四川省泸州市泸县2025_2026学年高二数学下学期开学检测试题含解析

这是一份四川省泸州市泸县2025_2026学年高二数学下学期开学检测试题含解析，共31页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁.等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2．考生必须保持答题卡的整洁.
第I卷 选择题（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将方程化简为标准形式，求出的值，根据定义求准线方程即可.
【详解】由方程，则，则，所以抛物线开口向下，所以准线方程为.
故选：C
2. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出.
【详解】直线斜率为，
又直线过点，，即.
故选：C.
3. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为 （ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆与轴相切求得半径，根据圆的标准方程即可得到答案.
【详解】圆心到轴的距离，
由题意知，圆的半径，
所以与轴相切的圆的方程为.
故选：B.
4. 已知直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论.
【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性；
当时，，，当时，，，
当时，显然，∴，即，∴，∴或，
当时，，，两直线重合，舍去.
∴，满足必要性.
∴“”是“”的充要条件.
故选：C.
5. 如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可.
【详解】由为的中点，得，
所以.
故选：A
6. 已知数列满足：，，若，则n为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先根据已知条件判断数列的类型，再代入求的值.
【详解】因为，，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
由，得，解得.
故选：C
7. 已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式、双曲线的性质求解即可.
【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，即，.
取焦点，渐近线方程，
由题意知，整理得.
所以，所以.
故选：A．
8. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率.
【详解】如图：
设直线与圆的切点为，作，交于点，则.
因为，，所以.
又为中点，所以，.
又，，
所以可设：，，.
由.
根据双曲线的定义：.
所以.
所以.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 数列的前项和，则（ ）
A. B.
C. 数列有最小项D. 是等差数列
【答案】AD
【解析】
【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D.
【详解】对于A：因为，当时，故A正确；
对于B：当时，
所以，
经检验时也成立，所以，
所以，，则，故B错误；
对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，
即数列有最大项，故C错误；
对于D：因为，则，又，
所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确.
故选：AD
10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ）
A. B.
C. D. 的最小值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由题意可得，化简后进行判断，对于B，根据抛物线的定义分析判断，对于C，设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系计算判断，对于D，根据抛物线的定义结合基本不等式分析判断.
【详解】由题意得抛物线C：的焦点为，，准线方程为，
圆圆心坐标为，半径为.
对于A：所以本选项说法错误；
对于B：因为，
所以，所以本选项说法正确；
对于C：设直线为，，
由，得，
因为，所以，
直线的方程为，
所以点的坐标为，因为，
所以点的坐标为，而点的坐标为，
所以点的纵坐标和点的纵坐标相同，
所以，因此本选项说法正确；
对于D：设，
由选项C可知，且，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是，所以D正确，
故选：BCD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 三棱锥的体积最大值为1
C. 若，则点到直线的距离为
D. 三棱锥外接球球心轨迹长度近似为
【答案】AC
【解析】
【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系求得直线方向向量可判断A，由三棱锥体积公式可判断B，由点到线距离的向量法公式即可判断C，设，的中点分别为，，过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，判断直线与平面交于点为球心，得到点的轨迹长度与点的轨迹长度相等，即可判断D．
【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．设，
则，，，，．
对于选项A：因为，，
所以，
所以，所以，A正确．
对于选项B：三棱锥的体积，
所以当时，三棱锥的体积取得最大值，B错误．
对于选项C：若，则，，，
所以，，
所以点到直线的距离，C正确．
对于选项D：设，的中点分别为，，
过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，
直线与平面交于点，则点为外接球的球心，
显然点的轨迹长度与点的轨迹长度相等．
因为，，所以．
在平面内，点的轨迹方程为，且，，
故点的轨迹长度近似为，即三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为，D错误．
故选：AC．
第II卷 非选择题（92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若事件 与事件 相互独立，，，则 _____________________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可.
【详解】因为事件 与事件 相互独立，所以事件 与事件 相互独立，
，，
则，
故答案为：.
13. 已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是_______.
【答案】或
【解析】
【分析】联立直线与抛物线方程，进而分，结合的正负情况讨论求解即可.
【详解】联立，得，
①当时，，解得，此时，
直线与抛物线有且仅有一个公共点；
②当时，由，
若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点；
若，即，方程有两个相等实根，
则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点；
若，即且时，方程有两个不等实根，
则直线与抛物线有两个不同交点；
综上所述：当直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点.
故答案：或.
14. 空间直角坐标系中，，则四面体的外接球的体积的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设四面体的外接球球心为，根据得到，再根据结合的范围求出的范围，再根据的范围即可求出的最小值，利用球的体积公式即可求解.
【详解】设四面体的外接球球心为，外接球半径为，
则，，，
由题意得，则，化简得，
同理，由得，由得，
则，
又，
由得，
化简得，
因为，
由二次函数图象可得当时，取最小值，当或时，取最大值，
即，
而，
所以当时，取得最小值，即取得最小值，
此时外接球的体积，
所以四面体的外接球的体积的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知甲口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个红球，乙口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个蓝球，从两个口袋中各任取一球，求：
（1）“取出两球的标号之和为3”的概率；
（2）“取出两球的标号至少有一个大于1”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）取对立事件为取出两球的标号均等于1，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率求法运算求解.
【小问1详解】
记“取出两球的标号之和为3”为事件A，
可知和为3为或，即甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1，
所以.
【小问2详解】
记“取出两球的标号至少有一个大于1”为事件B，
则为“取出两球的标号均等于1”，可得，
所以.
16. 已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦长为.
（1）若点，为圆上一动点，求的最小值；
（2）若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值.
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）先用几何法构造直角三角形得到圆心和半径，运用向量法对所求进行整理求解；
（2）联立直线与圆的方程，整理得到根与系数的关系，再结合垂直条件运用向量法求解.
【小问1详解】
设圆心坐标为，则半径，圆心到轴的距离为，，得，
圆的方程为.
设，则，
又，，
又，
，，
即的最小值为.
【小问2详解】
（2）设，，
联立，消去得，
由，
得，，.
由，知，
即，
，
，得，满足，
.
17. 已知椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意得，再根据椭圆的定义得出周长为，即可求出椭圆标准方程；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式列方程求解即可.
【小问1详解】
因为为C的焦点，所以，
的周长为：，解得，
所以，
所以椭圆C的方程为：．
【小问2详解】
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，
联立，得，
则，，
所以，
解得，则直线的方程为，即或.
18. 已知数列满足.
（1）证明：是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）可根据等差数列的定义，通过计算 是否为常数即可证明；
（2）由（1）得到 的通项公式，再利用累加法求出 的通项公式；
（3）先对 进行放缩，然后通过裂项相消法证明不等式.
【小问1详解】
已知 ，移项可得 ,
则 ,
当 时， ,
因为 （常数），且首项 ，
所以 是以 4 为首项， 4 为公差的等差数列.
【小问2详解】
由（1）可知 是以 4 为首项，4 为公差的等差数列，
根据等差数列通项公式可得 .
当 时，.
将 代入上式可得：.
，
当 时， ，上式也成立.
所以数列 的通项公式为 .
【小问3详解】
因为 ，
所以 .
当 时， ，不等式成立；
当 时，
.
所以 .
19. 已知动点P到定点与到定直线的距离相等．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N．
①证明：直线恒过定点；
②求的最小值．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）设点，利用两点间距离公式构造方程求解；
（2）设直线方程，联立曲线方程，结合韦达定理及中点关系求出方程，进而证明结论；分别求出对应弦长，得出，再利用基本不等式求最小值．
【小问1详解】
设，则，
解得．
【小问2详解】
①设直线的方程为），由与的斜率乘积为，可得直线的方程为，
联立，消去得：，
则，设，由韦达定理可得，
为线段的中点，
，代入得，即，
联立，消去得：，
设，同理可得，
则直线的斜率，
直线的方程为，
即变形为：，
令，解得，恒过定点．
②直线对应的弦长，
直线对应的弦长，
的表达式为：，
由基本不等式得，当且仅当时取等号，
，
的最小值为．