贵州省黔东南州2025-2026学年高二上学期期末检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份贵州省黔东南州2025-2026学年高二上学期期末检测数学试卷（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在等差数列中，，，则公差（ ）
A．1B．C．2D．
2．双曲线的虚轴长为（ ）
A．B．5C．10D．
3．若直线与圆相离，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
4．若数列的前项和，则（ ）
A．84B．85C．86D．87
5．若抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，则上一点到的焦点的距离为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．若，直线与直线垂直，则数列的前31项和（ ）
A．425B．435C．450D．465
7．在四面体中，，分别为棱，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
8．在数列中，，，若，，则的取值范围为（ ）
A．B．（-1,1）C．D．
二、多选题
9．已知数列，分别是等差、等比数列，则必有（ ）
A．B．
C．D．
10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（ ）
A．
B．点到直线的距离为
C．点到平面的距离为
D．向量在向量上的投影向量的坐标为
11．记到两定点、的距离之积为的动点的轨迹为，则（ ）
A．经过点
B．直线与恰有个公共点
C．上所有点的横坐标的绝对值均不大于
D．当点在椭圆上，且时，点在上
三、填空题
12．点到双曲线的渐近线的距离为 .
13．小张暑假期间到一家商场勤工俭学，该商场第1天支付40元，从第2天起，该商场每天支付的金额都是前一天的1.2倍，小张工作了10天，则他领取的总报酬为 元．（参考数据：取）
14．已知椭圆的右焦点为，点在的左半部分上，点在的右半部分上，且平行于轴，若的离心率，则 .
四、解答题
15．已知圆的圆心为，半径为，抛物线的焦点为.
(1)求的值与的准线方程；
(2)若直线与交于，两点，求.
16．设等比数列的公比，，且
(1)求的值；
(2)若，，成等差数列，求的值；
(3)设数列的前项和为，证明：．
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)证明：平面与平面的夹角大于.
18．在数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若数列满足，为数列的前项和，证明：.
19．已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且.
(1)求C的方程.
(2)若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程.
(3)设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
参考答案
1．B
【详解】因为在等差数列中，，，
所以.
故选：B
2．C
【详解】双曲线，则，
所以双曲线的虚轴长为.
故选：C
3．D
【详解】圆的半径为，圆心为，
圆心到直线的距离为，
由题意可知有，
解得或，即．
故选：D．
4．B
【详解】因为，
所以，，
所以.
故选：B
5．A
【详解】抛物线的焦点为，
又椭圆在长轴上的顶点为和，
所以，解得，
所以抛物线，则抛物线的准线方程为，
所以上一点到的焦点的距离为.
故选：A
6．D
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，即，
所以，
所以.
故选：D
7．B
【详解】如图所示，
因为是CD的中点，所以，也即，
因此．
故选：B．
8．A
【详解】因为，所以，
当时，，
因为，所以，又，所以；
由，，得对恒成立；
当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则；
当为偶数时，恒成立，易知为减函数，
则；
故的取值范围为.
故选：A
9．AD
【详解】对于A：因为，
所以由等差数列的性质可得，故 A 正确；
对于B：设等差数列的公差为，
因为，，
当时，故B错误；
对于C：因为，
所以由等比数列的性质可得不一定等于，故C错误；
对于D：因为，
所以由等比数列的性质可得，故D正确.
故选：AD
10．ACD
【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；
对于B：因为 ，，所以 ，
又，则，
，，
所以点到直线的距离为 ，故B错误；
对于C：因为，，，
设平面的法向量为，
则，取，则点到平面的距离 ，故C正确；
对于D：因为，，所以，，
所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD
11．ACD
【详解】对于A选项，
，
故点在曲线上，A正确；
对于B选项，设点在曲线上，则，
即，
即，所以.
由，得，得，则，
则直线与只有个公共点，B错误；
对于C选项，因为，
所以，可得，解得，则，C正确；
对于D选项，在椭圆中，，，则，
所以、为椭圆的焦点，所以，
因为，所以，
则，得，
所以点在上，D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】双曲线的渐近线方程为，
则点到（）的距离,
即点到双曲线的渐近线的距离为.
故答案为：
13．1038
【详解】该问题是一个等比数列求和的问题，第1天的金额元，公比，
工作天数，则10天总报酬．
故答案为：1038．
14．
【详解】设的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为.
依题意可得四边形为等腰梯形，则，
设，则，，，
由椭圆的定义得，
在中，
，
所以整理得，则.
故答案为：
15．(1)，
(2)
【详解】（1）由，得，
所以圆心为，半径，又抛物线的焦点为，
所以，解得，所以抛物线，
所以的准线方程为.
（2）由，得，解得，
所以.
16．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以．
又，所以．
（2）因为，，成等差数列，所以，
所以．
因为，，所以，解得．
（3）因为，所以，，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，又平面，所以，
因为是棱的中点，侧面是正三角形，
所以，
又，平面，所以平面.
（2）
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以底面，
以为坐标原点，过点作，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得；
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）因为，由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
设平面与平面的夹角为，则，
因为，，所以，
即平面与平面的夹角大于.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由，得.
因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以，所以.
即的通项公式为；
（2）由（1）知，
当为偶数时，，
所以……①，
……②，
①②，得，
所以；
当为奇数时，，
所以，
令，则，
两式作差，得，
所以，
所以.
综上，.
（3）因为，
当时，.
所以当时，，
所以当时，，
当时，，满足上式，所以.
因为，所以.
所以，
所以.
因为，所以，所以，
所以，即.
19．(1)
(2)
(3)是，定值是.
【详解】（1）设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即，
因为，所以，
又由，所以可得，则，
即，
所以C的方程为；
（2）设，，则，两式相减得.
因为P，Q关于点对称，所以，，则，
所以直线的方程为，即.
（3）如图，作出符合题意的图形，
设，，直线的方程为.
由，得到，则且，
由韦达定理得，，
则
，
即为定值，定值是.