江苏省苏州市2023−2024学年高一下学期期中调研 数学试题（含解析）

这是一份江苏省苏州市2023−2024学年高一下学期期中调研 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知单位向量的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．3
3．i是虚数单位，则的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
4．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．3D．6
6．下列命题正确的是（ ）
A．
B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C．在中，是为锐角三角形的充要条件
D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心
7．苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ）
A．350米B．400米C．450米D．500米
8．在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．，是复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是纯虚数
B．若，则
C．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若，则
11．已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ）
A．的面积为定值B．使得
C．的取值范围是D．的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ．
13．中，若，则 ．
14．已知的外接圆半径为1，则的最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2.
(1)求复数；
(2)设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.
16．已知向量，不共线，点P满足，x，.证明：
(1)若，则点P是线段AB的中点；
(2)是A、B、P三点共线的充要条件.
17．在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的面积的取值范围．
19．某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．
(1)如图1，求的最小值；
(2)如图2，证明：为定值；
(3)如图3，证明：到的距离为定值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】复数在复平面内对应点，位于第四象限.
故选：D.
2．【答案】C
【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解.
【详解】由已知有，，
故.
故选C.
3．【答案】B
【详解】，共轭复数为.
故选：B
4．【答案】C
【详解】由正弦定理，
所以，，
则.
故选：C
5．【答案】A
【详解】在上的投影向量为.
故选：A
6．【答案】D
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量，
故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误；
对于C：由，即，即，
又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立，
故C错误；
对于D：由，可得
又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形，
点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角，
故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确.
故选：D
7．【答案】C
【详解】在中，由正弦定理得：，
即，
又，所以，
所以金融中心的高度为
.
故选：C
8．【答案】B
【详解】因为在上，为的中点，
设，
因为，，三点共线，所以，
因为、不共线，
所以，解得，
所以．
故选：B．
9．【答案】ACD
【详解】对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理可得，故A正确；
对B，若，则，，，故B错误；
对C，在中，，又在上为减函数，故，故C正确；
对D，由A可得，若，则，则，故，即，故D正确.
故选：ACD
10．【答案】AC
【详解】设，，
对于选项A：若，则，可得或，
当时，，则；
当时，，不符合题意；
综上所述：，，
所以是纯虚数，故A正确；
对于选项B：例如，则，符合题意，
但，故B错误；
对于选项C：若，则，可得，，
可知在复平面内对应的点的坐标为，即，
且在复平面内对应的点的坐标为，
所以，在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；
对于选项D：若，，
则，，满足，
但、的大小无法比较，故D错误．
故选：AC．
11．【答案】AC
【详解】对A，由可得，
即，可得，
因此，在正六边形的对角线上运动，
所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故A正确；
对B，因为正六边形关于对角线对称，故，故B错误；
对C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值，
当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确；
对D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离，
又当时，PC有最小值，故D错误.
故选：AC.
12．【答案】/
【详解】由题意若与共线，则，
则，因为为两个不共线的非零向量，故，
解得.
故答案为：
13．【答案】
【详解】中，若，则，则.
故
.
故答案为：
14．【答案】/
【分析】根据题意利用正弦定理算出，，从而得到，利用三角恒等变换公式化简，可得，进而利用二次函数的性质算出的最小值．
【详解】根据题意得，当为钝角时，，有，
因此，当取得最小值时，，即为钝角．
若的外接圆半径，则，可得，，
又，
所以
，
因为，当时，有最小值，
所以当且时，即，时，有最小值．
故答案为：/-0.5.
【关键点拨】利用积化和差将变形为,
从而得到=，再结合二次函数的性质求出最小值.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，，，
由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以.
（2），，，
所以对应的点，，，从而，，.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为的，所以，即，
所以，所以，所以P是线段AB的中点.
（2）充分性：
若，则，所以，
所以，所以，
所以A、B、P三点共线；
必要性：
因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：，
所以，即，
所以，所以
综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，可知，
因为，
故可设点的坐标为，
则有，所以，
又为锐角，所以，
因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，
所以，则，
所以；
（2）由（1）知，
，
所以，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，
所以．
18．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理与勾股定理可得，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）设，由余弦定理可得，再根据正弦定理可得，进而可得，再结合求解即可.
【详解】（1）在中由余弦定理，
所以，则，所以.
又因为为等边三角形，所以，且，
所以.
（2）不妨设，在中，由余弦定理
，
.
在中，由正弦定理，即，所以.
所以
，
又因为，所以，所以，
即的面积的取值范围为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）设，，则，，
的周长为，
，
所以，
又，，
，
当，即时，取得最小值，且的最小值为；
（2）设，，，
则，，
，，，
的周长为，
，
，
，
，又，，
，
，
，为定值；
（3），
，
，，
，
又，，
，
，
，
由（2）知，
，
，即到的距离的定值为．