河北枣强中学2026届高三下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
4．若5个数依次成等差数列，前三项的和为，后三项的和为9，则这5个数的和为（ ）
A．1B．2C．3D．5
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．设是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则（ ）
A．B．1C．2D．3
7．口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
8．在三棱锥中，平面，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．
B．曲线在点处的切线方程为
C．恰有2个极值点
D．的图象与轴恰有2个交点
10．如图，在四边形中，，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．的取值范围是D．的取值范围为
11．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．过点的直线交抛物线于两点，设点为坐标原点，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则（ ）
A．B．若为定值，则
C．若，则的最大值为6D．若，则的最大值为
三、填空题
12．已知函数，若为的图象的一条对称轴，则_________．
13．已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________．
14．黑箱中有6个质地大小相同的小球，分别编号为1，2，3，4，5，6，每次从中无放回地取一个球，然后记录编号，若编号三对中的其中一对出现，则停止取球，设此时取球次数为随机变量，则_________．
四、解答题
15．抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为．
(1)求的分布列、数学期望与方差；
(2)求的值．
16．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有．
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，．

(1)求证：平面；
(2)设，点为棱的中点，若二面角的正弦值为，求的值．
18．已知椭圆的上顶点为，离心率为，圆，点到圆上一点的距离的最大值为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为坐标原点，过点且与圆相交的直线交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程；
(3)若点在椭圆上，过点作圆的两条切线分别交轴于、两点．是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19．设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)判断是否存在实数、，使得函数的图象关于点对称．若存在，求出满足条件的、的值，若不存在，说明理由；
(3)设是函数在区间上从小到大的前两个极值点，若，求的值．
参考答案
1．A
【详解】由，则，所以，又，因此集合.
由，则，所以，因此集合.
所以.
2．B
【详解】设，则,
由得，即，
解得，
所以，因此.
3．C
【详解】由题意知，，，，
所以，即，整理得，解得.
4．D
【详解】由题意知5个数依次成等差数列，设为，
则，且，
故，
则这5个数的和为.
5．A
【详解】设，则，
由，得，
即，则，
故.
6．D
【详解】已知是定义在上的偶函数，故；
又，代入得，
因此，即是周期为的周期函数，
当时，，
因此：，
，
已知，代入得：，
利用对数运算化简： ，
可得：，整理得，解得或，
由对数真数要求对成立，故，舍去，
所以.
7．D
【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，
“第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件，
则，
所以.
8．B
【详解】如图，由平面，平面,则，
又，平面，故平面，
从而、、两两互相垂直，从而三棱锥可补全为如图所示的长方体，
设，，，则,
，
由均值不等式（当且仅当时等号成立）
从而，,
即三棱锥的体积的最大值为.
9．AB
【详解】对于A，求导可得，令可得，所以，即A正确；
对于B，由A可得，则，
所以切线方程为，即，可得B正确；
对于C，易知函数的定义域为，又，
令，可得，
所以当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误；
对于D，由C中分析可知，
即对于任意,恒成立，因此D错误.
10．AD
【详解】
由题意如图建系，可得，
过点作轴，垂足为，
因为，则，
又，所以，
又，，
所以直角直角，即，
则
选项A，当 时，，则 ​，A正确；
选项B，当 时，，
则 ，，
故 ，B错误；
选项C，，，
则： ，
因为，由二次函数单调性可得 ， C错误；
选项D，，
则： ，
时，二次函数对称轴为，
由单调性可知，
即的取值范围是 ，D正确.
11．ACD
【详解】焦点到其准线的距离为，故A正确；
设，，
易知直线斜率不为，设直线方程为，
联立，得，
所以，，
所以
，
若为定值，则，解得，故B错误；
，
线段的中点到抛物线的准线的距离，
则，又，所以，
，
将代入得，
，
所以当时，取得最大值，最大值为，故C正确；
，，，，
因为，
所以，
即，
又，，
所以，则，
，则，
则，
所以
，
令，，
则，
由得，则，
所以的最大值为，故D正确.
12．
【详解】，其中为辅助角，
由为的图象的一条对称轴，则为最大或最小值，
即，即，
整理得，即.
13．0或.
【详解】由圆知，，半径.
由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和，
根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离.
根据点到直线的距离公式知，，所以，
平方整理得，即，解得或.
14．/
【详解】根据题意有：的可能取值为，
又，，
，
所以.
15．(1)分布列见解析；
(2)
【详解】（1）由题意得：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，则，
所以，
，，
所以的分布列为：
所以；
（2）由（1）有：，
所以.
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，由得，
所以，即，
当时，，所以，所以，故，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
（2）
，
所以，
当时，，不等式成立，
当时，
，
综上.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取中点，连接，由底面为菱形，，
则为等边三角形，则，
又平面平面，平面平面，
平面，故平面，
由平面，则，
又，，、平面，
故平面，又平面，故，
由底面为菱形，则，
由，、平面，
故平面；
（2）令，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设为单位长度，即，则，，则，
则，，，，，
则，，，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
令，，则，，，，
即、，
设二面角的平面角为，
则，
即有，
整理得，则（负值舍去）.
18．(1);
(2)或;
(3)存在，.
【详解】（1）由题意，圆的圆心，半径，
由点到圆上一点的距离的最大值为3，即，从而，
即，解得，又，即，
又，即，解得，，
从而椭圆的标准方程；
（2）设
由的面积，解得，
由在椭圆上，从而，得，
从而，即，
当的坐标为，，直线，
圆心到直线的距离，不合题意；
当的坐标为，，直线，
圆心到直线的距离，不合题意；
当的坐标为，，直线，
圆心到直线的距离，符合题意；
当的坐标为，，直线，
圆心到直线的距离，符合题意；
综上所述，直线的方程为：或
（3）设，
当,有一条斜率不存在时，为椭圆上下顶点或左顶点，
若为椭圆左顶点，过点作圆的切线只有一条且与轴平行，不合题意；
若为椭圆上下顶点，过点作圆的切线有一条且与轴重合，不合题意；
故,的斜率均存在，分别设为，
则直线：，即，则，
同理，则.
又直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
两边平方得：，
化简整理得：，
同理可得，
从而为方程的两根，
，
此时，
则，
化简整理，又，
即得，整理得，
解得或（舍去），
当时，，从而.
19．(1)
(2)存在，
(3).
【详解】（1）当时，，则，
而，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）假设存在实数，使得的图象关于点对称，
则，
即，
则，
取，则，
所以或.
若，则，
取，则，故，即，
则.
综上所述，总有，
因此，当时，有，
若为偶数，则对任意恒成立，
故，即；
若为奇数，则对任意恒成立，
故对任意恒成立，显然不成立.
故.
（3）由，得，
当时，，则，
设，而时，，因此不影响后续分析，
当时，时，，时，，
所以在上存在唯一零点，
当时，，，即，
当时，，，即，
所以，且，
当时，时，，时，，
所以在上存在唯一零点，
当时，，，即，
当时，，，即，
所以，且，
由，可得，
即，
而，
则，
所以，则，
即，则，
因为函数在区间上单调递减，
所以，又，，
则或，
若，此时与不可能同时成立；
若，结合，
可得，