沧衡八校联盟高二年级2024～2025学年下学期期中考试数学冲刺卷（全解全析）

这是一份沧衡八校联盟高二年级2024～2025学年下学期期中考试数学冲刺卷（全解全析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学 • 冲刺卷 • 全解全析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满意，则选法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
【详解】①若甲同学选择牛，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，
②若甲同学选择马，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，
综上，总共有种选法，
故选：A.
2．河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高､维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展.现有A，B，C，D四块盐碱地，计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，则不同的种植方案共有（ ）
A．18种B．16种C．14种D．12种
【答案】C
【详解】第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
故不同的种植方案共有种.
故选：C.
3．若，则（ ）
A．243B．27C．1D．
【答案】D
【详解】展开式通项为，
当为偶数时，为正数；当为奇数时，为负数.
所以.
故选：D.
4．某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】记事件：甲答对，事件：乙答对，
则有：，，
所以．
故选：D.
5．已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，.
A．0.57B．0.75C．0.80D．0.84
【答案】C
【详解】，
，
故所求概率，
故选：C.
6．下列说法不正确的是（ ）
A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
【答案】D
【详解】对A：样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确.
对B：若随机变量服从正态分布，且，
则，则，B正确；
对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确；
对于D，因为，所以第百分位数为，D错误；
故选：D.
7．甲抛掷均匀硬币2025次，乙抛掷均匀硬币2024次，下列四个随机事件的概率是0.5的是（ ）
①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多.
②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少.
③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多.
④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多.
A．①③B．①②C．②③D．②④
【答案】A
【详解】依题意，甲抛掷均匀硬币2025次，乙拋掷均匀硬币2024次，每次抛掷时出现正面的概率都是0.5，出现反面的概率也都是0.5，
在①中，甲比乙多抛掷一次硬币，设甲乙都抛掷2024次时，正面向上次数相等时的概率为，
甲抛出正面次数多于乙抛出正面次数的概率为，甲抛出正面次数少于乙抛出正面次数的概率为，
则，甲再抛一次，甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多的概率为，①是；
在②中，甲比乙多抛掷一次硬币，设甲乙都抛掷2024次时，甲反面次数与乙正面次数相等时的概率为，
甲抛出反面次数多于乙抛出正面次数的概率为，甲抛出反面次数少于乙抛出正面次数的概率为，
则，甲再抛一次，甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少的概率不大于，②不是；
在③中，甲抛掷均匀硬币2025次，甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多的概率是0.5，③是；
在④中，乙抛掷均匀硬币2024次，乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多的概率为，④不是，
所以四个随机事件的概率是0.5的是①③.
故选：A
8．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
【答案】B
【详解】对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, ，
则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A正确；
对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, ,
依题意 两两互斥, 其和为, 并且，
，
，
，
应用全概率公式, 有，
故B错误；
对于C选项，依题设知, 第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同,
则，
，
，
故在第二次取到1号球的条件下, 它取自编号为的口袋的概率最大，故C正确；
对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，
再放入三个不同的口袋，
则不同的分配方法有，故D正确.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种
D．将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法
【答案】AC
【详解】对于A，，
故A正确；
对于B， ，解的，又为正整数，所以或，
当时，；当时，，故B错误；
对于C，“apple”有 5 个字母，其中“p”重复 2 次，所以总的排列个数为，
除去一种正确的情况，所以可能出现的错误共有59种，故C正确；
对于D，先给每个班分一个名额，共用去3个名额，还剩6个名额分给3个班级，要求每个班级至少一个名额，利用挡板法，共有种，故D错误；
故答案为：AC.
10．已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③.）
A．平均分为100
B．及格率超过86%
C．得分在内的人数约为997
D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等
【答案】ACD
【详解】由题意知，，，A：，，故A正确；
B：
，
，故B错误；
C：，
人，故C正确；
D：，
因为成绩服从标准正态分布，
，故D正确，
故选：ACD.
11．某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为
B．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为
C．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为
D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大
【答案】ABC
【详解】设分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球，
分别表示获得一等奖，二等奖，
对于，所以A正确；
对于，所以B正确；
对于C，设甲获奖为事件，甲获得一等奖的概率为
甲获得二等奖的概率为，所以，
甲第一次取到绿球且获奖的概率为，
所以甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为，故C正确；
对于D，甲第一次取球取到红球获奖的概率为，
甲第一次取球取到黄球获奖的概率为，
甲第一次取球取到绿球获奖的概率为，
则甲第一次取球取到绿球或者黄球获奖的概率最大，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则 ； .
【答案】
【详解】令，可得，即，
令，可得，即，
令，可得，即，
则，
即，则，
故.
故答案为：；.
13．冷暖色调的调配是美术作品创作过程中不可避免的问题，现考虑对一个4*4方格（16个格子）进行冷暖色调染色，提供红，橙，黄，棕，蓝，紫，绿，青颜色（前四种为暖色，后四种为冷色）对格子染色，每个颜色使用两次，为了美观要求每行每列均由两个暖色格子，两个冷色格子组成，则符合要求的染色方式数目为 （数字作答，不考虑格子的旋转）
【答案】
【详解】先不考虑颜色，仅安排冷暖色调，对于第一排，冷色调有种染色情况，
若此时第2排冷色调与第一排冷色调不在同一列，有1种染色情况，
则此时第三排可随意染色，有种情况，则由题意，最后一排染色情况确定，
则共有36种染色情况，此时未染色的格子均染暖色调，则这种安排下的情况数为36；
若第2排冷色调与第一排冷色调均保持在同1列，为满足题意，第三排，第四排只能染与第一排染色相异的那两列对应的那两排，
则共有6种染色情况，此时未染色的格子均染暖色调，则这种安排下的情况数为6；
若第2排冷色调分布与第一排冷色调分布仅一列相同，则共有种方式，为满足题意，此时第3排格子中未出现冷色调的那一列染冷色，
另一个冷色则染在仅有一个冷色调对应的那一列所对应的那一排，有2种方式，则共有48种染色情况，此时未染色的格子均染暖色调，则这种安排下的情况数为48；
则只考虑冷暖色调，不考虑颜色，符合要求的染色方式数目为；
下面考虑不同的颜色，对于冷色调，依照以上所提及的染色安排，沿格子从上到下从左到右顺序染色，则共有种方式，
但考虑到其中每种颜色使用2次，去掉相同情况，则共有种情况，
则对于暖色调，同理有种情况，则符合要求的染色方式数目为：.
故答案为：
14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是 ；的数学期望是 .
【答案】
【详解】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得；
记取0，1，2，3的概率分别为，，，，
推导的分布列：
，，，
则
，
则，
故
给合，可知.
故答案为： ;.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《熊出没 • 重启未来》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看．
(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《熊出没 • 重启未来》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有种；
（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，
所以其余2人观看影片的不同方法有种；
（3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法有种.
16．在的展开式中，
（1）求展开式中所有的有理项；
（2）展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项
【详解】(1)由题展开式中的第项.
即.故当为整数时为有理项.故当时成立,
分别为,,,
.
即,,,
(2)由知,当系数的绝对值最大的项即最大.
故.
故绝对值最大的项是第6、7项.
其中系数最大的项为,
系数最小的项为
17．近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下：
(1)求相关系数；（保留3位小数）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益．
参考数据：．
附：相关系数，线性回归方程的斜率，截距．
【详解】（1）由于，
，
又．
．
所以具有较高的线性相关程度．
（2），
将代入可得
关于的线性回归方程为，
将代入线性回归方程，
得，
预测研发投入10（亿元）时产品的收益为21.2（亿元）．
18．某市推行垃圾分类后，环保部门对居民分类准确率进行抽样调查.已知该市有甲，乙两个人口数量相等的社区，甲社区开展过多次分类培训，乙社区未开展.现从甲社区随机抽取100人，乙社区随机抽取150人，统计正确分类人数如下：甲社区：80人正确分类；乙社区：90人正确分类.假设各社区中每位居民的分类行为相互独立，用频率估计概率.
(1)若从甲社区中任选3人，求恰好2人正确分类的概率；
(2)依据小概率值的独立性检验，分析两个社区居民对垃圾分类的准确率是否有差异？
(3)环保部门从两社区抽取居民的样本中，对不能正确分类的样本，按照分层抽样抽取8人，再从这8人中选择3人进行深度访谈.设X为3人中来自甲社区的人数，求X的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
【详解】（1）已知甲社区正确分类概率的估计值，则恰好人正确分类的概率.
（2）提出零假设：两个社区居民对垃圾分类的准确率没有差异.
整理列联表：根据题目所给信息，整理得到两个社区居民对垃圾分类的准确率的列联表，
其中甲社区正确分类80人，不正确分类20人，合计100人；
乙社区正确分类90人，不正确分类60人，合计150人；总计正确分类170人，不正确分类80人，总人数250人.
根据统计量的计算公式（其中是样本容量，、、、分别是列联表中的四个数据），在本题列联表中，，，，，则.
已知小概率值对应的临界值，因为，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为两个社区居民对垃圾分类的准确率有差异.
（3）甲社区不能正确分类的有20人，乙社区不能正确分类的有60人，共人.按照分层抽样抽取人，则从甲社区抽取人，从乙社区抽取人.为人中来自甲社区的人数，则的可能取值为，，.


所以的分布列为：
可得：
19．第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为．假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．．求该小组初赛胜利的概率：
(2)已知．现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量．求．并比较它们的大小；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为．第三道题答对的概率为．若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为．求的最小值．
【详解】（1）设事件A表示该小组获胜．则．
所以该小组初赛胜利的概率为．
（2）的可能取值为1， 2，3．
则．
此时
的可能取值为1，2，3．
则．
此时．
所以
因为．
所以．所以．
（3）由题意可得，．
则．
令．
则．令．
所以当时，，为减函数．
当时．，为增函数．
所以．
所以的最小值为．
研发投入亿元
1
2
3
4
5
经济收益亿元
2.5
4
6.5
9
10.5
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2