2026年湖南中考数学二轮复习 热点01 数与式(热点专练)

这是一份2026年湖南中考数学二轮复习 热点01 数与式(热点专练)，共60页。
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。
题型01 实数相关概念
题型02 科学记数法
题型03 实数的大小比较
题型04 数轴
题型05 整式运算（幂的运算）
题型06 二次根式
题型07 分式（方程 / 性质）
题型08 因式分解
题型09 分式化简 / 约分
题型10 实数混合运算
题型11 整式化简求值
题型12 分式化简求值
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 实数的相关概念
【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作米，那么跳1.7米应记作（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】本题主要考查正负数的实际应用，理解基准值与正负数的关系是关键．
跳远测试以2米为基准，超出基准的部分记为正数，不足部分记为负数．跳1.7米比基准少0.3米，应记作米．
【详解】解：∵跳远测试以2米为基准，超出基准的部分记为正数，不足部分记为负数．
∴跳2.1米比基准多0.1米，记作米．
同理，跳1.7米比基准少（米），
∴应记作米．
选项中只有D符合条件，
故选：D．
【例2】（2026·湖南怀化·模拟预测）的相反数是（ ）
A．2025B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相反数的定义，掌握绝对值和相反数的基本定义是解题关键．先计算的值，再求其相反数．
【详解】解：∵，
又∵的相反数为2025，
∴的相反数是2025．
故选：A．
【变式1】（2026·湖南·模拟预测）下列四个数中，其绝对值最大的数是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
先根据绝对值的性质求出各数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而确定绝对值最大的数即可．
【详解】解：，，，，
∵，即，
∴绝对值最大的数是．
故选：B．
【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（ ）
A．B．0C．D．2
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义列出算式并利用数轴判断代数式的符号，易错点是对新定义的理解有误或忽略数轴信息导致符号错误；先根据新定义将“湘约运算”转化为绝对值形式，再结合数轴上的位置判断的正负，从而去绝对值，然后计算与原代数式的和，最后化简结果并与选项匹配．
【详解】由题意得：
根据数轴图，且靠近1，且靠近，
∴，则
，
故选B．
【变式3】下列有理数的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对各选项化简多重符号和化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法比较即可．
【详解】解：A．∵，，
又∵，
∴，故该选项错误，不符合题意；
B．∵，，
∴，故该选项错误，不符合题意；
C．，故该选项错误，不符合题意；
D．∵，，
又∵，
∴，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查化简多重符号，化简绝对值，有理数的大小比较．掌握正数>0>负数；两个负数相比较时，绝对值大的反而小是解题关键．
题型02 科学记数法
【例1】（2026·湖南衡阳·一模）2026年2月5日上午，省十四届人大四次会议举行第二场“厅长通道”集体采访活动．省教育厅党组书记、厅长高山表示，今年将支持各地通过挖潜扩容、职普融通、建设综合高中等多种形式，扩充优质高中学位8万个．8万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，先将“8万”转化为整数，再根据科学记数法的规则确定a与n的值即可．
【详解】解：8万．
【例2】拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可．
【详解】解：∵3240万，
∴，
故选C．
【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．它精确到B．它精确到万位C．它精确到万分位D．它精确到千位
【答案】B
【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．还原成原数看3所在的数位即可．
【详解】解：∵，
∴该数精确到万位．
故选B．
【变式2】（2024·湖南·模拟预测）我国魏晋时期的数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，其与的误差小于0.00000027．数据0.00000027用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.00000027用科学记数法表示为．
故选：B．
【变式3】新型冠状病毒是目前已知的第种可以感染人的冠状病毒，经研究发现，它的单细胞的平均直径约为米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较小数时的形式为a×10−n ，其中1≤a＜10 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0 的数字后面即可，确定n的值时，n等于该数从左起第一个不为0的数字前所有0的个数．
【详解】易知a＝2.03，从左起第一个不为0的数字前面有7个0，所以n＝7，
∴0．000000203＝，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
题型03 实数大小比较
【例题1】下列有理数中，相反数大于5的数是（ ）
A．10B．5C．0D．
【答案】D
【分析】本题考查相反数的定义及有理数的大小比较，先求出各选项数的相反数，再判断是否大于5即可．
【详解】解： A选项10的相反数是，，不符合要求，
B选项5的相反数是，，不符合要求，
C选项0的相反数是0，，不符合要求，
D选项的相反数是6，，符合要求，
故选D
【例题2】若，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂运算和有理数比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．
计算各表达式的值，然后比较大小即可．
【详解】解：∵，，，，
∴ ，，，，
∴．
故选：B．
【变式1】如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（ ）
A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键．
【详解】解：星期一的温差为：，
星期二的温差为：，
星期三的温差为：，
星期四的温差为：，
∵，
∴日温差最大的一天是星期二．
故选：B．
【变式2】如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果________．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算与程序图的运用，理解程序图的计算，掌握有理数的加减混合运算是解题的关键．
根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可．
【详解】解：由计算机程序可知，当输入的数为5时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即输出的结果．
故答案为：
【变式3】估算比较大小：_____1．（填“”或“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查的是无理数的估算及大小比较，通过估算的取值范围，比较与1的大小即可．
【详解】解：∵，，
∴ ，
则，
因此，
故答案为：．
题型04 数轴
【例题1】下列四个数轴的画法中，规范的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】数轴要规定原点、正方向，单位长度要一致，由此求解．
【详解】解：A．所画数轴单位长度不一致，不合题意；
B．所画数轴没有原点，不合题意；
C．所画数轴规范，符合题意；
D．所画数轴没有正方向，不合题意．
【例题2】有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数轴得出，，再逐项判断即可得出答案．
【详解】解：①根据图示知，，故①正确；
②根据图示知，，故②错误；
③根据图示知，、，则．故③错误；
④根据图示知，，，则，，所以．故④正确．
综上所述，正确的结论是．
【变式1】已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．

(1)的长为______；
(2)如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是_____；
(3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)1
(3)存在，x的值是或5
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（3）分三种情况：当点在点的左侧时；在点和点之间时；点在点的右侧时；分别列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得：的长为；
（2）解：∵点P到点M、点N的距离相等，
∴x的值是；
（3）解：存在；理由如下：
①当点在点的左侧时，
根据题意得：，
解得：；
②点在点和点之间时，则，
方程无解，即点不可能在点和点之间；
③点在点的右侧时，，
解得：，
综上所述，x的值是或5．
【变式2】点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________．
【答案】
【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数．
【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为，
由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为：
已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为：
线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为
点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即：
【变式3】如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有_________个．
【答案】5
【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以估算无理数的大小．
根据题意和数轴的特点可以求得在数和之间的整数有几个，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴在数和之间的整数有，共有个．
故答案为：．
题型05 整式运算（幂的运算）
【例1】若是关于的单项式，其中系数是，次数为5，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查单项式的系数及次数，熟练掌握单项式的系数及次数是解题的关键；根据单项式系数为，可得，求出a；根据次数为5，可得变量指数和，求出n，然后验证各选项即可．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∴
故选：D．
【例2】（2025·湖南·三模）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的运算，二次根式的加减运算等知识；根据这些知识逐项解答即可．
【详解】解：A、，计算错误；
B、的指数不同，不能相加，计算错误；
C、，计算错误；
D、，计算正确；
故选：D．
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方，同底数幂的除法相关法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项法则判断A， 同底数幂的除法的法则判断B，积的乘方判断C，完全平方公式判断D，依次进行运算即可．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能进行合并同类项，故此项不符合题意；
B. ，故此项不符合题意；
C. ，故此项符合题意；
D. ，故此项不符合题意；
故选：C．
【变式2】已知，则的值是______．
【答案】25
【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．利用平方差公式分解，结合已知，推出，再将式子变形为，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：25．
【变式3】下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题．
求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可．
【详解】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：，
A．；
B．；
C．；
D．；
故选A．
题型06 二次根式
【例1】若代数式有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此列式求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【例2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键．
根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，再利用二次根式加减运算法则计算，即可解题．
【详解】解：原式
．
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）估计的值应在（ ）
A．与之间B．与之间C．与之间D．与之间
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的化简与求值与根式的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
化简运算，再根据根式的大小估算即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2】已知、均为锐角，且满足，则等于（ ）
A．75°B．60°C．45°D．105°
【答案】A
【分析】先求出与的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，计算两角和即可.
【详解】解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∵，均为锐角，
∴，，
∴．
【变式3】我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为________．
【答案】12
【分析】先计算，代入公式计算即可．
本题考查了二次根式的应用，熟练掌握公式，精准化简二次根式是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：12．
题型07 分式的性质
【例1】下列各式中，分式的个数为（ ）
，，，，，，，
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据分式的定义逐个判断即可解答．
【详解】解：分式有，，，共4个．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的定义，如果A、B都是整式，式子中分母B中含有字母，那么叫分式．
【例2】若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义，则分母不为零，据此得到，即可求解．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为
【变式1】若分式的值是零，则x的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为时分子为且分母不为这一条件是解题的关键．
根据分式的值为，列出方程解方程即可．
【详解】解：∵分式的值为，
∴，即，解得．
又∵分母，即．
∴．
故答案为：．
【变式2】（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，变形错误，不符合题意；
B、，变形错误，不符合题意；
C、，变形错误，不符合题意；
D、，变形正确，符合题意；
故选D．
【变式3】（湖南张家界·模拟预测）已知，，，，（为正整数，且，），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了规律探究，首先根据规律计算出、、、的值，得出规律是每个数一循环，又因为，可知是第个循环的最后一个数，从而得出结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
可知每个数一循环，
，
是第个循环的最后一个数，
．
故选：C．
题型08 因式分解
【例1】分解因式：______．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【例2】因式分解：___________．
【答案】
【分析】本题考查了运用完全平方公式进行因式分解，识别多项式为完全平方式并准确匹配公式形式是解题的关键．
利用完全平方公式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为：．
【变式1】分解因式：______．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．
先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式2】（2025·湖南长沙·一模）分解因式：____________．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式3】小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：______．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解与几何图形面积的综合应用，解题的关键是将代数式转化为图形各部分面积的和，再通过整体观察图形的边长得到因式分解的结果．
长方形的面积长宽，所以
【详解】解：；
故答案为：
题型09 分式化简/约分
【例1】若把分式中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍D．不变
【答案】B
【分析】本题考查分式的基本性质，利用分式的性质进行判断即可．
【详解】解：把分式中的x与y都扩大2倍得，
则所得分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
【例2】下列各式中最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可．
【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意；
B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；
C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；
D. 是最简分式，故符合题意；
故选：D．
【变式1】分式和的最简公分母为________．
【答案】/
【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可．
【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1，
∴分式与的最简公分母为．
故答案为：．
【变式2】已知，是方程的两根，则_________．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式的求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键．
首先求出，，然后将通分后整体代入求解即可．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
．
故答案为：．
【变式3】化简：______．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先算分式的乘方，再算乘法即可．
【详解】解：，
故答案为：
题型10 实数混合运算
【例1】计算：．
【答案】
0
【详解】解：
．
【例2】（2026·湖南衡阳·一模）计算：．
【答案】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质，进行计算即可．
【详解】解：
．
【变式1】计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值化简，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，然后从左到右进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【变式2】计算：．
【答案】1
【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数，零指数幂，掌握以上知识的计算法则是关键，先计算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【变式3】计算：．
【答案】．
【分析】本题主要考查了实数计算，结合绝对值的性质，特殊角的三角函数值，负指数幂计算是解题的关键．
根据负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
题型11 整式化简求值
【例1】化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握整式乘法的公式并正确合并同类项是解题的关键．先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式展开，最后合并同类项化简．
【详解】解：
．
【例2】先化简，再求值：，其中．
【答案】，15
【分析】本题主要考查整式的混合运算及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式和平方差公式、单项式乘多项式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将的值代入计算．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【变式1】（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式可进行化简，然后再代值求解即可
【详解】解：原式
．
当时，
原式．
【变式2】（2025·湖南·二模）化简：________．
【答案】1
【分析】本题主要考查乘法公式，原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并即可．
【详解】解：
，
故答案为：1．
【变式3】课堂上老师设计了一种运算：．例如，．
(1)已知x为非零实数，计算：；
(2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，以及配方法的应用．
（1）根据新定义运算代入计算即可．
（2）根据新定义运算可得，再进一步结合配方法证明即可
【详解】（1）解：；
（2）证明：

，
∵，
∴，
∴，
即无论x为何值，运算结果都不超过12．
题型12 分式化简求值
【例1】（2026·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：其中，满足．
【答案】；
【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，非负性求出的值，再代入化简后的式子，计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【例2】（2026·湖南·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
=
，
当时，
原式．
【变式1】（2026·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中是从中选取的一个合适的数．
【答案】，当时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
，，
，，，
，
则原式．
【变式2】先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算．先计算括号内的加法，再计算除法得到化简结果，把字母的值代入计算即可．
【详解】解：原式


当时
原式
【变式3】若，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简，关键是整体思想的应用；通过代数变换，将已知等式 转化为关于 的方程，然后求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．

（20分钟限时练）
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了倒数，根据倒数的定义，一个数的倒数是，因此的倒数为．
【详解】倒数的定义：若，则是的倒数，且，
的倒数为 ，
故选：．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，二次根式加法运算法则，逐项判断即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A运算错误；
B．，故B运算错误；
C．，故C运算正确；
D．二次根式加法中，只有同类二次根式才能合并，，故 D运算错误．
3．我们定义：．若，，则（ ）
A．或B．或C．或D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程解法，代数式求值，由题意得，，从而有，然后求出，的值，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，则，
由题意得，则，
∴
，
∴，，，
代入得：，，，
∴或，
故选：．
4．自1949年10月1日毛泽东主席在天安门城楼向全世界庄严宣告：“中华人民共和国中央人民政府今天成立了！”天安门从此成为中华人民共和国的象征．天安门广场面积达44万平方米，是世界上最大的城市中心广场之一44万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的形式为，其中，为整数，确定和的值是解题关键．
根据科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】解：44万．
故选B．
5．的立方根是______．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键．
【详解】解：因为表示的算术平方根，
所以 ，
所以的立方根是 ，即的立方根是，
故答案为：．
6．比较大小： __________填“”“”或“”
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小．
【详解】解：，，且，
，
，
故答案为：．
7．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字__________．
【答案】4
【分析】本题主要考查了图形和数字类规律探索，解题的关键是理解题意．
根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4，黑1，黑2，黑3，黑4的位置，即可得出答案．
【详解】解：由题意知，第一行中与第二行中肯定有一张为白，
若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，
∴白1摆在了第一行中的位置，
∴黑1摆在了第一行中的位置，
∵第一行中与第二行中肯定有一张为白2，
若第二行中为白2，则第二行中只能是黑1和黑2，而第一行中为黑1，矛盾，
∴第一行中为白2，
∵第一行中与第二行中肯定有一张为白3，
若第一行中为白3，则第一行中只能是黑2和黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，
∴第二行中为白3，
∴第二行中分别为黑2和黑3，
∵第一行中与第二行中肯定有一张为白4，
若第一行中为白4，则只能是黑3和黑4，与第二行中为黑3矛盾，
∴第二行中为白4，
∴第二行中为黑4，
故答案为：4．
8．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值，分别根据相关运算法则对各项进行化简，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
9．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，
原式．
10．【知识储备】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：；
②线段的中点表示的数为；
③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．
【问题解决】
(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________；
(2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）；
(3)通过计算说明，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4，5
(2)
(3)t为1或4或16
【分析】（1）根据数轴两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意得：t秒钟过后，可列出点表示的数；
（3）分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解；
本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系．
【详解】（1）解：点表示数，点表示数，点表示数，
的距离为；
点与点的中点为,表示的数为：．
故答案为：，．
（2）解：点以每秒2个单位长度的速度在数轴上向左运动，
运动秒后，点表示的数为：；
故答案为：．
（3）解：根据题意得：秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
当点是点、的中点时，
解得：；
当点是点,的中点时，
解得：；
当点是点,的中点时，,
解得：；
综上所述,的值为或或．两年：数与式部分主要考查实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算；而这些考点中，对实数相关概念、科学记数法、整式幂运算的基础运用考查占比最高，试题难度整体偏低，属于湖南中考必考的基础 “送分题”，题目多以选择题、填空题及实数混合运算、分式化简求值类简单解答题呈现；但湖南统考命题灵活，考点固定但设问形式、背景素材多变，即便核心知识点一致，考查角度也会有所不同。
知识点
2025 年湖南统考
2024 年湖南统考
实数相关概念
第 1 题，选择题，3 分
第 1 题，选择题，3 分
科学记数法
未单独考查
第 2 题，选择题，3 分
实数的大小比较
未单独考查
未单独考查
数轴
未单独考查
未单独考查
整式运算（幂的运算）
第 4 题，选择题，3 分
第 4 题，选择题，3 分
二次根式
第 12 题，填空题，3 分
第 5 题，选择题，3 分
分式（方程 / 性质）
第 5 题，选择题，3 分
未单独考查
因式分解
第 13 题，填空题，3 分
第 11 题，填空题，3 分
分式化简 / 约分
第 14 题，填空题，3 分
未单独考查
实数混合运算
第 19 题，解答题，6 分
第 17 题，解答题，6 分
整式化简求值
第 20 题，解答题，6 分
第 18 题，解答题，6 分
分式化简求值
未单独考查
未单独考查
预测2026年：2026 年湖南中考数与式模块将延续统考命题稳定性，聚焦数学核心素养。因此复习时，考生需熟练掌握知识点的核心原理与各类变形应用，精准识别不同情境下的考点本质，稳稳拿下这部分基础分值。分式的化简求值连年都未考察，但是还是有很大概率出现，也需要多练习。
解｜题｜策｜略
1. 先判断实数类型（有理数、无理数），再运用对应概念解题；
2. 涉及相反数、绝对值等概念，先记定义再计算，避免混淆。
方｜法｜指｜导
1. 分类：有理数（可化为有限/无限循环小数），无理数（无限不循环小数，如2、π）；
2. 核心公式/要点：
① 相反数：a的相反数是−a（a+−a=0）；
② 倒数：a≠0时，倒数为1a（a×1a=1）；
③ 平方根：正数有两个互为相反数的平方根（±a），0的平方根是0，负数无平方根；
④ 算术平方根：a（a≥0，非负）。
易｜错｜点
1. 混淆平方根与算术平方根（如误将4算为±2）；
2. 误将带根号的数都归为无理数（如9=3是有理数）。
解｜题｜策｜略
1. 牢记标准形式：a×10n（1≤|a|10，n=整数位数-1；② 原数b；若结果=0，则a=b；若结果b；若结果=1，则a=b；若结果0）；② 同类二次根式（被开方数相同）可合并，分母需有理化。
易｜错｜点
1. 忽略二次根式有意义的条件（如漏算分母含根式时的限制）；
2. 同类二次根式判断错误（如误判2与8不是同类根式）；
方｜法｜指｜导
1. 核心性质（分式基本性质）：ab=a×kb×k=a÷kb÷k（b≠0，k≠0）；
易｜错｜点
1. 运用分式性质时，忽略k≠0或分母≠0的条件；
解｜题｜策｜略
1. 遵循“先提公因式，再套公式”的顺序，因式分解要彻底（分解到不能再分解为止）；
2. 根据多项式特点，选择合适的分解方法。
方｜法｜指｜导
1. 核心方法：① 提公因式法：ma+mb+mc=ma+b+c（找出各项公因式）；② 公式法：平方差公式a2−b2=a+ba−b，完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2；
2. 关键：分解要彻底，若提公因式后仍能套公式，需继续分解。
易｜错｜点
1. 忘记先提公因式，直接套公式（如x2−4x+4，未先提1，虽不影响，但复杂多项式易出错）；
2. 因式分解不彻底（如x4−1分解为x2+1x2−1，未继续分解x2−1）；
3. 混淆平方差与完全平方公式，符号出错（如a2−2ab+b2误分解为a+b2，正确应为a−b2）。
解｜题｜策｜略
1. 牢记幂的运算法则，遵循“先幂后乘除再加减”的顺序；
2. 先合并同类项，运算时注意符号和避免漏乘。
方｜法｜指｜导
1. 核心幂的运算法则（m、n为整数）：
① 同底数幂相乘：am⋅an=am+n（底数不变，指数相加）；
② 同底数幂相除：am÷an=am−n（a≠0，底数不变，指数相减）；
③ 幂的乘方：amn=amn（底数不变，指数相乘）；
④ 积的乘方：abn=anbn（因式分别乘方，再相乘）；
⑤ 零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：a−n=1an（a≠0）；
2. 整式加减：先去括号（符号注意），再合并同类项（只加系数，字母/指数不变）。
易｜错｜点
1. 混淆幂的运算法则（如am⋅an误算为amn）；
2. 去括号符号错误（如−2x−3误算为−2x−3）；
3. 多项式相乘漏乘某一项。
解｜题｜策｜略
1. 遵循运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）；
2. 灵活运用运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律等）简化运算，注意符号。
方｜法｜指｜导
1. 核心要点：① 乘方：正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正；② 开方：a≥0（a≥0），立方根与原数符号一致；③ 同级运算（乘除、加减）从左到右依次进行；
易｜错｜点
负号运算失误（如−22误算为−4，−22误算为4）；
易错点防控：先定符号，再算绝对值，避免符号混乱。
解｜题｜策｜略
1. 先对整式进行化简（去括号、合并同类项、幂的运算），再代入数值求值；
2. 代入数值时，注意符号（尤其是负数、分数），避免代入后计算失误。
方｜法｜指｜导
1. 步骤：① 化简整式（遵循幂的运算、去括号、合并同类项法则）；② 代入数值（若字母为负数，需加括号）；③ 计算结果；
2. 技巧：若代入数值较复杂，可先观察整式是否能因式分解，简化计算。
易｜错｜点
1. 未化简直接代入，导致计算繁琐、出错；
2. 代入负数、分数时，未加括号（如x=−2，代入x2误算为−22=−4）；
3. 化简时合并同类项或去括号错误，导致后续求值失误。
解｜题｜策｜略
1. 先将分式化简为最简分式（因式分解、约分），再代入使分母不为0的数值求值；
2. 若有条件式（如a+b=2），可先化简条件式，再整体代入分式，简化计算。
方｜法｜指｜导
1. 步骤：① 化简分式（分子分母因式分解、约分，化为最简）；② 验证代入数值：确保分母（含原分式、化简后分式）不为0；③ 代入求值（整体代入优先）；
易｜错｜点
1. 化简不彻底，代入后计算繁琐出错；
2. 代入数值时，忽略分母不为0的限制（如代入x=2，使分母x−2=0）；
3. 整体代入时，符号或运算失误（如a=−1，代入a2−1误算为−12−1=−2，正确应为−12−1=0）；
4. 代入无理数数值时，最终结果需要分母有理化。