2024-2025学年新疆哈密市部分学校高一下学期期末联考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年新疆哈密市部分学校高一下学期期末联考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(2,−3)，b=(4,k)，且a与b共线，则k的值为( )
A. −6B. 6C. −8D. 8
2.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2:3:5，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为( )
A. 60B. 90C. 120D. 150
3.已知复数z=2−4i1−i，则z所在的复平面位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为( )
A. 60B. 20C. 40D. 56
5.已知D为▵ABC所在平面内的一点，3AB=2AD，E为CD的中点，则AE=( )
A. 34AB+12ACB. 12AB+34ACC. 23AB+12ACD. 12AB+23AC
6.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若m⊥α，n⊂β，α⊥β，则m⊥nB. 若m//α,n⊥β,α//β，则m⊥n
C. 若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥nD. 若m//α，n//β，α//β，则m//n
7.在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是( )
A. A∪B∪C是必然事件B. A与B是互斥事件
C. P(A∩B)≤0.4D. P(A∪B)=1.1
8.已知四面体A−BCD，若点A，B，C，D到平面α的距离dA，dB，dC，dD满足dA=2dB=2dC=2dD，则这样的平面α的个数为( )
A. 1B. 2C. 5D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题为真命题的是( )
A. 若向量a=(1,2)，b=(−2,−4)，则a与b反向共线
B. 向量a=(3,4)在b=(1,0)上的投影向量为(3,0)
C. 与向量(1,1)共线的单位向量为 22, 22
D. 已知向量a=csa,sina，b=(2,1)，则a−b的最大值为 5+1
10.在▵ABC中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，b=4，且acsC+ccsA=2bcsB，则下列结论正确的是( )
A. B=π3B. ▵ABC外接圆的面积为16π
C. ▵ABC的面积的最大值为4 3D. a+c的最大值是8
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为掕C1D1的中点，且F为CC1靠近C1的三等分点.则下列说法正确的是( )
A. 直线AE与BF是异面直线B. 直线EF与BD所成角的余弦值为 155
C. EF⊥AC1D. 三棱锥E−DB1F的体积为89
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若z=2+3i1+i，则|z|= ．
13.在菱形ABCD中，∠ABC=120∘，E是BC的中点，若AE⋅AD=3，菱形的边长为 ．
14.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，AC=BC=4，点P为斜边AB上的一点，沿直线CP将▵ACP折起形成二面角A′−CP−B.当折起后三棱锥A′−CPB的体积最大时，求∠ACP= ，此时二面角A′−BC−P的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a+2ia∈R，且z1−i为纯虚数．
(1)求a的值；
(2)若复数z满足|z−m|≤3，m∈R，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
某学校对学生身高进行调查，抽取200名学生，数据分为[140,150),[150,160)，[160,170),[170,180)，[180,190)五组.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的a值；
(2)求平均身高的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)若该市共有5万名高中生，试估计身高低于170cm的学生人数．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥底面ABC，若二面角P−AB−C的大小为30°，AB⊥BC，AC=2，PC=1，M是PA上靠近点A的三等分点，N是PB上的一点，且PB=4PN．
(1)求直线BC与直线PA所成角的余弦值；
(2)求三棱锥P−MNC的体积．
18.(本小题17分)
某游戏中，玩家甲、乙独立挑战三个关卡，通关规则为：前两关都挑战成功或前两关恰有一关挑战成功且第三关挑战成功.已知甲每关挑战成功的概率为12，乙前三关挑战成功的概率依次为23，12，34.假设甲、乙两人每轮是否挑战成功相互独立．
(1)求甲仅需挑战前两关就通关的概率；
(2)求乙挑战全部三关且通关的概率；
(3)求甲、乙恰有一人通关的概率．
19.(本小题17分)
在锐角▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2a−b=2ccsB.点D在AB上，满足AD=2DB且CD=1．
(1)求角C；
(2)求证：4a2+b2+2ab=9；
(3)求▵ABC面积的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示建立方程，求解参数即可．
【详解】因为a=(2,−3)，b=(4,k)，且a与b共线，
所以2k−(−3)×4=0，解得k=−6，故A正确．
故选：A
2.【答案】B
【解析】【分析】先求出高二学生的占样本的抽样比，再乘以300即可．
【详解】由题意：从高二年级抽取的学生人数为：300×32+3+5=90．
故选：B
3.【答案】C
【解析】【分析】先根据复数的乘法确定复数z，在根据复数的几何意义确定复数z对应的点所在的象限．
【详解】首先z=2−4i1−i=2−2i−4i+4i2=−2−6i．
所以复数z对应的点(−2,−6)在复平面的第三象限．
故选：C
4.【答案】D
【解析】【分析】直接根据棱台的体积公式计算可得．
【详解】因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，
所以该正四棱台的体积V=1342+22+ 42×22×6=56．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】利用平面的线性运算法则求解即可．
【详解】因为E为CD的中点，所以AE=12AD+12AC，
又3AB=2AD，所以AD=32AB．
所以AE=12×32AB+12AC=34AB+12AC．
故选：A
6.【答案】B
【解析】【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系的性质定理，判定定理逐项判断即可．
【详解】对A：因为m⊥α，α⊥β，所以m//β或m⊂β，又n⊂β，所以m,n的位置关系不能确定，故A错误；
对B：因为n⊥β,α//β，所以n⊥α，又m//α，所以m⊥n.故B正确；
对C：因为两个平面垂直，分别位于两个平面的两条直线的位置关系不能确定，故C错误；
对D：因为两个平面平行，分别和这两个平面平行的直线的位置关系不能确定，故D错误．
故选：B
7.【答案】C
【解析】【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件A∩B的性质、并事件的概率的求法判断C和D．
【详解】对于A，若A⊂B⊂C，则P(A∪B∪C)=P(C)=0.60，a2+c2−b2>0，
我们先求解b2+c2−a2>0，此时代入c2=a2+b2−ab，
得到b2+a2+b2−ab−a2>0，即2b2−ab>0，
解得b>a2，即ab0，即2a2−ab>0，
解得a>b2，即ab>12，故t>12，综上，t∈(12,2)，
因为t=ab，所以a=bt，a2=b2t2，而4a2+b2+2ab=9，
故4b2t2+b2+2b2t=9，则b2(4t2+1+2t)=9，
可得b2=94t2+1+2t，故a2=9t24t2+1+2t，
则ab= a2b2= 94t2+1+2t×9t24t2+1+2t=9t4t2+1+2t，
由三角形面积公式得S▵ABC=12× 32×9t4t2+1+2t=9 34×t4t2+1+2t，
令f(t)=t4t2+1+2t，则f(t)=t4t2+1+2t=14t+1t+2，
由对勾函数性质得y=4t+1t在(12,2)上单调递增，
故f(t)在(12,2)上单调递减，当t→12时，f(t)→16，
当t→2时，f(t)→221，故f(t)∈(221,16)，
则S▵ABC∈(3 314,3 38)，故▵ABC面积的取值范围为(3 314,3 38)．

【解析】【分析】(1)先利用余弦定理角化边，再运算得到csC=12，进而结合三角形内角的性质求解即可．
(2)结合题意得到D是AB边上靠近D的三等分点，再利用向量三等分线定理和向量数量积的定义证明目标命题即可．
(3)先构造t=ab，再利用余弦定理结合锐角三角形的性质求出t的范围，再对4a2+b2+2ab=9合理变形，得到ab=9t4t2+1+2t，最后利用三角形面积公式表示出S▵ABC，最后结合对勾函数性质求解范围即可．