河北省沧衡八校联盟2024−2025学年高二下学期期中模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份河北省沧衡八校联盟2024−2025学年高二下学期期中模拟考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知是相互独立事件，且，则（ ）
A．0.1B．0.12C．0.18D．0.28
2．已知随机变量的分布列如表
若，则（ ）
A．或B．或C． 或D．
3．某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ）
附：，，.
A．优秀B．良好C．合格D．基本合格
4．某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
由表格制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若对恒成立，其中，则（ ）
A．B．0C．1D．2
6．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．120B．240C．300D．320
7．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．某楼梯有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，，第11级），甲一步能上1级或2级台阶，最多可以一步上3级，且每一步上几级台阶都是随机的，则甲上这个楼梯没踩过第6级台阶的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据的上四分位数为9
B．若，，且，则相互独立
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则
D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变
10．下列命题中正确的是（ ）
A．已知服从正态分布，且，则
B．已知服从正态分布，且，则常数的值为3
C．已知服从正态分布，若在内取值的概率为0.15，则在内取值的概率为0.25
D．已知其中，则
11．从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有63种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知的展开式中所有项的系数和为1024，则含项的系数为 ．（用数字作答）
13．将字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为 ；若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数的均值为 ．
14．在某一天的幼儿园活动中，5名小朋友每人制作了一个小礼物，每人随机拿一个礼物，则这5名小朋友都没有拿到自己制作的礼物的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．流感病毒是一种病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：
(1)根据的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性；
(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为，求的分布列与数学期望．
附：．
16．2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日-28日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识，加强水资源保护，某中学举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下：盒中有5个红球，4个白球，盒中有5个红球，5个白球（两盒中的球除颜色外其他都相同）.现随机选择一盒，然后从中随机抽取2个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一类问题，答对得2分，若抽到球的颜色不同，则回答第二类问题，答对得3分，两类问题答错均不得分.每位同学进行二轮比赛.
(1)求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率；
(2)已知甲同学二轮比赛后得分为4分，乙同学答对第一类问题的概率为，答对第二类问题的概率为，求乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率.
17．已知在的展开式中，第项与第项的二项式系数之比是．
(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项；
(2)求展开式中的所有有理项；
(3)求展开式中系数绝对值最大的项．
18．某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
(1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
(2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
19．某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由可得，
又是相互独立事件，所以.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由题意得，即①，
，，
又因为，所以②，
联立①，②，解得，所以，
当时，；当时，，
故，解得或.
故选B.
3．【答案】B
【详解】由题得，，所以，，
，，
因为，，
所以，
根据比例成绩大于分为优秀，
因为，
根据比例成绩在到之间的为良好，
，
根据比例成绩在到之间的为合格，
，
根据比例成绩小于分为基本合格，
因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好.
故选B.
4．【答案】A
【分析】根据的特点判断斜率和截距；由于去掉，其它点的线性关系更强，从而可判断相关系数.
【详解】身高的平均数为，
因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，
所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故，
去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以.
故选A.
5．【答案】D
【详解】
，
，即.
故选D.
6．【答案】D
【详解】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为.
故选D.
7．【答案】C
【详解】，，，，，
第6项的系数最大，，则.
故选C.
8．【答案】D
【详解】法—：记甲上到第级台阶共有种上法，则，
上到第3级的方法为，每一步一级，或第一步一级第二步两级，或第一步两级第二步一级，或一步走三级，共四种上法，所以.
当时，学生甲上到第级台阶，可以从第级或第级或第级上去，
所以，
于是，
其中甲踩过第6级台阶的上台阶方法数，可分两步计算，
第一步，从第1级到第6级，共有种方法；
第二步，从第7级到第11级，相当于从第1级到第5级的方法数，共有种方法；
所以甲踩过第6级台阶的上台阶方法数有，
则甲没踩过第6级台阶的概率是.
故选D.
法二：
11级楼梯，甲一步能上1级或2级台阶，最多可以一步上3级，
三步三级：走法为走法为.
两步三级：走法为，
走法为，
走法为；
一步三级：走法为，
走法为，
走法为，
走法为，
走法为；
零步三级：走法为，
走法为，
走法为，
走法为，
走法为，
走法为；
综上，上11级台阶共有.
同理，可得从第1级到第6级，共有24种方法；从第7级到第11级共有13种方法，
则甲没踩过第6级台阶的概率是.
故选D.
9．【答案】BD
【详解】对于选项A：先把数据重新排列，得到.
因为上四分位数是第百分位数，，
所以数据的上四分位数为，故选项A错误；
对于选项B，因为，,，
所以，即相互独立，故选项B正确，
对于选项C，因为散点不一定在回归直线上，
所以散点不能直接代入直线方程，故选项C错误，
对于选项D，由于，变成了，
则，，
从而，都不变，则，故选项D正确.
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，，，解得：，B正确；
对于C，，，，
，C错误；
对于D，，，
当时 ，，D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABC
【详解】对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种，女生的选法有种，所以共有种不同的选法.故A正确.
对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，
有种不同的选法，故B正确.
对于C，在10人中任选4人，有种不同的选法，甲乙都不在其中的选法有，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，故C正确.
对于D，在10人中任选4人，有种不同的选法，只有男生的选法有种， 10人中任选4人不可能全是女生，故4人中必须既有男生又有女生的选法有种，故D错误.
故选.
12．【答案】300
【详解】在中，令，
得，解得，
所以含的项为.
13．【答案】 ； /0.6.
【详解】当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a，b，c三个字母全排列，有种方法，第二列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有种，所以共有种排列方法，六个字母在的表格中进行排列，共有种排列方法，所以所求概率为．由题意知，分数的可能取值为0,1,3，，，，所以所得分数的均值为．
14．【答案】
【详解】5人分配5个礼物，基本事件总数，
都没有拿到自己制作的礼物所包含两类情况，
一是5人中有2人交换了礼物，此时有种情况，另外三人都没有拿到自己制作的礼物情况有2种，故共有种情况；
二是5人都没有交换礼物，不妨设甲同学有4种选择，若其拿到乙的礼物；
对于乙来说有3种情况，若其拿到丙的礼物；对丙来说有2种情况，而余下两人只有1种情况，故共有种情况，
故基本事件总数，
概率.
15．【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）假设：使用预防药品与对预防甲流无效果，
由列联表可知，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为使用预防药品与对预防甲流有效果，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）设事件表示使用治疗药品并且治愈，事件表示未使用过预防药品，事件表示使用过预防药品，
由题意可得，
且，
则，
治疗药品的治愈概率，
则，
所以，，
，，
所以，随机变量的分布列为
.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”，“随机抽取两个球，颜色相同”，由全概率计算公式计算即可；
（2）由（1）知乙同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为，回答第二类问题的概率，设在一轮比赛中乙同学得分为，分别计算为，，时的概率，乙同学二轮比赛后得分高于甲同学，即乙得分为5或6，求解即可.
【详解】（1）设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”，
则，
“随机抽取两个球，颜色相同”，
，，
由全概率公式得，
所以甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为；
（2）由（1）知乙同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为，
则回答第二类问题的概率为，
设在一轮比赛中乙同学得分为，则的可能取值为，，，
则，
，
，
设二轮比赛后乙得分为，
则.
所以乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率为.
17．【答案】(1)常数项为，为第项
(2)，，，
(3)
【详解】（1）依题意可得第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
所以，即，则，∴或（舍去），
所以展开式的通项为，
令，解得，
所以为常数项，所以常数项为，为第项.
（2）由（1）知，
令，则，，，，
当时，
当时，
当时，
当时，
故有理项为，，，.
（3）令
，
解得，又，∴，
∴，即展开式中系数绝对值最大的项为.
18．【答案】(1)540种；
(2)65种.
【详解】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；
该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．
（2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；
若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；
若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；
若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；
所以总共有种不同的参赛方案．
19．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）时，．
【详解】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．
（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，
所以，，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
由，且，得．
当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．
-1
0
1
P
身高x（单位：）
167
173
175
177
178
180
181
体重y（单位：）
90
54
59
64
67
72
76
预防药品
甲流病毒
合计
感染
未感染
未使用
24
21
45
使用
16
39
55
合计
40
60
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3