零向量与，则（ ）
A.
B.
C. 存在以为边长的三角形
D. 两个不等式与中至少能成立一个
【答案】AC
【解析】对于A，设非零向量与的夹角为，
由平面向量数量积的定义得，
而，
得到，故A正确，
对于B，令，则，
由向量的模长公式得，，
即不成立，故B错误，
对于C，令，则，
由向量的模长公式得，，
得到，即存在以为边长的三角形，故C正确，
对于D，令，则，，
此时不满足，也不满足，
即不满足两个不等式与中至少能成立一个，故D错误.
故选：AC
11. 已知函数，则（ ）
A. 是偶函数
B. 是周期函数
C. 当时，在区间上有最大值
D. 当时，恒成立
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，
所以是偶函数，故A正确；
对于B，当时，，是周期函数；
当时 ，由周期函数的定义可知，若是周期函数，
则有，
已知的周期都是，
但是使得的非零常数值却不存在，
所以不一定是周期函数，故B错误；
对于C，，
当时，，，有，，
所以，所以上单调递减，又因为是偶函数，所以在上单调递增，
由图象的对称可知当时，取得最大值且，故C正确；
对于D，当时，令，
则，
令，可得，所以当，，单调递增，当，，单调递减，所以，即恒成立，
故D正确.故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数在一个周期内的图象如图所示，则__________.
【答案】
【解析】观察函数图象，得，函数的最小正周期，
解得，
由，得，而，则，
则，所以.
故答案为：
13. 在内部（不包括边界）有点，满足，请写出一个满足题意的实数的值__________.（只要填写一个即可）
【答案】（答案不唯一，只要介于0和1即可）
【解析】如图所示，
取点为的三等分点（靠近点），可得，
再取点为的三等分点（靠近点），点为的三等分点（靠近点），
分别连接，则，所以四边形为平行四边形，
由，可得，即，
设，可得，由平行四边形法则，当点在上运动时，可得点在直线，
要使得在内部（不包含边界），在点在线段上运动（不包含端点），
所以，解得，所以其中一个可以是.故答案为：（答案不唯一，只要介于0和1即可）
14. 钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于__________.
【答案】
【解析】 依题意，
，而是钝角，所以.故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，，设.
（1）用分别表示；
（2）若，求.
解：（1）由，所以，
所以，
.
（2）因为，所以，
所以.
16. 在中，角的对边分别为.三个内角满足.
（1）求角的值；
（2）如果，并且，求的周长.
解：（1）在中，因为，
所以.
因为，所以，
即，
所以，
即，又因为是三角形的内角，所以，
所以.
（2）由余弦定理可得，
因为，，所以，又因为，
所以，
解得或（舍去），所以，所以的周长为.
17. 已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）若，求的值.
解：（1）依题意，，
由，得，则，
所以函数的值域是.
（2）由（1）得，而，
则，因此，，
，所以
.
18. 如图，某休闲用地的中央区域是边长为2（百米）的等边三角形，外围是以，为圆心，2（百米）为半径的圆弧.管理部门在矩形的三边安装灯带（其中在圆弧上，都在线段上），记.
（1）写出灯带的总长度关于的函数，并求出该函数的值域；
（2）管理部门还准备在矩形内部建造一个圆形喷泉，试求圆形喷泉半径的最大值.
解：（1）在直角三角形中，有，
于是，由对称性得，
所以，
所以灯带长，
，其中，
则，由正弦函数性质得，
则灯带总长度的值域是.
（2）由题意得最大的圆的直径是矩形的两边中的较小者，
则，故.
令，得到，
解得（舍）或，故，记锐角满足，于是当时，单调递增；当时，单调递减，
的最大值等于.故圆形喷泉半径的最大值为（百米）.
19. 已知函数是正整数，.
（1）求函数的值域；
（2）记，解不等式；
（3）当时，求的最大值和最小值.
解：（1）由题意，，
记，有开口向下，对称轴为，
所以，时，单调递增，时，单调递减，
故的最大值等于的最小值等于，
所以的值域为.
（2）由题意，
，
于，
解得因为，所以
则或者，
所以，即，
所以原不等式的解集为.
（3）当时，函数在上单调递增，
所以的最大值为，最小值为.
当时，函数所以函数的最大，最小值均为1.
当时，函数在上单调递增，
所以的政大值为，最小值为.
当时，函数在上单调递减，
所以的最大值为，最小值为.
下面讨论正整数的情形：
当为奇数时，，
对任意且，由于，
以及，
所以，从而.
所以在上单调递增，则的最大值为，最小值为.
经验证，时，也适合上述结论.
当为偶数时，
一方面因为则有.
另一方面，由于对任意正整数，因为，，
则有
，
，.
函数的最大值为，最小值为.
经验证，时，也适合上述结论.
综上所述，当为奇数时，函数的最大值为0，最小值为；
当为偶数时，函数的最大值为1，最小值为.