2025--2026学年山东省济南第二中学高一下册4月阶段性检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省济南第二中学高一下册4月阶段性检测数学试题 [含答案]，共2页。试卷主要包含了 的内角，，的对边分别为，，， 若复数，则下列选项正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：.
2. 在平行四边形ABCD中，与AC交于点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由三点共线，将分别用表示出来，列出方程，即可得到结果.
【详解】由题意可知，三点共线，设，
则，
又，
则，解得.
3. 已知，则“向量共线”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据讨论同向、反向共线两种情况，结合充分、必要性定义确定条件间的关系.
【详解】若向量共线且，同向共线时有，反向共线时有，充分性不成立；
若，而，则向量同向共线，必要性成立；
所以“向量共线”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 在钝角三角形中，角的对边分别为，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由最长边确定钝角为，再通过和联立即可求得的取值范围.
【详解】因为且三角形为钝角三角形，所以为钝角，且
由余弦定理得：，
所以，解得，.
又因为三角形两边之和大于第三边，即，解得，
所以.
5. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式.
【详解】两边平方得，即，
又两边平方得，
即，即，
如图，，向量与的夹角为，
所以向量在上的投影向量为.
6. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】在中， ,
则，即，
则，即得,
由于，故，结合，可得，
即一定为直角三角形，
7. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为，，所以，，，
因为为中点，所以，，则.
所以，.
所以 .
8. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解.
【详解】由
，
所以，
又，所以，
所以，
所以，
又，，
所以，所以，
又是的中点，所以，
由余弦定理有：，
又，
所以，
当时，，即.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若复数，则下列选项正确的有（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 为实数D. 在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，可得，根据求模公式，可判断A的正误；根据共轭复数的概念，可判断B的正误；根据除法运算法则，可判断C的正误；根据复数的几何意义，可判断D的正误.
【详解】由题意知z=5i−2=5(−2−i)(i−2)(−2−i)=−2−i，
所以|z|=−2−i=(−2)2+(−1)2=5，A正确；
的共轭复数为，B正确；
z+5z=−2−i+5−2−i=−2−i+5(−2+i)(−2−i)(−2+i)=−2−i−2+i=−4为实数，C正确；
因为iz=i(−2−i)=−2i−i2=1−2i，
所以在复平面内对应的点为,位于第四象限,D错误.
10. 在四边形中，，，其外接圆半径为，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 四边形的面积为
【答案】AD
【解析】
【分析】选项A，利用余弦定理，结合已知边长计算的余弦值即得；选项B，先在中利用余弦定理求出的余弦值，再根据向量数量积计算即得；选项C，利用正弦定理结合三角形的边长和内角正弦值计算外接圆半径；选项D，利用三角形面积公式，结合已求的内角正弦值计算面积.
【详解】
如图连接，在中，由余弦定理及题意得；
在中，由余弦定理及题意得.
，，
解得，，，故A正确.
，故B错误.
，由正弦定理得，
，故C错误.
由C知，，，
，
，
四边形的面积，故D正确.
11. 在中， ，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由题知，进而得，，再结合即可判断A；根据得或，再分类讨论判断B，结合面积分类讨论求解判断CD.
【详解】对于A，由和正弦定理得：（*），
因为，所以，所以，
即，再由正弦定理，可得，
又由余弦定理，，所以，则，
又，即，所以，
则，故，
由（*）得，与矛盾，
故不成立，即，所以，即
所以，故A正确；
对于B，因为，即得，
又，所以或，解得或，
当时，，当时，，故B错误；
对于C，D,当时，，由正弦定理，，
则由解得；
当时，，由正弦定理，，
则由解得.故C错误，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在复平面内，是坐标原点，已知复数，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据向量线性运算的坐标表示和复数对应的向量进行计算即可.
【详解】由题意可得：，，，
所以
由可得：
解得，​，因此.
13. 如图，在四边形中，为等边三角形，，则______．
【答案】18
【解析】
【分析】先通过勾股定理判断是直角三角形，再通过向量分解将拆分为，最后结合等边三角形的性质即可求得结果.
【详解】因为，即，
所以是直角三角形，且，
因为，所以，
因为是等边三角形，所以，
即.
14. 草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________
【答案】
【解析】
【分析】通过正弦定理、割补法计算平面几何图形面积，基本不等式求解.
【详解】依题意，要使手电筒在内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过边，如图，在正中，，，，设，
由正弦定理得：，则，
，则，
，
，
当且仅当，即时取等号，
所以，最大值为．
若，，，
若，，，
所以，最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数.
（1）求；
（2）设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点）
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）先利用复数除法运算和乘法运算，求解，然后设出，再根据为实数求解即可；
（2）先根据题（1）条件求出、两点坐标，再求解，然后根据，利用三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
设，所以，
因为为实数，所以即，所以，
【小问2详解】
因为，，
所以对应点坐标，，
所以，，
因为，，
所以、与轴所成角相等，设为，
所以，，，
所以，
所以.
16. 在中，内角的对边分别为．若．
（1）已知，求三角形的三边长；
（2）若，为中点，求外接圆半径．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理结合求得或，又由题意知：所以即可求解三角形的三边长；
（2）由代入条件化简得到，分析得到，利用勾股定理和，解得，设的内切圆半径为，再由正弦定理求解即可.
【小问1详解】
，解得或，
又由题意知：，∴，∴满足条件
∴，即为三角形的三边
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，即，
∴或，
∵， ∴，
当时，边最长，与条件矛盾，故舍去；
当时，则，又，
∴，解得：，
∴,∴,
又∵为中点，∴，
∴在中，，
设的外接圆半径为，
由正弦定理得，即，
∴的外接圆半径为．
17. 如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机．
（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？
（2）求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角；
（3）若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？
【答案】（1）快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中．
（2）快艇应以垂直的方向向北偏东行驶．
（3）4h．
【解析】
【分析】（1）画图分析，设后与汽车在C处相遇，再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程，再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系，再利用二次不等式的最值分析即可.
（2）根据（1）中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系，进而求得时间即可.
（3）设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，同（1）中的方法求得三角形各边的关系分析即可.
【小问1详解】
如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇，
在中，,,,为边上的高，，
设，则,，由余弦定理，得，
即，整理得
，
当，即时取等号，因此，
所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中.
【小问2详解】
由（1）知，，
在中，,，，
由余弦定理，得，因此，
所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°.
【小问3详解】
如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，
在中，,,,，
由余弦定理，得，解得或，
而，取，,,，
所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h.
18. 在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长；
（3）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值.
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解；
（2）使用“拆面积法”，即，由此求解即可；
（3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积的几何意义即可得.
【小问1详解】
由及正弦边角关系，得，
因为，即，
则有
，
由，因此，
则，
由，得，解得，
又，所以；
【小问2详解】
由，得，，则，
又，
因为内角的角平分线交边于，所以，
∴，
∴；
【小问3详解】
在中，由余弦定理，得，
由边上的中线，又因为，
两边平方得，
则，即，
解得，
令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，
得，，
，
，
所以.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
（1）若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）过作于，结合正三角形性质求解.
（2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，再利用基本不等式求出最小值．
【小问1详解】
由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图：

过作于，则，，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
【小问2详解】
（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，则
．
（ii）由（i）知，点在内部，且，

设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.