浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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高二年级数学学科试题
命题：奉化中学丁少杰、孙圣审题：临安中学方铭象山中学许泽建校稿：求莲
萍
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟：
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名，座位号写在指定位置：
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效：
4．考试结束后，只需上交答题卷。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 复数，则复数在复平面内的对应点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若为一组从小到大排列的数 1，2，3，5，7，8，11 的第上四分位数，则二项式的展开式
的常数项是（）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（）
A. B. C. D.
5. 有两个盒子，第一个盒子恰有 1 个红球，4 个黄球，第二个盒子恰有 2 个红球，3 个黄球．现从这两个盒
子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出 2 个球，则这 2 个球都是黄球的概率为（）
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A. B. C. D.
6. 已知函数为自然对数的底数，），若直线是图象的
切线，则的值为（）
A. B. 1 C. D.
7. 长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面
（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若当且仅当，则的最小值为（）
A. 2 B. 0 C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．
9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）
A 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则
C. 若，则与相互独立 D. 若，则
10. 已知，且，若，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
11. 是定义在区间上的函数，若存在二元函数满足：
① 且；
② ：
则称为在上的“面积”系统．下列说法正确的是（）
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A. 若为常数，则在上有唯一的“面积＂系统
B. 若为在上的“面积”系统，则
C. 是在上的“面积”系统
D. 若则上有无数个“面积”系统
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 用 0，1，2，3，4，5 六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成_______个四位数．
13. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为_______．
14. 已知是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点满足
，则该双曲线的离心率为_______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的公差不为 0 ，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前 n 项和 .
16. 在中，分别是角的对边，已知是锐角，且．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求面积最大值．
17. 如图，已知是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆上任意一点．
（1）求证：平面；
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（2）若，二面角的大小为，则是否存在点满足，
，使得且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18. 已知椭圆的离心率为为的左，右焦点，为的右顶点，为
的上顶点，且周长为，直线交于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率之积恒为，求证：直线恒过定点．
（3）若直线恒过，则否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说
明理由．
19. “田忌赛马”我国历史上有名的“以弱胜强”的事例．齐王有匹马，田忌有匹马
，且这匹马在比赛中的胜负可用如下不等式表示：
① 且；
② 且．
这里，表示“ 马与马比赛，马获胜”．一天，齐王找田忌赛马，约定：每局比赛双方各出一匹马，
比赛过的马不能再次上场，共赛局，并记田忌在局比赛中获胜局数为．
（1）求的分布列与期望；
（2）分别求通项公式；
（3）求证：．
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