山东潍坊市区2025-2026学年八年级第二学期期中学情诊断八年级数学试题（含解析）

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八年级数学试题
2026.4
注意事项：
1．本试卷满分120分，考试用时120分钟．
2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚．
3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 下列x的值，能使二次根式有意义的是（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解，再匹配选项即可得到答案．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数满足．
∴要使有意义，需满足
解得
∵选项中只有，其余选项的值都小于．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】需根据二次根式的相关运算法则逐一判断选项正误．
【详解】解：对于选项A，∵与不是同类二次根式，不能直接合并，
∴，A错误；
对于选项B，计算得，
∴B正确；
对于选项C，∵，
∴C错误；
对于选项D，∵，
∴D错误．
3. 如图所示，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q
【答案】B
【解析】
【分析】先估算的取值范围，再结合数轴上各点的位置进行判断即可．
【详解】解：，
，
，
观察数轴可知：只有点在范围内．
4. 已知点在直线上，则关于x的方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解．
【详解】解：∵ 点在直线上．
∴ 将代入，得
．
又∵ 待求解方程为．
∴ 方程的解为．
5. 如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的图象可得：，，即可得出，再由一次函数的性质可得函数的图象经过一、二、三象限，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：由一次函数的图象可得：，，
∴，
∴函数的图象经过一、二、三象限，如图：
，
故选：D．
6. 根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入x的值为时，输出y的值为1．当输入x的值为3时，则输出y的值为（ ）
A. B. 8C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【详解】解： 当输入时，，
，
解得：
当时，，
∴输出的值为．
7. 下列变化过程中，一个变量与另一个变量成正比例函数关系的是（ ）
A. 正方形的面积S随边长a的变化而变化
B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化
C. 圆的周长C随半径r的变化而变化
D. 汽车在行驶过程中，油箱的剩余油量Q随行驶路程s的变化而变化
【答案】C
【解析】
【分析】根据正比例函数的定义（为常数，），写出各选项的函数关系式，再判断是否符合定义即可．
【详解】解：A．正方形面积与边长的函数关系式为，不符合的形式，
∴不是正比例函数关系，故A不符合题意；
B．矩形周长为，可得，整理得，不符合的形式，
∴不是正比例函数关系，故B不符合题意；
C．圆的周长与半径的函数关系式为，其中是不为的常数，符合的形式，
∴是正比例函数关系，故C符合题意；
D．剩余油量与行驶路程的函数关系式为 （为初始油量，为单位耗油量，均为非零常数），不符合的形式，
∴不是正比例函数关系，故D不符合题意．
8. 如图，甲、乙、丙三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，乙正方形纸片的面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差1cm，则甲正方形纸片和丙正方形纸片的面积之差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设乙正方形的边长为，根据乙的面积求出的值，再根据边长关系表示出甲、丙的边长，最后利用完全平方公式计算面积差即可．
【详解】解：设乙正方形的边长为，乙正方形纸片的面积为，
∴，
解得（边长为正，负值舍去）．
∵相邻两张正方形纸片的边长均相差，且甲最大，丙最小，
∴甲正方形的边长为，丙正方形的边长为．
∴甲正方形纸片和丙正方形纸片的面积之差为：．
当时，原式．
9. 如图，在中，，，．以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；作射线交于点D．分别以D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q，作直线分别与，，相交于点G，E，F．下列说法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出，由作图得，平分，求出，然后得到垂直平分，求出，即可判断A；然后利用三角形内角和定理求出即可判断B；求出，利用三线合一即可判断C；得到，然后利用勾股定理求解即可判断D．
【详解】解：，，
∴
由作图得，平分
∴
∴
由作图得，垂直平分
∴
∴
∴，故A正确；
∴，故B错误；
∵垂直平分
∴
∴
∴
∵
∴，故C正确；
∵，．
∴，
∴
∴，故D正确．
10. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象得出，，，，根据两条直线交点的横坐标为4，得出，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：根据函数图象可得：，，，，
∴，，故A、B错误；
∵两条直线交点的横坐标为4，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故C正确；
∵，
∴，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即，故D错误．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果）
11. 将化成最简二次根式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简方法求解即可．
【详解】．
故答案为：．
此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法．
12. 当时，一次函数的最大值是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据可知一次函数中，随的增大而减小，因此取最小值时，取得最大值，代入计算即可得到结果.
【详解】解：,
一次函数中，随的增大而减小.
,
当时，取得最大值.
此时.
13. 如图，在面积为的中，连接，过点A作于点M，在的延长线上取一点P，使得，此时，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的面积公式，代入已知面积和求得的长，即可求出的长．
【详解】解：，
，
在中，，
∴，
∵，
，
解得：（负值舍去），
四边形是平行四边形，
平行四边形的面积，
，
，
．
14. 如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽．水槽内水面的高度y（）与注水时间x（）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过________秒可将水槽注满．
【答案】10
【解析】
【分析】根据函数图象可得正方体铁块的棱长为，然后计算出无铁块时水面上升的速度，进而求出无铁块时水面上升所需的时间，两者之差即为取出铁块后需补充注水的时间．
【详解】解：由图象可得，正方体的棱长为，
没有铁块时，水面从上升到，所用的时间为
∴水面上升的速度为，
∴若无铁块，水面上升所需时间为
∴铁块占据的体积对应的注水时间为
∴如果将正方体铁块取出，那么再经过10秒可将水槽注满．
15. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可．
【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点，
∴，
把代入得，即，
把代入得，即，
同理可得，，，…
∵，，
∴
∵
∴点的坐标为，即．
三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 按要求解答问题：
（1）计算：；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）根据绝对值意义，零指数幂运算法则，二次根式乘法运算法则，进行计算即可；
（2）先求出，的值，然后将变形，最后整体代入求值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
，
∴
．
17. 图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作一个圆，其上的某个座舱可视作圆上一点，该点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的关系如图2所示．
（1）根据图2填表：
（2）根据图中的信息，求出该摩天轮的直径；
（3）该摩天轮运行过程中，在内，此座舱高度为的时刻有________个；
（4）观察函数图象，请至少写出这个函数的2条性质．
【答案】（1）表格见解析
（2）
（3）
（4）①该函数以12为一个周期；②当时，随着的增大而增大；③时，随着的增大而减小；④函数有最大值；⑤函数有最小值．（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）结合图象进行填表即可；
（2）结合图象确定最低点和最高点，差值即为摩天轮的直径；
（3）分析函数图象可知，摩天轮每一次循环，且一个周期会经过两次，结合的时间段，可得出结论；
（4）从函数的增减性，最值和周期性的角度，分析性质即可．
【小问1详解】
解：表格如下：
【小问2详解】
解：由图可知，摩天轮最低点离地面，最高点离地面，
∴摩天轮的直径为42−2=40m；
【小问3详解】
解：由图可知，摩天轮完成一次从最低点到最高点，完成一次从最高点到最低点，且每一次循环，
∴内，有3次从最低到最高，2次从最高到最低，
∴座舱高度为的时刻有个；
【小问4详解】
解：①该函数以12为一个周期；②当时，随着的增大而增大；③时，随着的增大而减小；④函数有最大值；⑤函数有最小值．（答案不唯一）
18. 如图，四边形是一个长、宽之比为的矩形，其面积为．
（1）求矩形的周长；
（2）黄金分割比是公认的最美比例，广泛用于建筑、艺术设计等领域，其比值为，宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形．若将图中矩形的长增加，为了使图中矩形变为黄金矩形，宽应增加多少？
【答案】（1）
（2）应增加
【解析】
【分析】（1）设矩形长为，则宽为，求出，即可求出矩形的周长；
（2）设宽应增加，根据宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设矩形长为，则宽为，
∵面积为，
∴，
解得：（负值舍去），
∴矩形长为，则宽为，
∴矩形的周长；
【小问2详解】
解：设宽应增加，
此时矩形长为，则宽为，
∵宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，
∴，
解得：．
即宽应增加．
19. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点C，与x轴交于点D．动直线轴，与直线，分别交于，．
（1）求k，b的值；
（2）当时，直接写出t的取值范围；
（3）在直线上有一点P，使的面积为6，求P点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可；
（2）联立一次函数解析式求出，根据图象的位置关系进行解答即可；
（3）设P点的坐标为．求出的长度，根据面积列出方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，直线经过点，，
根据题意，得，
解得，
【小问2详解】
解：由（1）可得，的解析式为，
根据题意，得y=x−2y=−12x−1，
解得，
故．
∵动直线轴，与直线，分别交于，．
∴当时，t的取值范围为；
【小问3详解】
解：设P点的坐标为．
当时，，解得，
∴，
∴
∵的面积为6，
∴
即，
解得或
∴P点的坐标为或．
20. 如图，四边形中，，，，对角线．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理逆定理计算即可；
（2）根据勾股定理得到，设，则，求出，根据勾股定理得到，根据四边形的面积计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，作交于E，
∴，，
∴，
设，则，
∴
解得：，
∴，
∴四边形的面积
21. 某数据中心同时运行两种计算任务：训练任务和推理任务．每项任务消耗两种资源：算力和内存．已知每个训练任务消耗算力4单位．内存3单位；每个推理任务消耗算力2单位，内存4单位．
（1）该数据中心在某个时段内，恰好用完算力100单位和内存90单位，求这个时段内训练任务和推理任务分别有多少个；
（2）已知每个训练任务耗电6千瓦时，每个推理任务耗电10千瓦时．在实际调度时，训练任务和推理任务的总数为24个，且训练任务不超过推理任务的2倍，记任务运行过程中总耗电为E千瓦时，求E的最小值．
【答案】（1）有训练任务22个，有推理任务6个
（2）E的最小值为176千瓦时
【解析】
【分析】（1）设这个时段内训练任务有x个，推理任务有y个，根据这个时段内恰好用完算力100单位和内存90单位，列出方程组，解方程组即可；
（2）设训练任务有m个，则推理任务有个，根据训练任务不超过推理任务的2倍，列出不等式，求出m的范围，列出E与m的关系式，然后根据一次函数的增减性，求解即可．
【小问1详解】
解：设这个时段内训练任务有x个，推理任务有y个，根据题意得：
，
解得：，
答：这个时段内有训练任务22个，有推理任务6个
【小问2详解】
解：设训练任务有m个，则推理任务有个，根据题意得：，
解得：，
任务运行过程中总耗电为：，
∵，
∴随m的增大而减小，
∴当时，总耗电量最小，且最小值为：（千瓦时）．
22. 【阅读材料1】
我们知道数轴上表示实数，的两点之间的距离是，由此可以探究平面直角坐标系中两点之间的距离．
已知：如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．
求：线段的长度（即，两点间的距离）．
解：①分别过点、作轴、轴的平行线交于点，则的坐标为，且．
在中，由勾股定理得．
所以．
【应用初探】
如图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．
（1）求线段的长；
（2）在轴上有一动点，求的最小值．
【阅读材料2】
问题：求的最小值．
解析：因为表示点到点的距离，表示点到点的距离．
所以求的最小值可以转化为（2）中的问题．
【探究深化】
（3）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题干中的结论即可求出线段的长；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小，求出的长度即可；
（3），表示点到点的距离，表示点到点的距离．设点，，所以求的最小值可以转化为在轴上有一动点，求的最小值．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小，
，
．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
．
【小问3详解】
解：，
表示点到点的距离，表示点到点的距离．
设点，，
所以求的最小值可以转化为在轴上有一动点，求的最小值．
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小，
，
．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
．
23. 当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间．
某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）．
（1）请在图中画出路口在 的红绿灯；
（2）若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间；
（3）若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围．
【答案】（1）图见解析
（2）甲车刚到路口D的时间为
（3）想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间
【解析】
【分析】（1）根据路口D绿灯亮起的时刻，以及红绿灯的持续时间，进行作图即可；
（2）分别计算甲车到路口B和C的时间，结合红绿灯的示意图判断是否需要等待，最后计算路口C到路口D的时间，再求和即可；
（3）设乙车的速度为，先分析路口B的情况，根据题意，估算乙车到路口B的时间为，结合路灯图可知，绿灯时段为，因此．再分析路口C的情况，同理估算乙车到路口C的时间为，确定绿灯时段为，最后求出．
【小问1详解】
解：∵路口D在开始亮起绿灯，
又∵红灯与绿灯均持续，
∴路口D在30−60s ，90−120s 和150−180s 期间亮起绿灯，其余时间为红灯，
红绿灯情况如图所示：
【小问2详解】
解：根据题意， 路口B和C，在20−50s 亮绿灯，在50−80s 亮红灯，
甲车到路口B的时间为600÷20=30s ，
∵，
∴此时路口B为绿灯，甲车可正常通行，
甲车到路口C的时间为1500÷20=75s ，
∵，
∴此时路口C为红灯，甲车需等待到时，才可通行，
∴甲车到路口D的时间为80+2400−150020=125s；
【小问3详解】
解：设乙车的速度为，
由题意可得，，
先分析绿灯通过路口B：
乙车到路口B的时间，
∵，
∴，
根据题意，路口B在20−50s 亮绿灯，在50−80s 亮红灯，
∴想要绿灯通过路口B需满足，对应的速度范围为，
∴；
再分析绿灯通过路口C：
乙车到路口C的时间，
∵，
∴，
根据题意，路口C在50−80s 亮红灯，在80−110s 亮绿灯，
∴想要绿灯通过路口C需满足，对应的速度范围为；
综上所述，．
答：想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间．时间（）
0
3
6
9
15
…
高度（）
2
22
42
2
22
…
时间（）
0
3
6
9
12
15
…
高度（）
2
22
42
22
2
22
…