浙江省杭州市2024-2025学年高二下学期数学期中复习练习试题（附答案）

这是一份浙江省杭州市2024-2025学年高二下学期数学期中复习练习试题（附答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合A=x∈Z|−30)的短轴长为4，上顶点为 B ，O为坐标原点，点D为OB的中点，曲线E:x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)的左、右焦点分别与椭圆 C 的左、右顶点A1,A2重合，点P是双曲线E与椭圆C在第一象限的交点，且A1,P,D三点共线，直线PA2的斜率kPA2=−43，则双曲线E的实轴长为（ ）
A．8510B．6510C．6510−1D．8510−2
7．已知△ABC中，BD=13BC，AE=12AC，AD与BE交于点P，且AP=λAD，BP=μBE，则λμ=（ ）
A．23B．32C．43D．34
8．已知a=30.2，b=0.23，c=lg30.2，则（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．b>c>a
二、多选题
9．下列命题中，错误的是（ ）
A．∃x∈0,+∞,12xlg13x
10．已知圆M:(x−a)2+(y−a−1)2=1(a∈R)，则（ ）
A．圆M可能过原点B．圆心M在直线x+y−1=0上
C．圆M与直线x−y−1=0相切D．圆M被直线x−y=0所截得的弦长为2
11．设定义在R上的函数fx与gx的导函数分别为f'x和g'x，若fx+2 −g1−x=2,f'x=g'x+1，且gx+1为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．g1=0B．函数g'x的图象关于直线x=2对称
C．k=12025fkgk=0D．k=12024gk=0
三、填空题
12．函数f(x)=sin2x+csx的图像在点0,1处的切线方程为 .
13．学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是 .
14．曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上点p(x0,y0)处的曲率半径公式为R=a2b2x02a4+y02b432．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的22倍，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题
15．数列an、bn满足：a2=1，an+1=an+2n∈N∗，3Sn=bn+2n∈N∗，其中Sn是数列bn的前n项和.
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)求数列an⋅bn的前n项和Tn.
16．甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈(80,100]，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从乙学校竞赛分数在(70,90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)现从参与竞赛的学生中随机抽取n(n≥8)人，若要使P(Y=8)取得最大值（Y表示n人中优秀人数），求n的值.
17．如图，正方形ABCD对角线的交点为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，G为AB的中点，M为AD的中点.
(1)证明：FM //平面ECG.
(2)若AB=BE=2，求点M到平面ECG的距离.
18．已知函数fx=lnx+1+axx+1a∈R．
(1)讨论fx的单调性；
(2)若fx在区间−1,0上恰有一个零点，求a的取值范围；
(3)当a>0时，解方程f'x−fx=5−12−ln5+12．
19．已知平面上一半径小于4的动圆C与定圆M:x+32+y2=16相内切，且过定点N3,0．
(1)求动圆圆心C的轨迹方程．
(2)设直线l:y=x+t与（1）中轨迹交于不同的两点A,B，点O为坐标原点．
①求AB的最大值．
②当直线l不过原点O时，记△AOB外接圆的圆心为E，则平面上是否存在两定点P,Q，使得EP−EQ为定值，若存在，求出定点坐标和定值；若不存在，请说明理由．答案
11．ACD
【详解】对于A，因为gx+1为奇函数，所以gx+1=−g−x+1，
取x=0可得g1=0，A正确．
对于B，因为fx+2−g1−x=2，所以f'x+2+g'1−x=0，
所以f'x+g'3−x=0．又f'x=g'x+1,g'x+1+g'3−x=0，
故g'2+x+g'2−x=0，所以函数g'x的图象关于点2,0对称，B错误．
对于D，因为f'x=g'x+1，所以fx−gx+1'=0，
所以fx−g(x+1)=c,c为常数．因为fx+2−g1−x=2，
所以fx−g3−x=2，
所以gx+1−g3−x=2−c，取x=1可得c=2，所以gx+1=g3−x．
又gx+1=−g(−x+1)，所以g3−x=−g−x+1，所以gx=−gx−2，
所以gx+4=−gx+2=gx，故函数gx为周期为4的函数．
因为gx+2=−gx，所以g3=−g1=0,g4=−g2，
所以g1+g2+g3+g4=0，
所以k=12024gk=g1+g2+g3+g4 +g5+g6+g7+g8+⋅⋅⋅+g2021+g2022+g2023+f2024=506×0=0，D正确．
对于C，因为fx+2−g1−x=2，所以
fx+2=2−gx+1,f(x+ 6)=2−gx+5，所以fx+2=fx+6，
故函数fx为周期为4的函数，fx+4gx+4=fxgx，
所以函数fxgx为周期为4的函数，
又f1=2−g0,f2=2−g1=2,f3=2−g2=2+g0,f4=2−g3=2，
所以f1g1+f2g2+f3g3+f4g4= 0+2g2+2g4=0，
所以k=12025fkgk=506×f1g1+f2g2+f3g3+f4g4 +f2025g2025=f1g1=0，C正确．
12．y=2x+1 13．90
14．22/122
【详解】因为点p(x0,y0)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，故x02a2+y02b2=1，
即y02=b2(1−x02a2)，
则x02a4+y02a4=x02a4+b2−b2a2x02b4=x02a4+1b2−x02a2b2=1a2(x02a2−x02b2)+1b2
=1b2−c2x02a4b2，
而x02∈[0,a2]，所以x02a+y024∈1a2,1b2，则(x02a4+y024)32∈1a3,1b3，
故R=a2b2x02a4+y02b432∈b2a,a2b，
因为椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的22倍，
故a2b=22⋅b2a，即a=2b，
所以椭圆离心率为e=ca=1−(ba)2=22，
故22
15．(1)an=2n−3，bn=−12n−1
(2)−12n+109×−12n−109
16．(1)2 (2)14 (3)n=31或n=32
17．(1)证明见解析
(2)62
【详解】（1）连接GM，因为G、M分别是AB、AD的中点，
所以GM是△ABD的中位线，所以GM//BD且GM=12BD，
因为O是正方形ABCD的中心，所以OB=12BD.
因为四边形OBEF为矩形，所以EF//OB且EF=OB，所以EF//GM且EF=GM，
所以四边形EFMG是平行四边形，所以EG//FM.
因为EG⊂平面ECG，FM⊄平面ECG，
所以FM//平面ECG.
（2）连接EM、CM，在△CGM中CG=CM=5，GM=2，
所以S△CGM=12×2×5−222=32，
由四边形OBEF为矩形可知，EB⊥BO，
又平面OBEF⊥平面ABCD，平面OBEF∩平面ABCD=BO，EB⊂平面OBEF，
所以EB⊥平面ABCD，即EB为三棱锥E−CGM的高，所以VE−CGM=13×32×2=1.
在△ECG中EG=CG=5，EC=22，所以S△ECG=12×22×3=6.
设点M到平面ECG的距离为d，则VM−ECG=13×6d.
由VE−CGM=VM−ECG，可得13×6d=1，解得d=62，
即点M到平面ECG的距离为62.
18．(1)答案见解析 (2)−1,0 (3)x=5−12．
【详解】（1）因为fx=lnx+1+axx+1（x>−1），
所以f'x=1x+1+ax+12=x+1+ax+12（x>−1），
当a≥0时，因为x>−1，所以x+1+a≥x+1>0，即f'x>0，fx在定义域内−1,+∞单调递增；
当a0 ⇒ x>−1−a.
所以fx在−1,−1−a上单调递减，在−1−a，+∞上单调递增.
综上，当a≥0时，fx在定义域内单调递增；
当a