江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高一下学期4月期中数学试卷含答案（word版）

这是一份江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高一下学期4月期中数学试卷含答案（word版），共19页。试卷主要包含了 下列命题正确的是， 下列等式正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。
2. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。
3. 作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
第 I 卷(选择题共 58 分)
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的 四个选项中, 只有一项是符合题目要求, 请在答题纸的指定位置填涂 答案选项)
1. 若复数 z=i2−2i ，则复数 z 的虚部是( )
A. 2 B. i C. -2 D. i2
2. 已知点 A1,−2,B2,3 ,则向量 BA=
A. 3,−1 B. 1,5 C. 3,1 D. −1,−5
3. 在 △ABC 中, AB=2,AC=1,csA=14 ,则 BC= ( )
A. 53 B. 1 C. 2D. 153
4. 下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=1,1,e2=2,2 B. e1=3,−2,e2=−6,4
C. e1=1,2,e2=2,3 D. e1=0,0,e2=−1,3
5. 已知向量 a=3,1,b=2,2 ，则 cs⟨a+b,a−b⟩= ( )
A. 1717 B. 117 C. 55 D. 255
6. 设 △ABC 中的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 acsC+ccsA=bsinB ，则 △ABC 的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知 sinα+β=−13 ，且 sinαcsβ=16 ，则 cs2α−2β= ()
A. −59 B. 19 C. −29 D. 49
8. 平面向量 a,b 满足 a−b=3,a=2b ,则 a−b 与 a 夹角取最大值时 a 为( )
A. 23 B. 3 C. 22 D. 2
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题 给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对 的得部分分, 有选错的得 0 分, 请在答题纸的指定位置填涂答案选项)
9. 下列命题正确的是( )
A. 若 a//b ，则存在唯一实数 λ 使得 a=λb
B. “ a=b ” 是 “ a=b ” 的必要不充分条件
C. 不同向的向量不能比较大小，同向共线的可以
D. 若点 G 为 △ABC 的重心，则 GA+GB+GC=0
10. 下列等式正确的是( )
A. 2tan22.5∘1−tan222.5∘=1 B. 2−cs220∘3−sin50∘=12
C. sin37.5∘cs7.5∘−cs37.5∘cs97.5∘=12 D. 若 1+csθsinθ=2+3 ，则 tanθ2=2−3
11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长, 求三角形的面积的问题, 其求法是: “以小斜幂并大斜幂减中斜幂, 余半之, 自乘于上. 以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. ”若把以上这段文字写成公式，即 S=14c2a2−c2+a2−b222 ,现有 △ABC 满足 sinA:sinB:sinC=2:7:3 ,且 S△ABC=63 , 则( )
A. △ABC 三个内角 A,B,C 满足关系 A+C=2B
B. △ABC 的周长为 10+27
C. 若 ∠B 的角平分线与 AC 交于 D ,则 BD 的长为 635
D. 若 E 为 △ABC 外接圆上任意一点,则 AE⋅AC 的最大值为 14+2833
第 II 卷(非选择题共 92 分)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知向量 a,b 不共线， m=a−3b ， n=2a+xb ， m//n ，则实数 x= _____.
13. 已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 sin2θ+π4 的值为_____.
14. 如图 1 是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物. 某博古架的部分示意图如图 2 中实线所示,网格中每个小正方形的边长为 1,设 Z 为线段 AK 上任意一点，则 UZ⋅KZ 的取值范围是_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤)
15. 已知向量 a=−1,0,b=m,1 ，且 a 与 b 的夹角为 π4 .
(1)求m；
(2)若 a+λb 与 a+2b 所成的角是锐角，求实数 λ 的取值范围.
16. 在 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 a=3,b=1,c=7 .
(1)求角 C 的大小；
(2)求 sinA+C 的值.
17. 已知 a∈0,π2,β∈π2,π,tanα=34,csα−β=513 .
(1)求 sinαsinα+csα2cs2α−1 的值； (2)求 csβ 的值.
18. 已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边， acsC+3asinC−b−c=0 (1)求角 A ；
(2)若 a=2,ΔABC 的面积为 3 ，求 b,c ；
(3)若 a=3 ，且 △ABC 为锐角三角形， D 为 BC 的中点，求中线 AD 的取值范围.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题, 该问题是: “在一个三角形内求作一点, 使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. ”意大利数学家托里拆利给出了解答: 当 △ABC 的三个内角均小于 120∘ 时,使得 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘ 的点 O 即为费马点; 当 △ABC 有一个内角大于或等于 120∘ 时,最大内角的顶点为费马点. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,AB−AC=AB+AC .
(1)求A；
(2)若 b=1,c=2 ，且点 P 为 △ABC 的费马点，求 PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA ；
(3)设点 P 为 △ABC 的费马点， PB+PC=tPA ，求 t 的最小值.