2026年湖南中考数学二轮复习 热点02 方程(组)与不等式(组)(热点专练)

这是一份2026年湖南中考数学二轮复习 热点02 方程(组)与不等式(组)(热点专练)，共13页。
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。
题型01 一元一次与二元一次方程（概念及解法）
题型02 一元二次方程（概念与性质）
题型03 一元二次方程（基础解法）
题型04 一元二次方程根与系数关系应用
题型05 分式方程（性质与解法）
题型06 一元一次方程实际应用
题型07 二元一次方程组实际应用
题型08 一元二次方程实际应用
题型09 分式方程实际应用
题型10 不等式（组）（概念与解法）
题型11 方程与不等式综合应用（专题训练）
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 一元一次与二元一次方程（概念及解法）
母题精讲
【例题1】（2025·湖南·模拟预测）解下列方程（组）：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组．
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）整理后，利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：将方程组整理得：，
，得，
解得，
将代入，得，
解得：，
∴方程组的解为．
【例题2】（2026·湖南·模拟预测）已知是方程的解，则___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解题的关键．
根据一元一次方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，解此方程即可得到的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得．
故答案为：．
变式应用
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）若，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查等式的基本性质．根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则两边同时乘以得。只有当时，才有。由于的值不确定，所以该等式不一定成立，故本选项符合题意；
D、若，则，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，满足方程组，则的值为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组，解题关键是利用整体思想求解，不需要计算出的值．
将两式相加先求出的值，再求．
【详解】解：，
由得，
，
故选：B．
【变式3】（2025·湖南·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程有两个解和，则的值为______．
【答案】6
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，根据题意可得方程组，据此利用加减消元法即可得到答案．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程有两个解和，
∴
∴得，
故答案为：．
题型02 一元二次方程（概念与性质）
母题精讲
【例题1】（2025·湖南·模拟预测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项．
【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，
选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合；
选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程；
选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合；
选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程．
故选：C．
【例题2】（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
其中，，，
由，得，
由，
得，即，
故且，
故答案为：且．
变式应用
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：．
【详解】解：是一元二次方程，
，
解得：，
一元二次方程有实数根，
，
解得：，
满足且．
故选：C．
【变式2】（2025·湖南株洲·模拟预测）关于的方程的一个根为，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解，把代入得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得：．
故答案为：．
【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如果是一元二次方程的解，则_____．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
利用一元二次方程解的定义得到，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的解，
，
，
，
故答案为：．
题型03 一元二次方程（基础解法）
母题精讲
【例题1】（2025·湖南·模拟预测）用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法．
利用配方法进行求解即可．
【详解】解：
故选：D．
【例题2】（2025·湖南常德·模拟预测）用公式法解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答．
【详解】解：．
∵，
∴，
∴，．
变式应用
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）解方程：
【答案】，
【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法．
利用因式分解法，求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
即或，
解得：，．
【变式2】（2024·湖南郴州·模拟预测）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）先计算判别式，用公式法求解可得．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【变式3】（2025·湖南·模拟预测）若，则_______．
【答案】6
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：．
设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可．
【详解】解：设，则，
∴，
解得或（不合题意，舍去）；
故．
故答案为：6．
题型04 一元二次方程根与系数关系应用
母题精讲
【例题1】（2025·湖南·模拟预测）已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可．
【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根，
由根与系数的关系得，，
则 ，
故答案为．
【例题2】（2025·湖南·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键．
()利用根的判别式，即可求出答案；
()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）∵，是该方程的两个根，
∴，
，
∴，
整理得：，
解得，
∵，
∴．
变式应用
【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解决此题的关键是熟记公式；利用根与系数的关系和给定的根的比例关系，代入求解即可．
【详解】解：∵方程 的两根为 和 ，
由根与系数的关系可得：，，
又 ∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
将 代入：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴．
故选：D．
【变式2】（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（ ）
A．B．或20C．2或D．
【答案】C
【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可．
【详解】解：①当时：
∵a和b满足，且（因为代入得），
∴原式；
②当时：
∵a和b是方程的两个根，
∴，，
原式，
∵，
∴分子，分母，
∴原式，
综上所述，原式的值为2或．
故选：C．
【变式3】（2024·湖南·模拟预测）已知，是关于x的一元二次方程的两根，则 ______．
【答案】13
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得，，代入，即可解答．
【详解】解：已知，，，，
，，
∴．
故答案为：13．
题型05 分式方程（性质与解法）
母题精讲
【例题1】（2025·湖南·模拟预测）分式方程的解是_______．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，再检验即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
解得：，
检验：把代入，，
∴分式方程的解为．
故答案为：．
【例题2】（2025·湖南·模拟预测）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为______．
【答案】或
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可
【详解】解：原分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到，
解得：或，
当时，，即；
当时，，即，
综上，m的值是或．
故答案为：或．
变式应用
【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为 _____．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解，分式方程无解的条件．
把分式方程化为整式方程，求增根，代入整式方程，即可得的值．
【详解】解：
去分母得，
∵关于的方程无解，
∴，
解得，
把代入，
可得，
解得，
∴的值为．
故答案为：．
【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】本题考查了解分式方程的一般步骤：一化整式方程，二解整式方程，一元一次不等式与实际问题，理解分式方程的解的意义是解题的关键．
根据解分式方程的一般步骤解出方程，再根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：
，
根据分式方程的解为负数得，
，
解得，
当时无意义，即，
解得，
综上，且，
故答案为：且．
【变式3】（2025·湖南·模拟预测）关于x的方程：．若这个方程有增根，求a的值．
【答案】
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值带入整式方程求解即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得，
即，
当时，若原方程有增根，则，
解得：，
将代入整式方程得：，
解得：，
综上，a的值为．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是确定增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
题型06 一元一次方程实际应用
母题精讲
【例题1】（2025·湖南·模拟预测）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【答案】应分配名工人生产电压表．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，
依题意得，
解得，
答：应分配名工人生产电压表．
【例题2】（2025·湖南·模拟预测）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要天；如果由乙队单独完成，需要天．现在由甲队单独做了天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？
【答案】天
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列出方程是解答本题的关键．设甲乙两队后续需要合作天才能修完这座桥，根据甲队单独做了天后，甲乙两队后续需要合作天才能修完这座桥，列方程求解即可．
【详解】解：设甲、乙两队合作完成还需要的天数是，
根据题意可得，
解得，
答：甲、乙两队后续需要合作天才能修完这座桥．
变式应用
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）商场以240元/件的价格购进某种商品，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打7折销售4件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价．
【答案】该商品的原售价为400元
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设该商品的原售价为元．利用按原售价销售1件该商品与按原售价打7折销售4件该商品所获得的利润相同，建立方程求解即可．
【详解】解：设该商品的原售价为元．
根据题意，得，
解得．
答：该商品的原售价为400 元．
【变式2】（2025·湖南·模拟预测）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为．
(1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除；
(2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）根据题意，整理出代数式进行分析即可；
（2）根据题意，列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为，
得到的新的两位数为，
，且为整数，
这个新的两位数能被9整除；
（2）解：由题意，
得，
解得．
【变式3】（2025·湖南·模拟预测）月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵．
【答案】甲、乙两组家庭共植树棵．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵，
根据题意得：，
解得．
∴．
答：甲、乙两组家庭共植树棵．
题型07 二元一次方程组实际应用
母题精讲
【例题1】（2019·湖南常德·一模）近几年某地在全面推进“两型社会”建设方面成效显著，低碳环保．生态节能的生活方式已成为社会共识．杨先生要从某地到长沙，若乘飞机需要3h，乘汽车需要9h．这两种交通工具每小时排放的二氧化碳总量为70kg，已知飞机每小时二氧化碳的排放量比汽车多44kg．
（1）求汽车．飞机每小时二氧化碳的排放量各是多少千克；
（2）杨先生若乘汽车来长沙，那么他此行与乘飞机相比将减少二氧化碳排放量多少千克？
【答案】（1）汽车每小时二氧化碳的排放量是57千克，飞机每小时二氧化碳的排放量是13千克；（2）他此行与乘飞机相比将减少二氧化碳排放量54千克．
【分析】（1）设汽车每小时二氧化碳的排放量是x千克，飞机每小时二氧化碳的排放量是y千克，根据“这两种交通工具每小时排放的二氧化碳总量为70kg，飞机每小时二氧化碳的排放量比汽车多44kg”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用减少二氧化碳排放量=飞机每小时二氧化碳的排放量×乘坐飞机所需时间-汽车每小时二氧化碳的排放量×乘汽车所需时间，即可求出结论．
【详解】解：（1）设汽车每小时二氧化碳的排放量是x千克，飞机每小时二氧化碳的排放量是y千克，
依题意，得：，
解得：．
答：汽车每小时二氧化碳的排放量是57千克，飞机每小时二氧化碳的排放量是13千克．
（2）57×3-13×9=54（千克）．
答：他此行与乘飞机相比将减少二氧化碳排放量54千克．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【例题2】（2025·湖南·真题） 4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名
岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，
根据题意得：

解得： ．
答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
变式应用
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，问：购进型、型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元
(2)购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，
（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元．
根据题意得：
解得．
答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元；
（2）解：设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元．
则该公司购进辆型汽车，根据题意得：
，即，
，
随的增大而减小，
又均为正整数，
的最小值为2，
此时（辆）．
当时，取得最大值，最大值为（元），
答：购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
【变式2】（2024·湖南·一模）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
(1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元
(2)当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
【变式3】（2025·湖南·中考真题）如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大480．设∠BAE和∠BAD的度数分别为、，那么、所适合的一个方程组是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】本题考查的是根据实际问题列方程组
由折叠可得∠BAD∠BAE，再由∠BAD比∠BAE大480，即可列出方程组．
根据折叠可得∠BAD∠BAE，得方程，
根据∠BAD比∠BAE大480，得方程，
则可列方程组为，
故选C．
题型08 一元二次方程实际应用
母题精讲
【例题1】（2025·湖南·模拟预测）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
【例题2】（2025·湖南·模拟预测）今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据平均增长率的定义，每年增长比率相同，故两年后数量为初始值乘以的平方，由此列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则2024年游客人次为万人次，2025年游客人次为万人次，
∵2025年预计为165万人次，
∴，
故选：A．
变式应用
【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？
【答案】每件玩具应降价元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．每件玩具应降价元，则单价为元，销量为个，根据单价销量销售额（批发额）列方程求解即可．
【详解】解：设每件玩具应降价元．
根据题意得，，
整理得，，即，
解得．
答：每件玩具应降价元．
【变式2】（2025·湖南·模拟预测）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，则名学生共赠贺卡为张，由题意即可列出方程．
【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，
∴名学生共赠贺卡为张，
由题意得：；
故选：D．
【变式3】（2025·湖南娄底·一模）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题：
(1)点出发几秒后，可使的面积为？
(2)点出发几秒后，？
【答案】(1)点P，Q出发1秒后，可使的面积为
(2)点P，Q出发2.4秒后，
【分析】本题意考查了一元二次方程的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
（1）设点P，Q出发x秒，根据“的面积为”列方程求解即可；
（2）设点P，Q出发y秒后，，可得，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：设点P，Q出发x秒后，的面积为．
∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
∴，，
根据题意，得，
解得：，（舍去）
答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为；
（2）解：设点P，Q出发y秒后，，
∴，
∴，
∴=
∴y=2.4
答：点P，Q出发2.4秒后，．
题型09 分式方程实际应用
母题精讲
【例题1】（2024·湖南长沙·模拟预测）某学校为开展社会实践活动共租用一辆大巴车和一辆中巴车，已知活动地点距离学校，大巴车和中巴车同时从学校出发，大巴车的速度是中巴车的1.2倍，结果大巴车比中巴车早到，求中巴车的速度．
【答案】中巴车的速度为
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设中巴车的速度为，则大巴车的速度为，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：设中巴车的速度为，则大巴车的速度为，
根据题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
答：中巴车的速度为．
【例题2】（2025·湖南·模拟预测）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻．
【答案】原计划每天收割5公顷的水稻
【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：原计划每天收割5公顷的水稻．
变式应用
【变式1】（2025·湖南邵阳·一模）为迎接省旅游发展大会，某市对文化广场进行提质改造，该文化广场为长方形，长为120米，宽为80米，广场中心有一个半径为20米的圆形花坛，花坛外围需重新铺设广场砖．
(1)预估需要广场砖多少平方米正好铺设完成？（π取3）
(2)某施工队承包铺设广场砖的任务，因工期紧张，临时增加工人施工，每天比原计划多铺设，提前8天完成任务，求原计划每天铺设广场砖多少平方米？
【答案】(1)8400
(2)300
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及正方形的性质等知识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）设原计划每天铺设广场砖x平方米，根据每天比原计划多铺设，提前8天完成任务，列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得：（平方米），
答：预估需要广场砖约8400平方米正好铺设完成；
（2）解：设原计划每天铺设广场砖x平方米，则实际每天铺设广场砖平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．且符合题意，
答：原计划每天铺设广场砖300平方米．
【变式2】（2025·湖南·模拟预测）中世纪意大利数学家斐波那契（1175年-1250年），编写的《计算之书》记载一道数学题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第二次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为x人，则可列方程为（ ）

A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据第二次每人所得硬币与第一次相同，即可列出分式方程．
【详解】解：∵第一次分硬币的人数为x人，
∴设第二次分硬币的人数为人，
∵第二次每人所得与第一次相同，
∴列出分式方程：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系列出分式方程是解题的关键．
【变式3】（2025·湖南邵阳·三模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
(1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
(2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用)
【答案】(1)燃油车每千米行驶费用为元；纯电新能源车每千米行驶费用为元
(2)每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低
【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
（1）根据表中的信息，用油和电的费用除以a，表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，求出燃油车和纯电新能源车的每千米费用，由年费用年行驶费用年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为：（元），
纯电新能源车每千米行驶费用为：（元）；
（2）解：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意；
故，，
设每年行驶里程超过x千米时，新能源车的年费用比燃油车更低，
，
解得，
答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低．
题型10 不等式（组）（概念与解法）
母题精讲
【例题1】（2025·湖南·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组解集在数轴上的表示，先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分，最后在数轴上表示出该公共部分并选择正确选项．
【详解】解：，
由不等式①得：，
由不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴符合题意的数轴为D项，
故选：D．
【例题2】（2024·湖南娄底·模拟预测）如果，那么下列不等式中，一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，
∴，该选项错误，符合题意；
故选：．
变式应用
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是中的一个数，则关于的方程有解的概率为_______．
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程根据与系数的关系，求不等式的解集，概率的计算，掌握一元二次方程根与系数的关系和概率计算是解题的关键．
根据一元二次方程有解的判定方法“”可得的值，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：关于的方程有解，
∴，
解得，，
∴的值可以是或，两个值，
∴方程有解的概率为，
故答案为： ．
【变式2】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整数k值为2024，
故选：C．
【变式3】（2025·湖南·模拟预测）若不等式组无解，则m的值可能为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的判定方法．核心是理解不等式组解集的几何意义，即两个解集在数轴上无重叠区域时，不等式组无解．
首先分别解出不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解的条件，即两个不等式没有公共部分，来确定m的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求．
【详解】解：对不等式进行求解，
可得，即．
对不等式进行求解，
可得，即．
因为不等式组无解，
所以，解得．
选项A中，，满足．
选项B中，，不满足．
选项C中，，不满足．
选项D中，，不满足．
故选：A ．
题型11 方程与不等式综合应用（专题训练）
母题精讲
【例题1】（2026·湖南·模拟预测）某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用600元单独购买乙种图书的数量相同．
(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元；
(2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过850元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案．
【答案】(1)甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元
(2)共有4种购买方案， 甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用：
（1）设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据题意，列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元，
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元）
答：甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元
（2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，
由题意得：
解得：
为整数，
，
共有4种购买方案如下：甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本．
【例题2】（2024·湖南·模拟预测）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台．
(1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？
(2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？
【答案】(1)类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元；
(2)方案①4台A类、8台B类；方案②3台A类、9台B类；方案③2台A类、10台B类．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找出关系，列出方程组和不等式组是解题的关键．
（）设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元，根据题意列方程组求解即可；
（）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台，根据题意得，然后解不等式组即可．
【详解】（1）解：设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元，
由题意可得，
解得
答：类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元．
（2）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台．
根据题意得
解得．
共有三种购买方案，购买方案如下：①4台A类、8台B类；②3台A类、9台B类；③2台A类、10台B类．
变式应用
【变式1】（2025·湖南株洲·一模）随着疫情防控形势稳步向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产型无人机架，4月份生产型无人机达到架．
(1)求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产型无人机，已知生产1架型无人机的成本是元，生产1架型无人机的成本是元．现要生产两种型号的无人机共架，其中型无人机数量不超过型无人机数量的倍．公司生产两种型号无人机各多少架时才可使生产成本最少？
【答案】(1)该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为
(2)公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小
【分析】此题主要考查了一元二次方程应用以及一次函数应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程以及不等式解答即可．
（1 ）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为，列出方程，求解即可；
（ 2）设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机架，需要成本为w元，先求出a的取值范围，表示出，再利用一次函数增减性得出答案．
【详解】（1）解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为，
，
（不合题意，舍去）
答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为．
（2）解：设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机架，需要成本为w元，依据题意可得：
，
解得：，
那么，
∵，
∴当a的值增大时，w的值减小，
∵a为整数，
∴当时，w取最小值，
此时，，
∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
答：公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
【变式2】（2024·湖南·模拟预测）2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作．
(1)某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？
(2)吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个．
【答案】(1)“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元
(2)“山侠”公仔最多能购进个
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元，先求出购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用，再根据“商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个”建立分式方程求解；
（2）设购进“山侠”个，则购进“水仙”个，根据“商店计划用不超过10200元的资金”建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元，
由题意得，购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用都为（元），
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴“山侠”公仔的单价为（元）
答：“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元；
（2）解：设购进“山侠”个，则购进“水仙”个，
由题意得，，
解得：，
答：“山侠”公仔最多能购进个．
【变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元；
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了0.3元，B种蔬菜进价每千克上涨了0.2元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）．
①请求出w与m的函数解析式并写出m的取值范围；
②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)全部售完获利为580元
(2)①，②超市第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，找出等量关系式，用一次函数的性质求解是解题的关键．
（1）等量关系式：购进A种蔬菜的重量购进B种蔬菜的重量千克，购进A种蔬菜的费用购进B种蔬菜的费用千克，列出方程组，即可求解；
（2）①等量关系式：总获利销售A种蔬菜的获利销售B种蔬菜的获利，据此列出函数关系式，即可求解；②由①得函数关系式，再由一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设购进A种蔬菜x千克，购进B种蔬菜y千克，
根据题意列出方程组为：，
解得：，
全部售完获利：
（元）．
（2）解：①设第二次购进A种蔬菜m千克，则购进B种蔬菜千克，
根据题意，
解得：，
，
②超市第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，，
，
一次函数w随m的增大而减小，
∴当时，w取最大值，
（元），
，
超市第二次获利不能超过第一次获利．

（20分钟限时练）
1．（2025·湖南·模拟预测）程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，设大和尚有人，则小和尚有人，根据馒头总数列方程即可．
【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，由题意，
；
故选C．
2．（2025·湖南·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出二元一次方程组是解题的关键．
根据桶容量为10斗，得，根据总米数7斗，得即可得到方程组．
【详解】解：∵桶容量为10斗，
∴，
∵出米率为，y斗谷子出斗米，加上原有x斗米，共得米7斗，
∴，
∴可得方程组：，
故选：A．
3．（2026·湖南·模拟预测）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．
利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
故选：D．
4．（2026·湖南·模拟预测）已知是方程的解，则b的值为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解答本题的关键．
将代入方程，求解即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
即，
解得：．
故选：B．
5．（2024·湖南·模拟预测）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键；根据题意，慢马送信时间为天，速度为里/天；快马送信时间为天，速度为里/天.快马速度是慢马速度的倍，由此列出方程.
【详解】设规定时间为x天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天，
∵ 慢马速度为，快马速度为，
且快马速度是慢马速度的倍，
∴ ，
故选A
6．（2026·湖南·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得；
∴原不等式组的解集为．
在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C．
7．（2026·湖南·模拟预测）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】本题考查了根据分式方程的情况求参数．
解分式方程得到，根据解为非负数且分母不为零的条件，列出不等式求解的取值范围即可．
【详解】解：解方程，
两边同乘，得，
∴，
∴，
∴．
由于原方程中分母，
∴，
∴，
解得．
又∵解为非负数，
∴，
∴，
解得．
因此，的取值范围是且．
故答案为：且．
8．（2024·湖南·模拟预测）明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，则银子有_______两．（明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语）
【答案】46
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用人数不变找到等量关系列出方程．
根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出方程即可．
【详解】解：设有x人，根据题意得：
，
解得：，
∴，
答：银子有46两．
故答案为：46
9．（2025·湖南·模拟预测）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？
【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元
(2)4种
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价；
（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案．
【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元；
（2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为，，，，
∴共有4种进货方案．
答：该超市共有4种进货方案．
10．（2025·湖南·模拟预测）某文具店销售A，B两种款式的文件夹，下表为其中两次的销售情况．
(1)求A，B两款文件夹的销售单价；
(2)若该文具店进货时，A款式文件夹的成本为每个20元，B款式文件夹成本为每个15元，求该文具店两次销售后的总利润．
【答案】(1)A，B两款文件夹的销售单价分别为24元和18元
(2)该文具店两次销售后的总利润为205元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用．根据题意找到相等关系，并能正确建立方程组是解题的关键．
（1）设A，B两款文件夹的销售单价分别为x元和y元，根据表格内容列方程组，解方程组即可；
（2）根据利润的计算方法列式计算即可．
【详解】（1）解：设A，B两款文件夹的销售单价分别为x元和y元，则

解得 ，
答：A，B两款文件夹的销售单价分别为24元和18元．
（2）由题意，得 (元)
∴该文具店两次销售后的总利润为205元．
11．（2025·湖南·模拟预测）某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．

(1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
(2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？
【答案】(1)车棚的长为米，宽为米
(2)小路的宽为米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可；
（2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，(舍去)，
当时，，
答：车棚的长为米，宽为米．
（2）解：设小路的宽为米，
根据题意得：，
整理得，
解得：(舍去)，，
答：小路的宽为米．
12．（2024·湖南·模拟预测）“今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少．
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子，且总费用不超过4600元，则该商场节前至多购进多少千克A粽子？
【答案】(1)10
(2)300
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程或不等式，是解题的关键．
（1）设超市节后每千克粽子的进价是x元，由题意得：，解方程即可；
（2）设超市节前购进A粽子m千克，由题意得：，解不等式即可．
【详解】（1）解：设超市节后每千克粽子的进价是x元，
则节前进价为元，
由题意得：，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：超市节后每千克粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进A粽子m千克，
则节后购进千克，
根据题意，得，
解得，
答：该商场节前至多购进A粽子．两年：方程与不等式部分主要考查一元一次方程及其解法、二元一次方程组的应用、一元二次方程的概念与求解、分式方程的解法与验根、一元一次不等式（组）的解法及应用；这些考点中，对一元一次方程的实际应用、一元二次方程的根的判别式、不等式组的解集确定考查占比最高，试题难度中等，属于湖南中考的核心基础题型，题目多以选择题、填空题及方程（组）求解、不等式应用类解答题呈现；湖南统考命题注重实际情境创设，虽核心考点稳定，但常结合生活热点设计问题，考查学生建模能力与运算准确性。
知识点
2025 年湖南统考
2024 年湖南统考
一元一次与二元一次方程（概念及解法）
第 22 题 (1) 问，解答题，4 分（考查二元一次方程组解法）
第 23 题 (1) 问，解答题，4 分（考查二元一次方程组解法）
一元二次方程（概念与性质）
未单独考查
第 15 题，填空题，3 分（考查一元二次方程根的判别式）
一元二次方程（基础解法）
未单独考查
未单独考查
根与系数关系应用
未单独考查
未单独考查
分式方程（性质与解法）
第 5 题，选择题，3 分（考查分式方程去分母解法）
第 13 题，填空题，3 分（考查分式方程求解）
一元一次方程实际应用
未单独考查
未单独考查
一元二次方程实际应用
未单独考查
未单独考查
分式方程实际应用
未单独考查
未单独考查
不等式（组）（概念与解法）
第 22 题 (2) 问，解答题，4 分（考查一元一次不等式求解）
第 23 题 (2) 问，解答题，5 分（考查一元一次不等式求解）
方程与不等式综合应用（专题训练）
第 22 题，解答题，8 分（二元一次方程组 + 一元一次不等式综合应用）
第 23 题，解答题，9 分（二元一次方程组 + 一元一次不等式综合应用）
预测2026年：2026 年湖南中考方程与不等式模块将延续统考命题稳定性，聚焦数学核心素养。因此复习时，考生需熟练掌握方程（组）与不等式（组）的解法原理、实际应用建模及易错点辨析（如分式方程验根、不等式组解集确定），精准识别不同情境下的考点本质，确保拿下这部分核心分值。分式方程的实际应用近三年未单独命题，但结合生活场景的综合题型出现概率较高，需重点突破等量关系构建与验根步骤。
解｜题｜策｜略
1. 解一元一次方程严格遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤，每步注意符号变化；
2. 解二元一次方程组优先使用加减消元法（系数有倍数关系时）或代入消元法（某未知数系数为±1时），消元后转化为一元一次方程求解。
方｜法｜指｜导
1. 核心概念：
① 一元一次方程标准形式：ax+b=0（a≠0），解唯一；
② 二元一次方程组：含两个未知数，每个方程未知数次数为1，解为有序数对xy；
2. 消元技巧：
① 代入消元：将一个方程变形为y=kx+b（或x=my+n）代入另一个方程；
② 加减消元：使同一未知数系数绝对值相等，相加/减消去该未知数。
易｜错｜点
1. 去分母时漏乘常数项（如方程两边同乘6，漏乘不含分母的项）；
2. 移项忘记变号（如从3x+2=5x−1移项得3x+5x=−1+2）；
3. 解方程组时消元符号错误（如两方程相减时未变号）。
解｜题｜策｜略
1. 紧扣一元二次方程标准形式ax2+bx+c=0（a≠0），明确二次项系数a≠0的核心条件；
2. 通过判别式Δ=b2−4ac判断根的情况：Δ>0⇔两不等实根，Δ=0⇔两相等实根，Δ0）。
解｜题｜策｜略
1. 优先选择因式分解法（适用于方程右边为0且左边可分解因式的情况）；
2. 无明显因式时，若二次项系数为1且一次项系数为偶数，用配方法；否则用公式法（万能解法）。
方｜法｜指｜导
1. 直接开平方法：适用于x+m2=n（n≥0），解得x=−m±n；
2. 配方法步骤：①化二次项系数为1；②移常数项至右边；③配方（两边加一次项系数一半的平方）；④开平方求解；
3. 公式法：x=−b±b2−4ac2a，需先计算判别式Δ=b2−4ac；
4. 因式分解法：提公因式法、平方差公式a2−b2=a+ba−b、完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2。
易｜错｜点
1. 配方时漏加常数项（如x2+6x=5，误配为x+32=5）；
2. 公式法中代入a、b、c时符号错误（如将方程−x2+2x−1=0中的a误取为1）；
解｜题｜策｜略
1. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），直接应用韦达定理：x1+x2=−ba，x1x2=ca；
2. 涉及两根代数式求值（如x12+x22、1x1+1x2），先变形为含x1+x2和x1x2的形式，再代入计算。
方｜法｜指｜导
1. 前提条件：方程有实根（Δ=b2−4ac≥0），且二次项系数a≠0；
2. 常见变形公式：①x12+x22=x1+x22−2x1x2；②|x1−x2|=x1+x22−4x1x2；③1x1+1x2=x1+x2x1x2；
3. 已知两根构造方程：以x1、x2为根的一元二次方程为x2−x1+x2x+x1x2=0。
易｜错｜点
1. 忽略应用条件（如未检验Δ≥0或a=0的情况）；
2. 韦达定理公式记忆错误（如误记x1+x2=ba）；
3. 代数式变形时符号错误（如x12+x22=x1+x22+2x1x2）。
解｜题｜策｜略
1. 解分式方程的核心是去分母转化为整式方程，先确定最简公分母（各分母因式分解后取最高次幂的积）；
2. 求解后必须验根，将整式方程的解代入最简公分母，若分母不为0则为原方程的解，否则为增根。
方｜法｜指｜导
1. 去分母步骤：方程两边同乘最简公分母，约去分母得整式方程；
2. 整式方程求解：按一元一次方程或一元二次方程解法求解；
3. 验根方法：将解代入最简公分母，若结果为0则是增根，原方程无解；否则为有效解。
易｜错｜点
1. 去分母时漏乘不含分母的项（如方程两边同乘公分母，常数项忘记乘）；
2. 忽略验根步骤（导致增根被当作原方程的解）；
3. 去分母后符号错误（如分子是多项式时未加括号导致变号错误）。
解｜题｜策｜略
1. 审题：明确问题中的已知量、未知量及等量关系（如路程=速度×时间、利润=售价-成本）；
2. 设元：直接设未知数（问什么设什么）或间接设未知数（设关键中间量），带单位；
3. 列方程：根据等量关系列出一元一次方程（注意统一单位）；
4. 求解并检验：解出方程后，验证解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负）。
方｜法｜指｜导
1. 常见模型及等量关系：
① 行程问题：相遇问题（路程和=速度和×时间），追及问题（路程差=速度差×时间）；
② 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（常设工作总量为1）；
③ 利润问题：利润=售价-进价，利润率=利润进价×100%；
④ 浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度。
易｜错｜点
1. 单位不统一（如速度用千米/小时，时间却用分钟）；
2. 等量关系错误（如将“多”“少”“倍”等关系颠倒）；
3. 忽略实际意义检验（如解出负数人数或物品数量）。
解｜题｜策｜略
1. 审清题意：明确问题中的行程、工程、调配、利润分配等实际背景，找出两个关键等量关系；
2. 设未知数：设两个未知数（如所求量为x和y），注意单位统一；
3. 列方程：根据两个等量关系（如“路程=速度×时间”“总金额=单价×数量”）列出二元一次方程组；
4. 求解并检验：解出方程组后，验证两个未知数的解的合理性（如舍去负数解或不合实际的解）。
方｜法｜指｜导
1. 常见模型及公式：
① 行程问题：相遇问题（路程和=速度和×时间）、追及问题（路程差=速度差×时间）；
② 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（常将工作总量设为1）；
③ 调配问题：甲数量+乙数量=总量，甲数量=k×乙数量（k为已知倍数关系）。
易｜错｜点
1. 未找到两个独立等量关系，导致无法列出完整方程组；
2. 设未知数后未明确单位，导致方程中单位不统一；
解｜题｜策｜略
1. 审清题意：明确问题中的增长/下降率、面积、利润等实际背景，找出关键等量关系；
2. 设未知数：设直接未知数（如所求量为x）或间接未知数（如增长率为x），注意单位统一；
3. 列方程：根据等量关系（如“增长后的量=原量×(1+增长率)²”）列出一元二次方程；
4. 求解并检验：解出方程后，验证解的合理性（如舍去负数解或不合实际的解）。
方｜法｜指｜导
1. 常见模型及公式：
① 增长率问题：a1+xn=b（a为初始量，b为最终量，n为增长次数，x为增长率）；
② 面积问题：矩形面积=长×宽（注意图形分割或拼接后的边长关系）；
③ 利润问题：总利润=单个利润×销售量，单个利润=售价-成本。
易｜错｜点
1. 增长率问题中混淆“增长次数”（如“两年增长”对应(1+x)²而非1+2x）；
2. 面积问题中忽略图形边长的实际限制（如边长不能为负或小于0）；
3. 未检验解的合理性（如解出两个正数解时，需根据实际情境选择合适的解）。
解｜题｜策｜略
1. 审题：识别实际问题中的等量关系（如“工作时间差”“路程相等”“利润关系”），确定是否适合用分式方程求解；
2. 设元：设关键未知数（如工作效率、速度等），注意单位统一；
3. 列方程：根据等量关系列出分式方程（分母含未知数）；
4. 求解与双检验：①去分母化为整式方程求解；②验根（代入最简公分母，确保分母不为0）；③检验解是否符合实际意义（如时间、速度为正数）。
方｜法｜指｜导
1. 常见应用模型：
① 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（常将工作总量设为1）；
② 行程问题：路程=速度×时间（涉及顺水/逆水速度：v顺=v静+v水，v逆=v静−v水）；
③ 利润问题：利润率=售价−成本成本×100%。
易｜错｜点
1. 去分母时漏乘不含分母的项（如方程两边同乘公分母，常数项忘记乘）；
2. 忽略验根步骤（导致增根被当作原方程的解）；
3. 等量关系错误（如混淆“增加到”与“增加了”，或时间、速度单位不统一）。
燃油车
纯电新能源车
油箱容积：48升
电池容量：90千瓦时
油价：8元/升
电价：元/千瓦时
解｜题｜策｜略
1. 解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（注意系数为负时不等号方向改变）；
2. 解不等式组：分别求出每个不等式的解集，借助数轴确定公共部分（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解）。
方｜法｜指｜导
1. 不等式性质：① 若a>b，则a±c>b±c；② 若a>b且c>0，则ac>bc（或ac>bc）；③ 若a>b且c