浙江省杭州地区（含周边）重点中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省杭州地区（含周边）重点中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，已知，函数是偶函数，则，已知，则，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题：临安中学 郭立军､吴朝炜 审校：奉化中学 周科瑜 桐庐中学 方婷华 校稿：李慧华
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.已知复数满足，则（ ）
A.B.2C.D.4
2.已知全集，集合，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，若，则（ ）
A.B.
C.D.
4.下列椭圆中，形状最接近于圆的是（ ）
A.B.
C.D.
5.已知，函数是偶函数，则（ ）
A.-2B.-1C.1D.2
6.已知，则（ ）
A.B.
C.D.
7.直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（ ）
A.2B.C.D.4
8.设是自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.平面
B.
C.平面平面
D.平面平面
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.是的极值点
B.时，有3个零点
C.时，
D.时，过原点可作两条不同直线与图象相切
11.若数列满足，则称数列为项数列，所有项数列构成的集合记作，对任意数列（注：可以相同），记随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A.中有81个元素
B.若，则的所有可能取值的个数为7
C.当时，
D.若的期望，则的最小值为67
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知某圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积为__________.
13.若多项式，则__________.
14.设抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的外接圆与轴的另一个交点为，则的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知等差数列满足，数列的前项和为满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）在中，角所对的边分别是，已知，.
（1）求；
（2）若上一点满足，且，求的面积.
17.（本小题满分15分）如图1，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图2所示.
（1）证明：平面平面；
（2）设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长.
18.（本小题满分17分）设双曲线的右焦点为，已知到一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线被所截得的弦长为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设是双曲线上一点，已知双曲线在处的切线的方程为.
（i）已知分别交两条渐近线于两点，求证：（为坐标原点）面积是定值；
（ii）若在第一象限，设与直线交于点，证明：平分.
19.（本小题满分17分）已知函数是自然对数的底数.
（1）若，判断在区间上的单调性，并说明理由；
（2）若，证明：在区间上有唯一极小值点，且；
（3）若，已知在区间上恰有两个零点，设，记在上的最小值为，证明：.参考数据：.
2025学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学
高二年级数学学科参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.10 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.【答案】
（1）由题意得，解得
由得到，两式相减得，
，即
又是首项为，公比为2的等比数列
（2）由条件得
由题意①，
于是②
①-②得
化简上式得
16.【答案】
（1）由，得到，即，于是
由得到
，于是，即
结合条件可得，故.
（2）由题意得.
由正弦定理得，
于是
故的面积为.
17.【答案】
（1）如图1，分别取中点中点，连结
显然
由条件得.又平面平面
又平面，故平面平面
（2）由（1）知，平面，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则
设，
则
设平面的一条法向量为，由得
令，则，即
又平面的一条法向量为，设二面角的大小为，由为锐角，得
化简得，解得或（舍）
则，
故.
18.【答案】
（1）由题意得，解得，双曲线的方程为
（2）（i）联立，解得
联立，解得，
由于，所以
所以的面积
（ii）法1：
要证明平分，即证
只需证，
只需证，即证
易知，当时，解得，故
又，故原命题得证.
法2：易知，当时，解得，故
由于
设
则
要证明平分只需证与共线
即证
即证，显然成立
平分
19.【答案】
（1）当时，，则
由于，于是，故在区间上递增.
（2）当时，，
①当时，显然在上递增，且
∴由零点存在定理知必存在使得
②当时，可得
由上述讨论可知在递减，递增，
故是唯一极小值点，且有
则
（3）当时，
①，显然，即不存在零点，故不合题意；
②当时，由于于是至少3个零点，故不合题意.
结合条件，可得
由于，
由条件得，则
①当时，时，恒成立；
②当时，.
在递减，
当时，
，
，综上所述，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
D
A
C
C
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
ABC