江苏省常州市2025-2026学年高考临考冲刺数学试卷（含答案解析）

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．若P是的充分不必要条件，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
6．设函数满足，则的图像可能是
A．B．
C．D．
7．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
8．在中，，，，为的外心，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．设集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．B．64C．D．32
11．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，若，则的最小值为（ ）
参考数据：
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.
14．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_____．
15．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是_______.
16．已知角的终边过点，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数.
（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，，，求证：当时，．
18．（12分）（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围．
19．（12分）已知两数．
（1）当时，求函数的极值点；
（2）当时，若恒成立，求的最大值．
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.
21．（12分）如图，四边形是边长为3的菱形，平面.
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值.
22．（10分）已知函数，，.函数的导函数在上存在零点.
求实数的取值范围；
若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；
若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.
【详解】
令，则当时，，
又，所以为偶函数，
从而等价于，
因此选B.
本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
2．C
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），
故选：C
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．A
【解析】
由，得，代入集合B即可得.
【详解】
，，，即：，
故选：A
本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.
4．B
【解析】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p是的充分不必要条件知“若p则”为真，“若则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则”为真，“若则q”为假，故选B．
考点：逻辑命题
5．D
【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．
考点：三角函数的图像变换．
6．B
【解析】
根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．
由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．
7．B
【解析】
设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.
【详解】
由题意可知点，设点、，设直线的方程为，
由于点是的中点，则，
将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，
由韦达定理得，得，，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B.
本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
8．B
【解析】
首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.
【详解】
如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，
过分别做，的平行线，，
由题知，
则外接圆半径，
因为，所以，
又因为，所以，，
由题可知，
所以，，
所以.
故选：D.
本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.
9．D
【解析】
根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.
【详解】
根据题意，
则
故选：D
此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,
10．A
【解析】
根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.
【详解】
由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：
可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4，
故.
故选：A
本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.
11．D
【解析】
由变形可得,可知函数在为增函数, 由恒成立,求解参数即可求得取值范围.
【详解】
,即函数在时是单调增函数.
则恒成立.
.
令,则
时,单调递减,时单调递增.
故选:D.
本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.
12．A
【解析】
首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值.
【详解】
由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为.
故选：A
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的得解.
【详解】
如图，连接，
因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，
所以，平面，
则平面.因为，
所以同理得平面，又.
所以平面平面EFG.
因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.
在中，，
故当时.线段的长度最小，最小值为.
故答案为：
本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．-1
【解析】
讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，计算等号成立的条件得到答案.
【详解】
已知关于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，
①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，
故解集为（a，4），
由于a（﹣a）≤﹣14，
当且仅当﹣a，即a＝﹣1时取等号，
∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣1；
②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；
③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，
∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；
综上所述，a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
15．8
【解析】
根据伪代码逆向运算求得结果.
【详解】
输入，若，则，不合题意
若，则，满足题意
本题正确结果：
本题考查算法中的语言，属于基础题.
16．
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得的值．
【详解】
解：∵角的终边过点，
∴，，
∴，
故答案为：．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）见解析
【解析】
(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），时，，
，
∵在上单调递减．
∴，．
令，
，
时，；时，，
∴在上为减函数，在上为增函数．
∴，∴．
∴的取值范围为．
（2）若，，时，，
，
令，显然在上为增函数．
又，，∴有唯一零点．
且，时，，；
时，，，
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴．
又，∴，，．
∴
．
，．
∴当时，．
此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.
18．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用离心率、、四边形的面积列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到椭圆上，得到的值，再利用，计算出的范围，代入到的表达式中，得到t的取值范围．
试题解析：（1），，即．
又，．
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，
设直线方程为，，
联立方程消去y得，
因为直线与椭圆交于两点，
所以恒成立，
，
又，
因为点P在椭圆上，所以，
即，
又，
即，整理得：，
化简得：，解得或（舍），
，即．
当直线MN的斜率不存在时，，此时，
．
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．
19．（1）唯一的极大值点1，无极小值点．（2）1
【解析】
（1）求出导函数，求得的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；
（2）问题可变形为恒成立，由导数求出函数的最小值，时，无最小值，因此只有，从而得出的不等关系，得出所求最大值．
【详解】
解：（1）定义域为，当时，
，
令得，当
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有唯一的极大值点，无极小值点．
（2）当时，．
若恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
令，则，由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以
所以，
所以，
故的最大值为1．
本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题．在求极值时，由确定的不一定是极值点，还需满足在两侧的符号相反．不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用．
20．（1）(x－1)2＋y2＝4,直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3.
【解析】
(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.
【详解】
(1)由曲线C的参数方程 (α为参数) (α为参数)，
两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；
由直线l的极坐标方程可得ρcsθcs－ρsinθsin＝ρcsθ－ρsinθ＝2，
即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.
(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，
将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，
则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由已知线面垂直得，结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直；
（2）由已知知两两互相垂直.以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，由已知线面垂直知与平面所成角为，这样可计算出的长，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角可得二面角．
【详解】
证明：（1）因为平面，平面，所以.
因为四边形是菱形，所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
解：（2）据题设知，两两互相垂直.以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为与平面所成角为，即，所以
又，所以，
所以
所以
设平面的一个法向量，则令，则.
因为平面，所以为平面的一个法向量，且
所以，
．
所以二面角的正弦值为.
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，考查用向量法求二面角．立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，这样可减少思维量，把问题转化为计算．
22．；4；12.
【解析】
由题意可知，，求导函数，方程在区间上有实数解，求出实数的取值范围；
由，则，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数的最大值；
设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，
整理得.所以，求得，设，则，
所以在上单调递增，最后求出实数的值.
【详解】
由题意可知，，则，
即方程在区间上有实数解，解得；
因为，则，
①当，即时，恒成立，
所以在上单调递增，不符题意；
②当时，令，
解得：，
当时，，单调递增，
所以不存在，使得在上的最大值为，不符题意；
③当时，，
解得：，
且当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，则在上单调递减，所以，
若，则上单调递减，在上单调递增，
由题意可知，，即，
整理得，
因为存在，符合上式，所以，解得，
综上，的最大值为4；
设直线与曲线的切点为，
因为，所以切线斜率，
即切线方程
整理得：
由题意可知，，即，
即，解得
所以切线方程为，
设直线与曲线的切点为，
因为，所以切线斜率，即切线方程为，
整理得.
所以，消去，整理得，
且因为，解得，
设，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，即.
本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.