北京市门头沟区2026届高三下学期一模考试数学试卷（Word版附答案）

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第一部分（选择题 共40分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数满足，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A． B．3 C． D．
5．已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．31 B．15 C． D．
6．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面的夹角为，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（ ）
A．3天 B．6天 C．9天 D．12天
9．设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
10．无穷数列满足如下条件①；②；③．则下列说法正确的是（ ）
A．若，则满足条件的单调数列有且只有2个
B．对于任意给定的，满足条件的单调数列有且只有1个
C．存在使得满足条件的数列有且只有1个
D．存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，且此时数列一定是单调数列
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．的展开式中的系数为，那么实数________．
12．已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为________．
13．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则的一个取值为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，，直线与x轴和y轴分别交于点，，则的最大值为________；的取值范围是________．
15．对于定义域为的函数，令，给出下列四个结论：
①若对于，恒成立，则恒成立；
②若对于，恒成立，则恒成立；
③若是周期函数，则是周期函数；
④若偶函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．如图，四边形为正方形，平面平面，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．在中，，．
(1)求，
(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下：
数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90；
数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92．
假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率．
(1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率；
(2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
19．已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值．
20．已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围．
21．设A是n行n列的数表，且，表示数表第i行第j列的数，且，，．例如是3行3列的数表，其中．若数表A满足条件①，；②每行中的数两两不同，每列中的数两两不同．则称数表A具有性质P．
(1)当时，写出一个具有性质P的数表A；
(2)设数表A，B具有性质P，若A，B满足：若，则，则称A和B正交．
（ⅰ）当时，写出一组正交的数表A，B；
（ⅱ）当时，设均具有性质P，且两两正交，求m的最大值．