专项02 数列及求和6大解答题题型（大题专练）（全国通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测 练习+答案

这是一份专项02 数列及求和6大解答题题型（大题专练）（全国通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测 练习+答案，共16页。
【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，等差数列、等比数列与数列求和是必考主干，分值约10-22分．
命题趋势：
解答题：稳定考查数列（常为第15题或16题），通常情况下与解三角形解答题二选一，一般考查内容是等差等比数列性质的简单应用，求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识以及自主学习能力问题.
2026年预测：解答题极可能仍为数列常规题．
备考核心：熟记等差（等比）数列的通项公式、求和公式和性质，解答题强化“求数列通项及求和”综合训练，小题提升转化与化归能力．
题型01 数列通项及分组求和
析典例·建模型
1．（2026·陕西商洛·二模）已知等差数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（25-26高三下·上海·月考）已知数列满足．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)若数列满足，求的前项和.
题型02 数列通项及裂项求和
析典例·建模型
1．（25-26高三上·河北石家庄·期末）在正项数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，设数列的前项和为，求满足的最小整数.
2．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求
(2)若，求数列的前n项和.
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列前项的积为.
(1)判断是否成等差数列，并给出证明；
(2)令，求数列的前项和，
2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
3．（2026·云南·模拟预测）已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
题型03 数列通项及错位相减求和
析典例·建模型
1．（25-26高三上·吉林·期中）已知数列的前n项和，，数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和．
2．（2026·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和．
题型04 数列通项及奇偶项讨论问题
析典例·建模型
1．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.
①，；
②，，，成等差数列；
③，；
(1)分别求出数列与的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前10项和．
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列的前项和为，是公比大于0的等比数列，，，，且，，成等差数列.
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，求；
(3)设（），求.
题型05 数列证明类问题
析典例·建模型
1．（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式;
(2)若，记数列的前n项和为，证明：．
2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对，.
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（25-26高三下·重庆·月考）已知数列 满足 .
(1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；
(2)证明: .
2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列满足，且．
(1)求；
(2)若，求证：；
(3)求的值．
题型06 数列型定义问题
析典例·建模型
1．（2026·北京平谷·一模）设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．
(1)若，写出经过变换后得到的数阵；
(2)若，求的值；
(3)对任意确定的一个数阵，证明：对所有可能的非空子集，对应的的值的总和不超过．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，．
①求数列的通项公式；
②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．
2．（25-26高三下·重庆·月考）设有穷数列：，…，满足且，则称其为“n阶数列”．
(1)若“8阶数列”：是递增的等差数列，求；
(2)设“n阶数列”满足．
（i）记该“n阶数列”的前r项和为．证明：数列不是“n阶数列”；
（ii）证明：．
（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（25-26高三上·河南信阳·期末）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项的和.
3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，.
(1)求，的通项公式；
(2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.
4．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值．
5．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知数列的首项，且满足，.
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明：.
6．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
7．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数.
(1)若数列，求数列的前n项和；
(2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和.
8．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
9．（2026·陕西·模拟预测）已知函数定义在区间内，时，恒有.
(1)证明：为奇函数；
(2)若数列满足，，.
（i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（ii）设，若对恒成立，求的取值范围.
10．（25-26高三下·北京·开学考试）已知为正整数，，若数列同时满足：
① 对任意，均有；
② 对任意，均有 ；
③ 对任意，均有 ，
则称该数列为数列．
(1)若数列是数列，直接写出的所有可能值；
(2)若数列是数列，求的最大值；
(3)若数列是数列，求的最小值．
刷真题
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
通项求解：优先观察型（等差、等比、周期）；递推型用累加法、累乘法、构造法（如an+1=pan+q）；Sn与an混用必用，勿忘验证首项.
分组求和：识别通项可拆为等差、等比、常数、奇偶项等结构，按类型拆分数列.分别对各组用对应求和公式（等差、等比求和），再合并结果。注意项数统计、下标换算与符号，尤其奇偶分组时项数要准确.
核心：先拆通项结构，再分组套公式，严谨核对项数与首末项.
一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n项和．常见的“裂项”结论有：
(1)
(2)形如
当，时，易知
(3)形如
当，时，易知
(4)形如
当，时，易知
(5)形如
当，时，易知
设是等差数列，是公比的等比数列，则数列的前n项和的常规求法是错位相减法，取巧可这样做：设，则，其中，.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住的形式，取和用待定系数法来算就可以了.
核心思路：分奇偶讨论、分别构造通项、合并结果，3 步速解：
1.拆分奇偶项：按下标n分奇数项与偶数项分组，单独分析递推关系、公差或公比.
2.求分段通项：奇数项、偶数项分别套用等差或等比公式，写出对应k的表达式.
3.验证合并：核对边界项一致性，整理成分段函数形式；求和时同理，奇项和、偶项和分开计算再累加.
核心是抓定义、用递推、巧放缩，分三类突破：
1.等差等比证明：紧扣定义，证相邻项差或比为常数，或用中项性质，优先化简递推式.
2.通项与求和证明：利用累加法、累乘法、Sn与an关系推导，代入验证等式成立.
3.不等式证明：常用放缩法（裂项、等比放缩）、数学归纳法、函数单调性，先放缩再求和.
关键步骤：先梳理递推关系，再选对应方法，严谨书写推理过程，注意 n 的取值范围.
定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：
第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，
第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点.
第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）.
第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论.