江苏省南通中学等校2026届高三下学期4月质量检测数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南通中学等校2026届高三下学期4月质量检测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={−2,1,a}，B={−1,a2}，若A∪B含有4个元素，则a=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.已知五个数x1，x2，x3，x4，x5的极差为4，方差为2，则2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的( )
A. 极差为4，方差为2B. 极差为4，方差为4
C. 极差为8，方差为4D. 极差为8，方差为8
3.已知复数z满足z=21−1z，则z=( )
A. 1B. 2C. 2D. 4
4.已知a=b=1,c= 3，且a+b+c=0，则cs=( )
A. 22B. 32C. − 22D. − 32
5.已知圆锥的体积为83π，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为( )
A. 2B. 2C. 3D. 2 2
6.若直线y=ax+a是曲线y=ex+1的一条切线，则a=( )
A. −eB. 1eC. eD. e2
7.已知函数fx=sinx+θ+csx+2θθ0,b>0的左､右焦点分别为F1,F2,A为右顶点，P是C上一点，若PF2=PA=12PF1，则C的离心率为( )
A. 2B. 5C. 6D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量ξ∼N0,1,fx=Pξ≤x，则( )
A. f0=0.5B. fx是增函数
C. f−x=1−fxD. Pξ≤x=1−2fx
10.数列{an}的前n项和记为Sn，a1=15，且2an+1+SnSn+1=0，n∈N∗，则( )
A. a2=−155B. {1Sn}为等差数列
C. S12=−2D. {an}中有最大项也有最小项
11.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，P是C上一点，AB是圆D:x2+(y−3)2=1的一条直径，则( )
A. |PA|≥|PF|−2B. △FAB的面积最大值为 10
C. cs∠AFB的最小值为45D. PA⋅PB≥1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在2x− x5的展开式中，x4的系数为 ．
13.已知A，B两点在函数f(x)=4x(x>0)的图象上，C，D两点在函数g(x)=2x(x>0)的图象上，且AD平行于x轴，AC和BD平行于y轴.若线段BD的长度是线段AC长度的12倍，则线段AD长度为 ．
14.记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin(C−B)=2sinA，2acsB=3bcsA，c=5，则△ABC的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an为正项等比数列，公比q>1，前n项和为Sn，a4+a3−a2−a1=2．
(1)当q=3时，记集合A=m∈N∗∣Sm0．
(1)当a=2时，求fx的极值；
(2)讨论函数gx=fx+x2−1的单调性．
17.(本小题15分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是梯形，AB//CD，AD⊥CD，E为矩形CC1D1D两条对角线的交点，且BE//平面AA1D1D．
(1)证明：AB=12CD；
(2)若AB=AD=2，直线A1B与平面ABE所成角的正弦值为 105，求AA1；
(3)平面ABE将该四棱柱分成上､下两部分，求上､下两部分的体积之比．
18.(本小题17分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为2 3，过点D0,−4的直线l与E交于A,B两点，M为AB的中点，O为坐标原点.设l的斜率为k，直线OM的斜率为k′，kk′=−14．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若▵OAB为直角三角形，求k的值；
(3)直线l交x轴于点P，点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于点Q，探究：OP⋅OQ是否为定值？
19.(本小题17分)
一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作n次后，盒子中黑球的个数记为Xn．
(1)求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率；
(2)求随机变量X2的分布列；
(3)证明：EXn0，解得k2>154．
则x1+x2=32k1+4k2,x1x2=601+4k2．
若∠AOB=π2时，有OA⋅OB=0，即x1x2+y1y2=0，x1x2+kx1−4kx2−4=0，
即1+k2x1x2−4kx1+x2+16=0，
所以601+k21+4k2−128k21+4k2+16=0，化简整理得k2=19，解得k=± 19，符合；
若∠OAB=π2时，则kOA⋅k=−1，即y1x1⋅y1+4x1=−1，所以x12=−y12−4y1．
又因为x124+y12=1，联立方程组解得y1=−23或y1=2(舍去)，
所以x1=±2 53，所以k=y1+4x1=103±2 53=± 5，符合．
若∠OBA=π2时，则kOB⋅k=−1，即y2x2⋅y2+4x2=−1，所以x22=−y22−4y2．
又因为x224+y22=1，联立方程组解得y2=−23或y2=2(舍去)，
所以x2=±2 53，所以k=y2+4x2=103±2 53=± 5，符合．
综上，k=± 19或k=± 5．
(3)由直线l的方程y=kx−4，知P4k,0．
因为点C为点A关于x轴的对称点，所以Cx1,−y1，所以直线BC的方程为y+y1y2+y1=x−x1x2−x1，
令y=0，得点Q的横坐标为xQ=x1y2+x2y1y1+y2，因为y1=kx1−4,y2=kx2−4，
所以xQ=x1kx2−4+x2kx1−4kx1−4+kx2−4=2kx1x2−4x1+x2kx1+x2−8=120k1+4k2−128k1+4k232k21+4k2−8=k，
所以OP⋅OQ=xPxQ=4k⋅k=4为定值．

19.解：(1)设“恰好2次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件A，
根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后盒子中5个球的颜色都为黑色”，2次操作，其中1次取出1红1黑，另一次取出2红，
所以PA=C31C21C52×C22C52+C32C52×C11C41C52=950；
(2)操作2次后，X2的可能取值为2,3,4,5，
PX2=2=C22C52×C22C52=1100，
PX2=3=C31C21C52×C32C52+C22C52×C31C21C52=24100，
PX2=4=C32C52×C42C52+C22C52×C32C52+C31C21C52×C21C31C52=57100，
PX2=5=C32C52×C11C41C52+C31C21C52×C22C52=18100，
所以X2的分布列为
(3)记执行上述操作n次后，盒子中黑球的个数为Xn，
设PXn=k=pk，k=2,3,4,5，
则p2+p3+p4+p5=1，EXn=2p2+3p3+4p4+5p5，
则PXn+1=2=C22C52p2=110p2，
PXn+1=3=C31C21C52p2+C32C52p3=610p2+310p3，
PXn+1=4=C32C52p2+C21C31C52p3+C42C52p4=310p2+610p3+610p4，
PXn+1=5=C22C52p3+C11C41C52p4+C52C52p5=110p3+410p4+p5，
所以
EXn+1=15p2+95p2+910p3+65p2+125p3+125p4+12p3+2p4+5p5
=65p2+95p3+125p4+3p5+2p2+p3+p4+p5
=352p2+3p3+4p4+5p5+2p2+p3+p4+p5
=35EXn+2，
所以EXn+1−5=35EXn−5，
又EX1=2×C22C52+3×C21C31C52+4×C32C52=165，
所以EX1−5=−95≠0，
所以EXn−5是以−95为首项，35为公比的等比数列，
所以EXn−5=−95×35n−1，
所以EXn=5−95×35n−1