2026届广东省佛山市南海区3月高三下统一测试数学试卷（学生版）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数的虚部是（ ）
A. 1B. C. D.
3. 记的内角，，的对边分别为，，，设甲：为等腰三角形，乙：，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4. 若，则（ ）
A. 40B. 41
C. D.
5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（ ）
A. 函数是偶函数
B. 函数在上单调递减
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 已知正方体的棱长为2，为的中点，为上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 三棱锥的体积为定值
10. 设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的两条渐近线夹角为
B. 的最小值为
C. 当时，的面积为1
D. 的周长最小值为
11. 已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（ ）
A. 数列为递增数列
B. 的最小值为32
C. 若，则的最小值为2649
D. 若，则的最大值为86
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________．
13. 记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________．
14. 函数在区间上存在零点，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，，且恒成立．
（1）求的解析式；
（2）记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求．
16. 如图，和所在平面垂直，且，．
（1）证明：；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值．
17. 现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为．
（1）求；
（2）当时，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）求随机变量的数学期望．
18. 已知函数，其中为正实数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：．
19. 设椭圆的上焦点为，过且斜率为的直线与该椭圆交于，两点．当与轴垂直时，有，其中为坐标原点．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设点，且满足：对任意的斜率，都有．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）定义：若无穷数列是公比为的等比递减数列，则其所有项之和为，其中为数列的首项．记的面积为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）．