北京市门头沟区2026届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市门头沟区2026届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了 已知集合 ， ，则， 在复平面内，复数 满足 ，则等内容，欢迎下载使用。
2026.3
本试卷共 6 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解绝对值不等式，再根据集合的交集的定义可得.
【详解】由 ,解得 或 ,所以 或 ,
而 ，所以
2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】由 ，得 ，故 ，
所以 .
3. 下列函数中，既是奇函数又在 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】对于 A，因为 ，所以 不是奇函数，即 A 错误；
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对于 B，易知 的定义为 ，定义域关于原点对称，
且满足 ，因此该函数为奇函数，
又 ，因此函数 在 上单调递减，即 B 正确；
对于 C，由正切函数定义可知 不在定义域内，因此 C 错误；
对于 D，易知 的定义域为 ，则 ,
令 可得 ，当 时， ，当 时， ，
因此可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 在 上不是单调递减的，即 D 错误.
4. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 （ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题知，双曲线焦点位于 x 轴上，故 ，
渐近线方程为 ，
而已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
故 ，解得 .
5. 已知等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A. 31 B. 15 C. D.
【答案】C
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【解析】
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由等比数列性质可得 ，即 ，解得 ；
又 ，可得 ；
所以 .
6. 设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由题知 ， ，等价于 ，即原条件可化简为
，
对正数 ，由基本不等式得 ，若 ，则 ，因此 ，充分性成
立；
取 满足 ，但 ，即不满足 ，因此必要性不成
立.
综上， 是 的充分而不必要条件.
7. 某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台 ，若 ，
，且侧面与上底面 的夹角为 ，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗
的侧面所需材料的面积为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】分别取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，连接 、 、 、 ，根据
正棱台的性质求出 ，即可求出 .
【详解】如图，分别取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，
连接 、 、 、 ，
因为 是正四棱台，所以 、 ，
又侧面与上底面 的夹角为 ，所以 ，
又 ， ，所以 、 ，
所以 ，
所以 ，
所以制作该漏斗的侧面所需材料的面积为 .
8. 农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用
（ ，k 为正常数）描述，其中 C 为喷施农药 t 天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有
机磷农药的降解速率常数 ，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为 8mg/kg，国家食品安全标准
规定该农药的残留限值为 1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（ ）
A. 3 天 B. 6 天 C. 9 天 D. 12 天
【答案】C
【解析】
【分析】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为 天,
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依题意可得 ,其中 ， ，
所以可得 ，即 ，解得 ；
因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为 9 天.
9. 设函数 ，若点 为函数 图象的一个对称中心，且 在
上的最大值为 2，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】先化简函数 ，根据点 为函数 图象的一个对称中心求出
，再根据 在 上的最大值为 2 结合三角函数最值求出 ，两者结合
即可推出 的最小值.
【详解】 ，
点 是 的对称中心，因此 ，代入得 ，
即 ，整理得 ；
当 时， ， 而根据解析式可知 最大值为 ，
说明区间必须包含 ，因此 ， 解得 ；
结合 且 ，
时， ，不满足；
时， ，满足条件.
因此 的最小值为 .
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10. 无穷数列 满足如下条件① ；② ；③ ．则下
列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则满足条件的单调数列 有且只有 2 个
B. 对于任意给定的 ，满足条件的单调数列 有且只有 1 个
C. 存在 使得满足条件的数列 有且只有 1 个
D. 存在无数个 使得满足条件的数列 有且只有 1 个，且此时数列 一定是单调数列
【答案】D
【解析】
【分析】先利用诱导公式得到 的递推关系式，再结合函数图象，利用需满足的条件对具体的 进行分
类分析即可.
【详解】根据诱导公式可得 ，
因此有 或 ，
即 （关系 1）或 （关系 2）， ，
对于关系 1，结合条件② ，可化为 ；
对于关系 2，由 可得 ③，
代入条件②得 ，解得 ，
则由③可得， ；
设 ， ，
可知 在正弦函数 图象上，且 在余弦函数 图象上，
由① 可知直线 垂直于 轴，
再由条件② ，可依次取点，得到点列 ；
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对于 A 选项，由 ，即 ，
在平面直角坐标系中作出正、余弦函数图象，
，故由条件② ，可得 ，
由 ，
可得 ，或 （舍去）， ；
结合条件② ，如图所示，依次可绘出点列 ，
由此结合周期性可知 ，即满足条件的单调数列 有且只有 1 个，
故 A 项错误；
对于 B 选项，给定 ，
构造一：利用关系 1： 构造数列 ，
则数列 通项为 ，即可得到一个递增的数列 ；
构造二：先由关系 构造 ，
再利用关系 1： 构造数列 ，则 ，
即也可得到一个递增的数列 ，故满足条件的单调数列 不只一个，
故 B 项错误；
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对于 C 选项，给定 ，
由 ，其中 ，
构造数列 ：
验证可知，满足条件① ；② ；③ ．
由 条件，正整数列的无界性则可构造无数个满足条件的数列，
故存在无数个满足条件的数列满足题意，C 错误；
对于 D 选项，
( )当 时，结合 A 选项与正余函数周期性分析，
可得数列 满足 ，即满足条件的数列 有且只有 1 个，且单调递增；
( )当 时，由 ，结合条件② ；
可得 ，或 ， .
当 时，此时可得 ，
这与条件③ 矛盾 m，故 ， ，依次绘点如下图：
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再由周期性可知数列 满足 ，故数列 单调递增；
( )当 时，由 ，结合条件② ；
可得 ，由 ，结合条件② ；
可得 ，或 （舍去，不能与 相同） ，依次绘点如下图：
再由周期性可知数列 满足 ，故数列 单调递增；
( )当 时，同理可得 ，依次绘点如下图：
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再由周期性可知数列 满足 ，故数列 单调递增；
( )当 时，由 ，结合条件② ；
可得 ，由 ，结合条件② ；
可得 ， ，依次绘点如下图：
再由周期性可知数列 满足 ，故数列 单调递增；
( )当 时，由 ，结合条件② ；
可得 ，由 ，结合条件② ；
可得 ， ，依次绘点如下图：
再由周期性可知数列 满足 ，故数列 单调递增；
( )当 及 时，同理可分别绘点如下图：
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再由周期性可知数列 满足 ，故数列 单调递增；
综上可知，当 时，
均可得数列 唯一确定且满足 ，
即存在无数个 ，使得满足条件的数列 有且只有 1 个，且单调递增；
( )当 时，
当 且 时，
构造一：利用关系 1： 构造数列 ，则 ；
构造二：利用关系 2： ，（ 且 ）构造 ，
以后各项利用关系 1 构造可得数列 ，
构造 ， ，
由 ，则 ，故 ，与构造一为不同数列；
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即此时满足条件的数列 不只 1 个；
当 且 时，
构造一：利用关系利用关系 1： 构造数列 ，则 ；
构造二：利用关系 1 可构造 ，则 ，且 ，则后
续构造同上，利用关系 2： （ 且 ）构造 ，
以后各项利用关系 1 构造可得数列 ，
故此时满足条件的数列 也不只 1 个；
综上所述，存在无数个 使得满足条件的数列 有且只有 1 个，且此时数列 一定是单调数列，故 D
正确.
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 的展开式中 的系数为 ，那么实数 ________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式计算可得结果.
【详解】由 ，所以通项公式 ， ，
令 ，解得 ，所以 的系数为 ， .
12. 已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 ，点 在 上，若 ，则点
的横坐标为________．
【答案】6
【解析】
【详解】由题知抛物线 的焦点 F 到其准线的距离为 2，故 ，
而点 在 上， ，根据抛物线定义可知 到准线的距离 ，解得 .
13. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 角 与 角 均 以 Ox 为 始 边 ， 它 们 的 终 边 关 于 y 轴 对 称 ， 若
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，则 的一个取值为________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【详解】因为角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，故 ，
所以 ，即 ，
故 或 ，故 或 .
则 的一个取值为 （其他满足条件的均可）.
14. 在平面直角坐标系 xOy 中， ，直线 与 x 轴和 y 轴分别交于点 ， ，则
的最大值为________； 的取值范围是________．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】先求出 两点的坐标，再表示出 和 的坐标，先求出 ，再求出向量的模，再利用
三角函数恒等变换公式化简求解其最大值，最后应用数量积公式计算结合正弦函数值域计算求解.
【详解】设 ，
由题意知，直线 分别与 轴､ 轴交于点 ，则 ，
所以 ， ；
因为 ，
则
，
当 时， 取得最大值，且最大值为
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，
因为 ， 的取值范围是 .
15. 对于定义域为 的函数 ，令 ，给出下列四个结论：
①若对于 ， 恒成立，则 恒成立；
②若对于 ， 恒成立，则 恒成立；
③若 是周期函数，则 是周期函数；
④若偶函数 的图象关于直线 对称，则 的图象关于直线 对称．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据函数值域判断①；根据已知条件结合函数性质举反例判断②③，根据已知条件和函数的对称
性判断④.
【详解】对于①，故对于 ，因为 ，
要使 恒成立，即 且 恒成立，
那么 恒成立，所以①正确；
对于②，对于 ， 恒成立，即 恒成立，
等价于 且 恒成立，
当 时， ，但当 时， 不一定大于 ，
例如 ，此时满足 ，
但 不恒大于 ，所以②错误；
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对于③，例如 是周期函数，
对于函数 ，
由 可知 是偶函数，
故画出它的图象取 轴右边部分，再将其右边部分关于 轴对称，即可得到 图象，
可知 不是周期函数（因为 不是周期函数），
所以③错误；
对于④，由 为偶函数，得 ，
由函数 的图象关于直线 对称得 ，
从而 ，
所以 ，
即 的图象关于直线 对称，所以④正确.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，四边形 为正方形，平面 平面 ， ， ， ，
， 为 的中点．
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（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设 的中点为 ，证得 ，根据线面平行判定定理证明即可；
（2）由面面垂直的性质可得 平面 ，建立空间直角坐标系，根据线面角向量法计算即可求解.
【小问 1 详解】
设 的中点为 ，连接 ，
在 中， 为 的中点，
所以 且 ，
因为 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
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所以 平面 ；
【小问 2 详解】
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， ，
所以 ， 平面 ，
因为四边形 为正方形，所以 两两互相垂直，
以 为坐标原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值 .
17. 在 中， ， ．
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（1）求 ，
（2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的
周长．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的面积为
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】（1）
（2）选条件②或③， 存在，周长为 .
【解析】
【分析】（1）根据所给的边结合正弦定理，二倍角公式可得；
（2）选条件①直接由余弦定理判断三角形不存在；选条件②先同角三角函数关系式可得 A，B 的正弦值，
再由正弦定理和余弦定理求解可得；选条件③：先由面积公式可得 ，再结合余弦定理可得三角形的
周长.
【小问 1 详解】
因为 ， ，所以 ，
由正弦定理得 ，而三角形中有 ，
所以 ，再由二倍角公式得 ，且 ，
所以 .
【小问 2 详解】
若选条件①： .
因为 ，由（1）可知 ，所以由余弦定理可得： ，
即 ，得 ， ，
方程无解，所以 a 边不存在，故 不存在.
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若选条件②： .
因为 ，由（1）可知 ，所以 .
同理 ，得 ，
所以在 中由正弦定理 ，得 ，
再由余弦定理 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
所以三角形的周长 .
若选条件③： 的面积为 .
因为 ，由（1）可知 ，所以 ,
由三角形面积公式 ，得 .
再由余弦定理 ，得 ，即 .
所以 ，所以 .
所以三角形的周长 .
18. 某公司对其销售的 A、B 两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人
的消费者中各随机抽取 12 人进行评分调查（满分 100 分，该公司规定评分不低于 80 分为满意），评分结果
如下：
数据Ⅰ（A 型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90；
数据Ⅱ（B 型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92．
假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率．
（1）从参与 A 型号扫地机器人评分调查的 12 名消费者中随机抽取 2 人，求至少 1 人满意的概率 ；
（2）从购买 A 型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取 1 人，购买 B 型号扫地机器人的所有消费者中随机
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抽取 1 人，设 X 为被抽到的 2 人中满意的人数，求 X 的分布列和数学期望 ；
（3）假设购买 A 型号和 B 型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买 A、B 两种型号扫地机器人
的消费者中随机抽取 1 人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设
其购买的是 A 型号的概率估计值为 ，其购买的是 B 型号的概率估计值为 ，试比较 与 的大小．（结
论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
0 1 2
，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据组合数先计算抽取两人都不满意的概率，再利用对立事件求概率；
（2）由题可知 的可能取值为 0，1，2，再分别求出对应概率，列出分布列并计算期望即可；
（3）利用样本估计总体即可比较 与 的大小．
【小问 1 详解】
在数据 I（ 型号）中，评分不低于 80 分的有 81，85，83，86，85，92，86，90，共 8 人；
评分低于 80 分的有 75，74，77，70，共 4 人，
从 12 名消费者中随机抽取 2 人，两人都不满意的概率为 ，
因为“至少 1 人满意”与“两人都不满意”是对立事件，
所以至少 1 人满意的概率 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知，购买 型号扫地机器人的消费者满意的概率 ，
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则不满意的概率为 ，
在数据 II（ 型号）中，评分不低于 80 分的有 81，87，86，85，84，92，共 6 人，
所以购买 型号扫地机器人的消费者满意的概率 ，则不满意的概率为 ，
的可能取值为 0，1，2，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2
；
【小问 3 详解】
由题可知抽取样本中，A 型号不满意的有 4 人，
B 型号不满意的有 6 人，
则 的估计值为 ， 的估计值为 ，
故 ．
19. 已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆 E 的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周
长为 8．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，过点 （ ）且不与 y 轴平行的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，
点 B 关于 x 轴的对称点为 C，直线 AC 与 x 轴交于点 D，设 和 的面积分别为 ， ，当
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时，求 t 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用题设条件列出方程，求出 ，即得椭圆的方程；
（2）先设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 两点坐标的关系，再求出直线 的
方程，进而得到 的坐标，最后计算 ，通过 进而求出 的值.
【小问 1 详解】
已知椭圆 ，离心率 ， 以短轴端点和焦点为顶点的四边形是菱形，边
长均为 ，
周长为 ，得 ，因此 ， 由椭圆关系 ，故椭圆 的方程为
.
【小问 2 详解】
设直线 的方程为 ， ， ，则 ，
联立直线与椭圆方程： ，整理得 ，
由韦达定理得： ，
根据两点式得直线 的方程为 ，令 ，得 ，
将 代入 点横坐标 ，
化简得 即
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，
，
，
由题知 ，故 ，
化简得 ，又 ，所以 ，解得 .
20. 已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若函数 有 2 个不同的零点 ，且 ，求 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 时，单调递减区间为 ，无增区间；
时，单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义求切线即可；
（2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间；
（3）易知 一个零点是 ，结合 与（2）所求的单调性，讨论 ，与
即可求出 的范围.
【小问 1 详解】
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当 时， ， ，切点为 ，
，切线斜率 ，因此切线方程为 .
【小问 2 详解】
，
当 时， ，故 恒成立，因此 在 R 上单调递减，无单调递增区间；
当 时，令 ，得 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
综上所述， 时，单调递减区间为 ，无增区间；
时，单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【小问 3 详解】
由（2）可知当 时 单调递减，仅 1 个零点，不符合题意，故 ；
当 时，由（2）知 最小值为 ，
令 ， ，令 ，解得 ，
所以当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减，
所以 ，故 ，
故 ，要保证 存在两个根，则 且 ，即 .
注意到对任意 ， ，即 恒为 的一个零点，
因此 有两个不同零点且 等价于存在另一个零点 ，且 ，
当 时，根据 单调性可知，极小值点 ，且 ，解得 ；
当 时，根据 单调性可知，极小值点 ，且 ，解得 ，
综上 的取值范围是 .
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21. 设 A 是 n 行 n 列的数表， 且 ， 表示数表第 i 行第 j 列的数，且 ，
， ．例如 是 3 行 3 列的数表，其中 ．若数表 A 满足条件①
， ；②每行中的数两两不同，每列中的数两两不同．则称数表 A 具有性质 P．
（1）当 时，写出一个具有性质 P 的数表 A；
（2）设数表 A，B 具有性质 P，若 A，B 满足：若 ，则 ，则称 A 和 B 正交．
（ⅰ）当 时，写出一组正交的数表 A，B；
（ⅱ）当 时，设 均具有性质 P，且两两正交，求 m 的最大值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）（i）答案见解析；（ii）4.
【解析】
【分析】（1）根据性质 P 的定义写出数表即可；
（i）根据性质 P 的定义写出数表即可；
（ii）分析得 只能是 2,3,4,5，再通过假设 ，从而有 ，则得到其最大值.
【小问 1 详解】
根据性质 P 的定义写出如下满足题意的数表：
【小问 2 详解】
（i）根据性质 P 的定义写出如下满足题意的数表：
（ii）考虑第二行第一个数，
因为 ，所以 只能是 2,3,4,5，
若 ，则对于 的第二行第一列至少存在两个数表使得它们的第二行第一列数字相同，
不妨设 ，则必有 ，
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与若 则 矛盾．
所以 ．
构造：
所以 的最大值是 4 ．
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