江苏省南通市区部分高中2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市区部分高中2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以；
故选：A
2. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A. 140种B. 120种C. 35种D. 34种
【答案】D
【解析】由题意得：选出4人参会，总的选法共有种，
选出4人均为男生的选法有种，
则4人中既有男生又有女生的选法共有种，
故选：D.
3. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项为B. 各项的系数和为64
C. 第3项的二项式系数最大D. 奇数项二项式系数和为
【答案】A
【解析】对于A，展开式通项为
，
当时，常数项为，选项A正确；
对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误；
对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；
对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.
故选：A.
4. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）

A. 1B. －1C. D.
【答案】A
【解析】，
所以．
故选：A．
5. 甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：,
甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：,
所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为，
故选：C
6. 在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，
事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，
则
.
故选：B.
7. 已知，若，则（ ）
A. B. C. 15D. 35
【答案】A
【解析】令，可得，解得，
，
展开式中的系数为.
故选：A.
8. 设二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】由于二项式（ ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为， ， 则， ，
所以，
故选:C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 被7除后的余数为5
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C. 已知，则
D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
【答案】BC
【解析】对于A：由于，
所以
，
所以，即被7除后的余数为2，故A错误；
对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有种排法，两位女生不相邻的排法有，则两位女生不相邻的概率为，故B正确；
对于C：由可得，解得，故C正确；
对于D：从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，共有种取法，取得2件次品共有，则取得2件次品的概率为，故D错误.
故选：BC.
10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对B，，B正确；
对A，，，A错误；
对C，，，C正确；
对D，
，D正确.
故选：BCD.
11. 正方体的棱长为2，为的中点，则（ ）
A.
B. 与所成角余弦值为
C. 面与面所成角正弦值为
D. 与面的距离为
【答案】AD
【解析】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系
正方体的棱长为2，易求、、、、、、、、.
选项A：因为，，所以
所以，故A正确.
选项B：因为，，所以，设异面直线和所成的角为，则：，故B不正确.
选项C：易求平面的法向量.
设平面的法向量为，易求,，
由，令，则.
设平面与平面所成角为，则,
，即，故选项C不正确.
选项D：因为平面的法向量为，，
设到平面的距离为，向量与法向量的夹角为，
则：,故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________．
【答案】252
【解析】∵在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，
∴，解得，
∴中，，
∴当，即时，常数项为．
故答案为：252．
13. 已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为_______.
【答案】
【解析】依题意，，解得，因此二项式的展开式共8项，
展开式的通项为，
当时，是有理项，则展开式的有理项共 4项，
所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率.
故答案为：
14. 某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C 3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有________种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有_______种不同的派驻方式．(用数字填写答案)
【答案】15；72.
【解析】第一空，隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板，
共有种分配方式；
第二空，先将3女分配到3个乡村，有种，
再将4男分成3组，有种，将有男性甲的一组分配到A乡村有1种，
然后将剩余两组分配到其他两个乡村，有种分法，
所以共有种分配方式.
故答案为：15；72.
四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．
15. 6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．
（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种?
（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式?
解：（1）根据题意，第一步：把甲乙看成整体和除丙丁外两位同学排列有种排法，
第二步：再把丙丁插空排列有种排法，
所以共有种排法；
（2）先将6为同学分成4组，按人数分有和种分法：
第一类：按分法有种分法；
第二类：按分法有种分法；
所以共有：种分法.
所以一共有种不同报名方式.
16. 已知在的展开式中满足，且常数项为，求：
（1）二项式系数最大的项
（2）系数绝对值最大的是第几项
（3）从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．
解：（1）根据展开式的通项可得
令，解得
即时，常数项，
解得
所以二项式系数最大的项
（2）系数绝对值最大的项等价于系数最大的项；
设第项系数最大，
则
即，又，
所以，
即第8项系数最大，也即展开式中第8项系数绝对值最大.
（3）令，，解得，
即展开式中有理项共有6项，无理项有5项；
所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种；
17. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球．
（1）求第一次取出的球为红球的概率；
（2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
解：（1）设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，则，由全概率公式可得：
（2）设第二次取出的球是白球为事件，由全概率公式可得：

，
所以
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，面ABCD，E、F分别为PA、AB的中点，直线AC与DF相交于O点．
（1）证明：平面DEF；
（2）求直线PC与平面DEF所成角的正弦值；
（3）求二面角A-EO-D的余弦值.
解：（1）以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，
设平面DEF的法向量为，，，
∵，，∴，
取；
又，
∴，
∴，面DEF，所以平面DEF.
（2）∵，∴，
设直线PC与平面DEF所成角为，则.
（3），，，
，，所以面AEO的法向量为，
面DEO的法向量为，∴；
设二面角A-EO-D所成角为，由图所示，为锐角，则.
19. 已知.
（1）当时，求的展开式中含项的系数；
（2）证明：的展开式中含项的系数为；
（3）定义：，化简：.
解：（1）当时，，
的展开式中含项的系数为.
（2），，
故的展开式中含项的系数为
因为，
所以项的系数为：
.
（3）①
②
在①､②添加，则得
③
④
③+④得：
.